高三理科数学回归分析的基本思想及初步应用.ppt

第三章统计案例 第三 四课时 3 1回归分析的基本思想及其初步应用 问题提出 1 随机误差是什么概念 对具有线性相关关系的两个变量x y 可以用线性回归模型y bx a e来表示 其中a b为模型的未知参数 e是y与之间的随机误差 2 残差与随机误差的方差的估计值分别如何计算 3 残差分析是统计学中的一个基础内容 根据残差图和随机误差的方差 可以反映回归模型拟合的精度或回归方程的预报精度 此外 还有其它统计指标也能反映这种精度吗 对于不具有线性相关关系的随机变量 如何建立相应的回归方程 也是需要解决的问题 相关指数与非线性回归方程 探究 一 相关指数 思考1 称为相关指数 在线性回归模型中 可以证明相关指数恰好等于相关系数的平方 即R2 r2 那么R2的取值范围是什么 0 1 思考2 相关指数与残差平方和有什么关系 相关指数的大小变化与回归模型的拟合精度有何内在联系 R2取值越大 残差平方和越小 模型拟合的精度越高 思考3 在线性回归模型中 R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率 它能说明解释变量对预报变量产生影响的百分比 对前面给出的女大学生身高与体重的样本数据 计算得R2 0 64 这表明什么内涵 女大学生的体重差异有64 是由身高引起的 思考4 建立回归模型的基本步骤是什么 1 确定研究对象 明确解释变量和预报变量 2 画出散点图 观察两个变量之间的关系 3 由经验确定回归方程的类型 4 按一定规则估计回归方程中的参数 5 分析残差图是否有异常 并作适当处理 思考5 利用回归模型进行预报时需要注意些什么问题 1 回归方程只适用于所研究的样本的总体 2 所得回归方程一般都有时间性 3 样本取值的范围会影响回归方程的取值范围 4 由回归方程得到的预报值是预报变量的可能取值的平均值 探究 二 非线性回归方程 思考1 作这组样本数据的散点图 变量x y是否呈线性相关关系 呈非线性相关关系 思考2 从散点图来看 可认为这些样本点大致分布在一条指数函数曲线的周围 那么这个指数函数的解析式可设为哪种形式 思考3 如何将函数转化为一次线性函数 两边取自然对数 可将函数变换为z bx a的形式 思考5 由计算可得这组样本数据的线性回归方程为 0 272x 3 849 退回原变量 红铃虫的产卵数y对温度x非线性回归方程是什么 z 0 272x 3 849 思考6 对原样本数据的散点图 也可认为这些样本点大致分布在一条二次函数曲线的周围 那么这个二次函数的解析式可设为哪种形式 思考7 如何将函数转化为一次线性函数 令t x2 可将函数变换为y c3t c4 这组样本数据不具有线性相关关系 即不宜用二次曲线来拟合y和x之间的关系 思考9 由上述样本数据也可以得到y关于t的线性回归方程 0 367t 202 543 退回原变量 红铃虫的产卵数y对温度x非线性回归方程是什么 100 50 0 50 100 150 200 250 300 350 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 367t 202 543 思考10 我们可以通过残差来比较指数回归方程和二次回归方程的拟合程度 计算得两个模型的残差如下表 比较这些残差的大小可以说明什么问题 指数模型残差的绝对值小 其拟合效果比二次模型好 思考11 计算得 指数模型的残差平方和为 1550 538 相关指数R2 0 98 二次模型的残差平方和为 15448 431 相关指数R2 0 8 这些数据说明什么问题 指数模型的拟合效果比二次模型好 思考12 一般地 对于给定的样本点 x1 y1 x2 y2 xn yn 两个含有未知参数的模型和 如何比较它们的拟合效果 建立对应于两个模型的回归方程 计算两个回归方程的残差平方和 比较残差平方和的大小 残差平方和小所对应的回归方程的拟合效果好 理论迁移 例1993年到2002年中国的国内生产总值 GDP 的数据 单位 亿元 如下 1 作GDP和年份的散点图 根据该图猜想它们之间的关系应是什么 2 建立年份为解释变量GDP为预报变量的回归模型 并计算残差 3 根据你得到的模型 预报2003年的GDP 看看你的预报与实际的GDP 117251 9亿元 的误差是多少 4 你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗 请说明理由 GDP与年份近似地呈线性关系 2003年GDP预报值为112976 4 预报与实际相差 4275 5 相关指数R2 0 974 说明年份能够解释97 4 的GDP值变化 所建模型能很好地刻画GDP和年份的关系 小结作业 1 若散点图中的样本点分布在一个直线状带形区域内 则可以选用线性回归模型建模 2 若散点图中的样本点分布在一个曲线状带形区域内 表明样本数据呈非线性相关关系 可以根据散点图分布选择指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 三角函数等回归模型 再通过变换转化为线性回归模型求回归直线方程