直线的截距问题探讨

1 / 5 直线的截距问题探讨 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 内容摘要 每年全国各地高考试卷中 ,都有不少习题与直线的截距有关，学生在解决这些问题时错误率较高，失误多 .笔者就高中新教材必修 2 平面解析几何知识中的相关知识进行阐述，对有关直线截距的相关知识复习 ,仅以一个课时 (45分钟 )为实例进行研究、探讨 . 直线的截距问题探讨 一、基础知识复习 1.定义：我们将直线在 y 轴上的交点的纵坐标称为直线在 y轴上的截距 .特别地 ,若直线经过坐标原 点 ,则该直线在 x、 y轴上的截距均为零 . 2.应用 :运用直线的截距求直线方程时 ,会简化运算 ;可以解决直线与圆的位置关系等问题 . 3.注意点 :截距并不表示距离 ,它可以为正 ,可以为零 ,也可以为负 . 二、典型例题分析 例 1求经过点 A（ 3， 2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 . 学生练习 2 / 5 学生甲：设直线方程为 因此，所求直线方程为 学生乙：设直线方程为将点 A（ 3， 2）代入，得 a=5,即所求直线方程为 x+y-5=0. 学生丙：若截距均为 0，则设直线方程为 y=kx,将点 A（ 3，2）代入，得直线 方程为 2x-3y=0; 若截距不为 0，则可设直线方程为将点 A（ 3， 2）代入，得直线方程为 x+y-5=0. 教师点评 对于学生甲，应对直线的斜率 k 进行讨论，解题不严密。学生乙出现了漏解，原因在于：直线的截距并不表示距离，截距可以为零，也可以为负值，应对截距的不同情形进行讨论，因此学生丙的解法是正确的。 变型题 1求过点 A（ 2， -3），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程。 仿上解法可求得直线方程为 x-y-5=0,或 3x+2y=0. 变型题 2求过点 A（ 3， 2），且在两坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线方程。 仿上解法可求得直线方程为 x+y-5=0,或 x-y-1=0.或2x-3y=0. 例 2求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 分析 这个问题不能直接设截距式方程求解 ,也要对截距为3 / 5 零的情形加以讨论 . 解 若截距为 0,直线通过原点 ,此时直线与圆相交 ,故截距不为 0.设直线方程为由圆心到直线的距离公式 ,得 .故所求直线方程为 . 变型题 1求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 分析 由于坐标原点在圆上 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线有一条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,应有两条 .故此问题的解答估计有三条直线符合题意 . 略解 若截距为 0,利用圆心到直线的距离等于半径可以求出直线方程为 若截距不为 0.设直线方程为由圆心到直线的距离公式 ,得 .故所求直线方程为 答 所求直线方程为 . 说明 此道题很特别，截距不为零时，刚好有一解为零 .所以此道题最后仅有两解 . 变型题 2求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 分析 由于坐标原点在圆外 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线有两条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,有4 / 5 两条 .故此问题的解答有四条直线符合题意 . 答 所求直线方程为 . 变型题 3求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 分析 由于坐标原点在圆上 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线有一条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,应有两条 .故此问题的解答估计有三条直线符合题意 . 答 所求直线方程为 说明 注意此题与 变型题 1的比较 . 变型题 4求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 分析 由于坐标原点在圆外 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线有两条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,有两条 .故此问题的解答有四条直线符合题意 . 答 所求直线方程为 三、课堂小结 本节课我们主要对直线的截距问题作了简要的