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利用外接圆的性质巧解几何题摘要 通过巧作外接圆的辅助线，利用外接圆的性质转化原有的题设条件，开阔解题思路，给出有关三角形、四边形等的几何问题解题的新思路，以及托勒密定理在有关几何题的解题的应用，最后进一步推测正多边形外接圆上点的一些其他性质并给出证明。关键词 三角形外接圆 四边形外接圆 托勒密定理 正多边形外接圆上点的性质Using the nature of circumscribed circle to slove geometry skillfullyAbstract Through making the auxiliary line of circumscribed circle skillfully, use the nature of circumscribed circle to transform the original problem set conditions, widen our trains of thought in solving problems, then give some new thoughts to slove related triangle, quadrilateral and other geometric problems. Finally, giving a further speculation about some nature of dots on circumscribed circle of regular polygon and proving it. Keywords Triangle circumscribed circle Quadrilateral circumscribed circle Ptolemy theorem Nature of dots on circumscribed circle of regular polygon目录摘要I关键词：I第一章 引言1第二章 多边形外接圆的性质及作图依据1（一）多边形外接圆的定义1（二）多边形外接圆的性质1（三）作外接圆辅助线的依据1第三章 巧作外接圆在有关三角形几何问题上的应用1（一）证明角相等1（二）求线段长3（三）证明线段间的关系3（四）最值问题 4第四章 巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用5（一）证明角相等5（二）证明线段间的关系61、证明两条线段相等62、证明线段成比例 6（三）证明两线间的位置关系71、证明两线平行72、证明两线垂直8（四）证明三点共线8（五）证明多点共圆9第五章 利用托勒密定理及其逆定理证明有关几何题10（一）托勒密定理10（二）托勒密逆定理10（三）定理的应用111、证明“勾股定理”112、证明等腰梯形一性质12 3、借助定理巧变原式妙构图形12第六章 进一步推测并证明正多边形外接圆上点的一些其他性质14（一）正三角形外接圆上点的性质14性质114（二）正多边形外接圆上点的性质及其推广151、性质2及其推广152、性质3及其推广17结论22致谢语23References2323第一章 引言 众所周知，圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线。外接圆的性质是中学数学的一个重要知识，在一些几何的解题证明过程中，若能发现题目中所隐藏的外接圆的条件，进而巧作外接圆并恰当利用外接圆的性质转化原有的题设条件，可使解题过程简单化。因此，掌握这种解题策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。本文将给出巧作外接圆辅助线在解决几何问题上的应用，最后对正多边形外接圆上点的性质进行推广并给出证明。第二章 多边形外接圆的性质及作图依据(一)、多边形外接圆的定义：经过多边形各个顶点的圆叫作该多边形的外接圆(二)、多边形外接圆的性质：1、多边形外接圆的圆心到各顶点的距离相等2、不在同一直线上的三点只能确定一个圆，即任意一个三角形都有外接圆3、在同一外接圆上同弧（或等弧）所对的弦、圆周角、圆心角、弦心距相等4、内接于圆的凸四边形对角互补且一外角等于内对角5、外接圆的直径所对的圆周角为直角6、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等 (若，7、托勒密定理：圆内接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积 (三)、作外接圆的依据：1、根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”来添加辅助圆2、根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”来添加辅助圆3、根据“对角互补或一外角等于内对角的凸四边形内接于圆”来添加辅助圆4、根据“顶点在公共底边的同侧且对底边的张角相等的两个三角形有公共的外接圆”来添加辅助圆5、根据“托勒密定理及其逆定理证明四点共圆”来添加辅助圆 第三章 巧作外接圆在有关三角形几何问题上的应用任意一个三角形都有外接圆，然而题目中往往只见三角形，不见其隐藏的外接圆，在审题时若能准确的找出题目中的关键词和关键数据，将所给信息进行合理的转换，合理的取舍，利用三角形外接圆这一隐含的条件，将三角形外接圆的性质与题目中所给信息有效的结合起来，借助外接圆这一辅助可使问题简单化，本章将从以下四个方面加以说明。