高中理科数学解题方法篇(值域与最值3).ppt

第二单元函数 新课标高中一轮总复习 第8讲 函数的值域与最值 理解函数的单调性 值域和最值的概念 掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段 1 函数y 3x 1 x 3 且x Z 的值域是 3 0 3 6 9 由 1 x 3 且x Z x 1 0 1 2 3 代入y 3x 得所求值域为 3 0 3 6 9 2 函数f x x R 的值域是 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 B 函数f x x R 所以1 x2 所以原函数的值域是 0 1 5 已知x 0 y 0 且x 2y 1 则2x 3y2的最小值为 因为x 2y 1 x 0 y 0 所以0 2y 1 0 i 2x 3y2 3y2 2 4y 3 y 2 所以当y 时 2x 3y2 min 3 2 3 函数f x x2 2x x 0 4 的最大值是 最小值是 8 1 f x x 1 2 1 当x 1时 f x min 1 当x 4时 f x max 42 2 4 8 4 函数f x x 12 的值域是 2 当x 1时 取最大值 2 1 函数的值域与最值 1 函数的值域是 的集合 它是由定义域和对应法则共同确定的 所以求值域时应注意函数的 2 函数的最值 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有f x M 存在x0 I 使得f x0 M 则称M是函数y f x 的 类似地可定义f x 的最小值 函数值 定义域 最大值 2 基本初等函数的值域 1 一次函数y kx b k 0 的值域为 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的值域 当a 0时 值域为 当a0且a 的值域为 R y y 0 0 5 对数函数y logax a 0且a 的值域为 6 正 余弦函数y sinx x R y cosx x R 的值域为 正切函数y tanx x k k Z 的值域为 R 1 1 R 3 求函数的值域 最值 常用的方法 1 二次函数用配方法 2 单调性法 3 导数法 4 复合函数的值域由中间变量的范围确定 此外还有换元法 数形结合法 基本不等式法等 4 若f x 为闭区间 a b 上的连续函数 则f x 在 a b 上一定有最大 最小值 已知函数y f x 的值域为集合D 函数y f x 的最大值 最小值分别为M N 则M N D的关系是 题型一值域与最值的关系 例1 A D N M B M D NC D N M D M N D D 不妨设f x 3x 1 x 3 且x Z 可知D 3 0 3 6 9 M 9 N 3 可知 A B C错误 选D 1 函数的值域是函数值的集合 函数的最值是该集合中的元素 2 当函数y f x 在其定义域上是连续函数时 D N M 其中N f x min M f x max 题型二函数值域的求法 例2 求函数f x cosx lg 1 x2 的值域 由1 x2 0 得f x 的定义域为 x 1 x 1 且f x 为偶函数 故可考虑0 x 1时的情况 此时 f x 为减函数 故f x f 0 1 所以f x 的值域为 y y 1 1 函数的值域由定义域和对应法则一并确定 故应特别注意定义域对其值域的制约 2 求值域的常用方法有 1 观察法 一看定义域 二看函数性质 三列举 2 函数单调性法 见例2 3 转换法 转换为基本函数 或条件基本函数 如y 与y 的关系 y 与Ax2 Bx C 0 转换为几何问题 数形结合 转换为三角函数问题 利用三角函数的有界性 4 不等式法 5 导数法 求下列函数的值域 1 y 2x2 4x 1 2 y log 3 y 这些都是求复合函数的值域 可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求 1 因为t x2 4x 1 x 2 2 3 3 所以2t 2 3 所以该函数的值域为 2 因为00 从而y1 所以该函数的值域为 1 1 已知函数f x x2 4ax 2a 6 a R 1 若函数f x 的最小值为0 求a的值 2 若函数f x 0对任意x R都恒成立 求函数g a 2 a a 3 的最大值 题型三函数的值域与最值的综合问题 例2 1 因为f x x 2a 2 2a 6 4a2 且f x min 0 所以2a 6 4a2 0 所以a 1或a 2 因为f x 0 由 知 2a 6 4a2 0 解得 1 a 所以g a 2 a a 3 2 a a 3 a 2 a 1 所以当a 1时 g a max 4 1 因为二次函数f x 在R上连续 所以f x 的最小值为0 即f x 的值域为 0 2 由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已 故求值域的方法都适用于求函数的最值 已知函数f x 1 x 0 1 当0 a b 且f a f b 求证 2 2 是否存在实数a b a b 使得函数y f x 的定义域 值域都是 a b 若存在 则求出a b的值 若不存在 请说明理由 首先化简函数解析式 判断函数的单调性 利用单调性求解 注意思维的严谨性和敏捷性 要数形结合 分类讨论 1 证明 因为f x 1 1 01 故f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增函数 由0 a b和 1 1 得 2 2 假设存在这样的实数a b a b 使得函数y f x 的定义域 值域都是 a b 当0 a b 1时 函数f x 1在 0 1 上是减函数 则f a bf b a 即 1 b 1 a 解得a b 与0 a b 1矛盾 故此时不存在满足条件的实数a b 当1 a b时 函数f x 1 在 1 上是增函数 则f a af b b此时实数a b为方程x2 x 1 0的两根 但方程x2 x 1 0无实根 因此不存在满足条件的实数a b 当 0 故此时不存在满足条件的实数a b 综合 可得 满足条件的实数a b不存在 1 a1 b 即 1 配方法 主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数 要特别注意自变量和新变量的范围 2 均值不等式法 利用基本不等式或均值不等式求最值时 一定要注意等号成立的条件 3 函数单调性法 4 导数法 5 数形结合法 常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义 因为00 所以y 2tanx 当且仅当tanx 时 成立 2009 湖南卷 函数y 2tanx tan x 0 x 的最小值是 2009 海南 宁夏卷 用min a b c 表示a b c三个数