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第九节连续函数的运算和初等函数连续性 一 连续函数的运算法则 二 初等函数的连续性 定理2 连续单调递增函数的反函数 在其定义域内连续 一 连续函数的运算法则 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递减 证明略 在 1 1 上也连续单调递增 递增 递减 也连续单调 定理3 连续函数的复合函数是连续的 在 上连续单调递增 其反函数 在 上也连续单调递增 证 设函数 于是 故复合函数 又如 且 即 例如 是由连续函数链 因此 在 上连续 复合而成 例1 设 均在 上连续 证明函数 也在 上连续 证 根据连续函数运算法则 可知 也在 上 连续 二 初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例2 求 解 原式 例3 求 解 令 则 原式 说明 当 时 有 例4 求 解 原式 说明 若 则有 例5 设 解 讨论复合函数 的连续性 故此时连续 而 故 x 1为第一类间断点 在点x 1不连续 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左 右连续性 作业 p 68习题1 93 5 6 7 4 4 5 6 5 备
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