(一)、证明角相等 例1、已知：如图3-1所示，在中，为内满足条件及的一个点求证：。 图3-1 分析：要证是的三等分线，即证。又，如果过点作的中垂线，此时考虑到与三角形外接圆相结合，即只需证，又所对的两圆周角，即转换到证明，又所对的两圆周角，所以只需证，即要证，此时又有，如果我们能证明，那么，即有，故首先需用题目所给条件先证明。 证明：如图1，过点作，连接并延长交外接圆于点，连接。 为 即 又又又，即又 ，即有，即又故为的三等分线(二)、求线段长 例2、如图3-2，已知：和中，,，求。 图3-2分析：根据有公共斜边的直角三角形定有公共外接圆这一性质，可得如下解法。 解：作的外接圆O，则是O 的直径，点在O上，点关于直径的对称点也在O上 ，连结, 则有 = ,. 由余弦定理有 (三)、证明线段间的关系例3、已知：如图3-3，为等边三角形，为上一点求证：。 图3-3 分析：根据所求的式子，可联想到作辅助圆，利用相交弦定理证明 证明：作的外接圆，延长交所作辅助圆于，连结 为等边三角形 由相交弦定理，得 （四）、最值问题 例4、如图3-4，已知在直角坐标系内有一点，另一点满足，求的最大值。 图3-4 分析: l：，因此利用正弦定理可将三角形的角、对边、和外接圆的半径巧妙的联系起来，从而打开了思路。 解：设的外接圆为圆，其半径为 点的轨迹为直线l： 由图可知为锐角，在中根据正弦定理得：即 圆心在线段的中垂线上，点在直线l上当圆与直线l相切时，第四章 巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用 “四点共圆”是平面几何中的重点内容，它在几何中的应用非常广泛，然而不像三角形那样并非所有的四边形都有外接圆，其必须满足一定的性质条件，因此在有关四边形几何问题的解题过程中，若能转换题目所给的条件，利用外接圆的性质将题目中隐藏的外接圆辅助线作出，并应用四点共圆的性质解题，对开阔解题思路，提高解题能力十分有益，本章将从以下五个方面加以说明。（一）、证明角相等例5、已知：如图4-1，为O外一点，切O于，切O于，交于，弦过点求证：图4-1 分析：要证，只需证，即证明四点共圆即可，此时依据题目所给条件结合外接圆的性质中射影定理、相交弦定理即可获证。证明：连结，依题意易知由射影定理，得 又，则 由相交弦定理，得 从而有 四点共圆，则易得 （二）、证明线段间的关系 1、证明两条线段相等 例6、已知：如图4-2，在正方形中，交的平分线于求证： 图4-2 分析：已知，要证，只要证即可 证明：连结，又 2、证明线段成比例例7、已知：如图4-3，在O中，切O于点O于点上任意一点， 求证： 图4-3分析：只需证所在的两个三角形相似。证明：连结 由于 四点共圆 又 四点共圆 ，即有同理从而故所证成立（三）、证明两线间的位置关系1、证明两线平行例8、已知：如图4-4，在中，的两条三等分线交于，交于求证：。 图4-4分析：要证，即证，故只需依据对称性的性质结合等角之间的转化及证明四点共圆即可。证明：连接，的两条三等分线交于 由对称性知，为的三等分线即又即四点共圆，即有又故有2、证明两线垂直例9：已知：如图4-5，为等边三角形，分别为边上的点，且，与相交于点求证： 图4-5分析：利用对角互补或一外角等于内对角的凸四边形内接于圆，再应用外接圆直径所对的周角为，从而打开思路。证明：连接， ，即可得四点共圆 设点为的中点，则四点在以为圆心，为直径的圆上 （四）、证明三点共线 例10、已知：如图4-6，为外接圆上任意一点，点到三边垂线的垂足求证：三点共线。 图4-6 分析：要证三点共线，可转化为证明，根据题目所给条件，找出其隐藏的外接圆这一条件，结合四点共圆的性质即可获证。证明：连接 四点共圆 又 四点共圆 又在有 ，从而得 三点在同一直线上（五）、证明多点共圆 例11、已知：如图4-7，为的垂心，为点关于各边的对称点求证：六点共圆。 图4-7分析：利用直径所对的圆周角是直角，证明四点共圆，再根据同弧上的圆周角相等及轴对称的性质推出三点均在的外接圆上，从而得到结论。