高中数学：数列的通项与求和问题.ppt

第1讲数列的通项与求和问题 高考定位高考对本讲知识主要以解答题的形式考查以下两个问题 1 以递推公式或图 表形式给出条件 求通项公式 考查学生用等差 等比数列知识分析问题和探究创新的能力 属中档题 2 通过分组 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题 考查等差 等比数列求和公式及转化与化归思想的应用 属中档题 安全文明网 2 常见的求和的方法 1 公式法求和适合求等差数列或等比数列的前n项和 对等比数列利用公式法求和时 一定注意公式q是否取1 2 错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 4 倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法 将一个数列倒过来排序 它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 5 分组求和法一个数列既不是等差数列 也不是等比数列 若将这个数列适当拆开 重新组合 就会变成几个可以求和的部分 即能分别求和 然后再合并 规律方法给出Sn与an的递推关系 求an 常用思路是 一是利用Sn Sn 1 an n 2 转化为an的递推关系 再求其通项公式 二是转化为Sn的递推关系 先求出Sn与n之间的关系 再求an 规律方法已知an与an 1的关系式求通项an时 常有以下类型 形如an 1 an f n f n 不是常数 的解决方法是累加法 形如an 1 an f n f n 不是常数 的解决方法是累乘法 形如an 1 pan q p q均为常数且p 1 q 0 解决方法是将其构造成一个新的等比数列 形如an 1 pan qn p q均为常数 pq p 1 0 解决方法是在递推公式两边同除以qn 1 1 解由题意知 S n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 令n 1 有S 12 1 3 S1 3 12 1 0 可得有S S1 6 0 解得S1 3或2 即a1 3或2 又an为正数 所以a1 2 2 解由S n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 可得 Sn 3 Sn n2 n 0 则Sn n2 n或Sn 3 又数列 an 的各项均为正数 所以Sn n2 n Sn 1 n 1 2 n 1 所以当n 2时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 规律方法错位相减法适用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分等比数列的和 此时一定要查清其项数 训练2 2014 菏泽模拟 已知数列 an a1 5 a2 2 记A n a1 a2 an B n a2 a3 an 1 C n a3 a4 an 2 n N 若对于任意n N A n B n C n 成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 an 的前n项和 解 1 根据题意A n B n C n 成等差数列 A n C n 2B n 整理得an 2 an 1 a2 a1 2 5 3 数列 an 是首项为 5 公差为3的等差数列 an 5 3 n 1 3n 8 2 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型 1 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解 2 并项求和时 将问题转化为等差数列求和 3 分组求和时 将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的