重要不等式及其应用.ppt

天马行空官方博客 天马行空官方博客 引入新课 上节课我们学过证明不等式的哪一种方法 它的理论依据是什么 求差比较法即 a b 0a b a b 0a b a ba b 由于不等式复杂多样 仅有比较法是不够的 如 a b b c c a 8abc a b b c c a b a c b a c 9等等 我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法 如果a b R 那么 a b 2属于什么数集 为什么 当a b时 a b 2 0 当a b时 a b 2 0 所以 a b 2 0 即 a b 2 R U 0 下面我们根据 a b 2 R U 0 这一性质 来推导一些重要的不等式 同时学习一些证明不等式的方法 天马行空官方博客 重要不等式及其应用 一 重要不等式的推导 1 奠基 课题 ii 定理1如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 以公式 1 为基础 运用不等式的性质推导公式 2 这种由已知推出未知 或要求证的不等式 的证明方法通常叫做综合法 i 如果a b R 那么有 a b 0 1 把 1 式左边展开 得a 2ab b 0 a b 2ab 2 2 式中取等号成立的充要条件是什么 公式 2 探索 设a b c R 依次对其中的两个运用公式 2 有 a b 2ab b c 2bc c a 2ca 把以上三式叠加 得a b c ab bc ca 3 当且仅当a b c时取 号 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法 迭代与叠加 天马行空官方博客 由于a b a b a ab b 启示我们把公式 2 变成a ab b ab 两边同乘以a b 为了得到同向不等式 这里要求a b 0 得到a b a b ab 4 定理2如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 公式 3 再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和 又能得到什么有趣的结果呢 考查三个实数的立方和又具有什么性质呢 由公式 3 的推导方法 再增加一个正实数c 对b c c a迭代 4 式 并应用公式 2 得2 a b c a b c b c a c a b a 2bc b 2ca c 2ab 6abc a b c 3abc 5 当且仅当a b c时取 号 4 推论 定理2的推论如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 公式 定理1的推论如果a b 0 那么 a b 2 当且仅当a b时取 号 直接应用公式 2 和公式 5 可以得到两个重要的不等式如果a b 0 那么 0 在公式 2 中用 分别替换a b 立即得到 2 a b 2 a b 2 6 当且仅当a b时取 号 在公式 5 中用 分别替换a b c 可得 3a b c 3 a b c 3 7 当且仅当a b c时取 号 天马行空官方博客 5 两个概念 公式 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n叫做这n个正数的算术平均数 6 式表明 两个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 二 小结 公式 1 我们从公式 1 出发 运用综合法 得到许多不等式的公式 其中要求同学们熟练掌握的是公式 2 5 6 7 它们之间的关系可图示如下 2 上述公式的证法不止综合法一种 比如公式 2 和 5 在课本上是用比较法证明的 又如公式 6 也可以由 1 推出 用 6 还可以推出 7 由 6 7 也可以推出 2 5 3 公式 a b 2 是重点 它还可以用几何法证明 它的几何意义是 半径 半弦 如下图所示 重要不等式及其应用 定理1如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 定理2如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 公式 答案 1 不对 因为tg ctg R 不符合不等式a b 2成立的条件 a b R 若tg ctg R 解法就对了 这时候需令 是第一 三象限的角 2 解法不对 因为