证明：连接，依题意，关于对称，则 四点共圆，即有 于是 四点共圆， 即点在的外接圆上 同理可证：也在的外接圆上 六点共圆第五章 利用托勒密定理及其逆定理证明有关几何题（一）、1、托勒密定：理圆内接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积 2、几何意义：圆内接四边形中，一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和等于两对角线所包矩形的面积 3、定理证明： 已知：圆内接四边形 求证： 图5-1证明：如图所示，四边形内接于O，在上取点使得 又， 故有（二）、托勒密逆定理 1、托勒密逆定理：若凸四边形中满足两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，则该四边形内接于圆 2、定理证明： 已知：在凸四边形中 求证：四点共圆 图5-2 证明：在凸四边形内取一点，使得 ，即有 又 其中等号当且仅当在上，即时成立 即在四点共圆时成立 故所证成立（三）、定理的应用 1、证明“勾股定理”： 已知：如图5-3，在中， 求证： 图5-3 分析：根据直角三角形的特殊性质即可发现其隐藏的外接圆这一条件，将所需 证明的式子变形为，构造图形利用托勒密定理即可获证。 证明：如图所示，作以的斜边为一对角线的矩形，显然 是圆内接四边形 由托勒密定理，有 又是矩形 2、证明等腰梯形一性质：等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积 已知：如图5-4，在四边形中， 求证： 图5-4 分析：根据等腰梯形的性质即可发现其隐藏的外接圆条件，将所需证明的式子变形为，根据题目所给条件直接应用托勒密定理即可获证。证明：等腰梯形内接于圆由托勒密定理，有 又 3、借助定理巧变原式妙构图形 例1、 已知：如图5-8，是的三边，且 求证： 图5-8 分析：将变形为，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰长为，两对角线长为，一底边长为证明：如图所示，作的外接圆，以为圆心，长为半径作弧交 的外接圆于点，连接 ，即四边形为等腰梯形 ， 由托勒密定理，有即 又已知，即 例2、已知：如图5-9，在中， 求证： 图5-9 分析：将结论变形为，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形 证明：如图，作的外接圆，作弦，连接 在圆内接四边形中，由托勒密定理有： 即又 又又即有上式两端同除以，得故所证成立第六章 进一步推测并证明正多边形外接圆上点的其他一些性质（一）、正三角形外接圆上点的性质性质1：正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长者必等于较短二者之和已知：如图6-1，是正外接圆的劣弧上任意一点（不与重合）求证： 图6-1分析：此题证法甚多，下面我们将用两种方法加以证明1、法一：补短法 图6-2证明：如图6-2所示， 延长并在的延长线上截取，连接 在正中， 又 为等边三角形 2、法二：直接应用托勒密定理证明证明：由托勒密定理知： 在正中有 （二）、正多边形外接圆上点的性质及其推广1、性质2及其推广（1）、性质2：半径为的正三角形外接圆周上任意一点到各顶点距离的平方和为已知：如图6-3，是半径为的正外接圆周上异于点的任意一点求证： 图6-3证明：依题意，在正中有 由托勒密定理知， 又在中，由余弦定理有 整理得 即 故所证成立（2）、性质2的推广 引理1：半径为的圆周上任意一弦与此弦所对圆周角的正弦之比等于 图6-4证明：如图6-4，由正弦定理易证 ， 即对于圆周角取优弧还是劣弧均成立 故引理成立推广：半径为的正边形外接圆周上任意一点到各顶点距离的平方和为 图6-5证明：如图6-5，为正边形，为正边形圆周上任意一点，按顺时针方向考虑弦所对的圆周角。设弦所对的圆周角为 ，则弦 所对的圆周角为，弦所对的圆周角为，弦所对的圆周角为 由引理1得： 而 故所证成立2、性质3及其推广（1）、性质3：正三角形外接圆上任意一点到各边的距离的平方之和为一定值 已知：是半径为的正外接圆上的任意一点，分别为点到边所在直线的距离 求证： 为一定值 图6-6 证明：如图6-6所示，以圆心为原点，过点与边平行的直线为 轴，建立平面直角坐标系正外接圆的半径为 ， 则直线的方程分别为： ， 不妨设点的坐标为，则点到边所在直线的距离分别为 为一定值 故所证成立（2）、推广：正多边形外接圆上任意一点到各边的距离的平方之和为一定值已知：是半径为的正多边形外接圆上的任意一点，分别为点到边所在直线的距离求证：当点位置变化时，为定值 图6-7证明：如图6-7所示，以正多边形外接圆的圆心为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 依题意，正多边形的外接圆半径为，记，则有 ，其中 ，当时点与重合 直线的斜率为 直线的方程为 即 可以验证，当有某些直线的斜率不存在时，它们的方程也满足上式不妨设点的坐标为，则点到边所在直线的距离为 而 即 同理 而 即 为一定值 故所证成立 结论本文在结合所阅读文献的基础上，更全面的概括了巧作外接圆并利用其性质在三角形、四边形等几何问题上的应用，并以相应的例题加以说明，突显了辅助圆在解几何问题上的优越性，最后对正多边形外接圆周上点的一些性质进行进一步的推广和证明。显然，利用外接圆的性质巧解几何题其关键在于作辅助圆，故在审题时要准确的找出题目中关键词和关键数据，将其进行合理的取舍和转换，发现题目中所隐藏的外接圆这一条件，并巧妙的应用外接圆的性质帮助解