2019-2020学年浙江省丽水市四校高二上期中数学试卷版含答案.pdf

1 2019 2020 学年浙江省丽水市四校高二 上 期中数学试卷学年浙江省丽水市四校高二 上 期中数学试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 圆 22 240 xyxy 的半径为 A 3B 3C 5D 5 2 椭圆 22 1 04 4 xy m m 的离心率为 2 2 则 m A 1B 2C 2D 2 2 3 经过点 1 3 倾斜角是150 的直线方程是 A 33 310 xy B 33 310 xy C 33 310 xy D 33 310 xy 4 圆 22 1 1Oxy 与圆 22 2 2 22 230Oxyxy 的位置关系是 A 外离B 相交C 内切D 外切 5 若直线 1 20 xm y 和直线240mxy 平行 则m的值为 A 1B 2 C 1 或2 D 2 3 6 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积是 A 48 3 B 48 32 C 88 3 D 88 32 7 已知抛物物线 2 4C yx 的焦点为F和准线为l 过点F的直线交l于点A 与抛物线的 一个交点为B 且2FAFB 则 AB A 3B 6C 9D 12 8 已知直线3ymxm 和曲线 2 4yx 有两个不同的交点 则实数m的取值范围是 2 A 2 0 5 5 B 2 5 0 5 C 22 5 5 55 D 14 0 7 9 已知实数x y满足不等式组 2 0 xy x a x y 且2zxy 的最大值是最小值的 2 倍 则 a A 3 4 B 5 6 C 6 5 D 4 3 10 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F P为双曲线上一点 且 12 2 PFPF 若 12 15 sin 4 FPF 则该双曲线的离心率等于 A 6B 2C 6或 2D 5 2 或6 11 在平面直角坐标系xOy中 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 相交于点P 则 当实数k变化时 点P到直线43100 xy 的距离的最大值为 A 2B 9 2 C 11 2 D 7 4 12 已知椭圆 22 111 22 11 1 0 xy Cab ab 与双曲线 22 222 22 22 1 0 0 xy Cab ab 有相同的左 右焦点 1 F 2 F 若点P是 1 C与 2 C在第一象限内的交点 且 122 4 F FPF 设 1 C与 2 C的 离心率分别为 1 e 2 e 则 21 ee 的取值范围是 A 1 3 B 1 1 3 C 1 2 D 1 2 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 其中多空题每题小题 其中多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 34 分 分 13 双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是 实轴长为 14 已知实数x y满足 2 4 24 0 x xy xy 则目标函数3zxy 的最小值是 最大值 是 15 已知直线 1 2 10lxy 与 2 250lxy 相交于点P 则点P的坐标为 经过点 P且垂直于直线3450 xy 的直线方程为 16 当直线 130l kxyk 被圆 22 16xy 所截得的弦长最短时 k 3 17 已知双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 其渐近线方程为230 xy 焦距为2 13 则双曲线C的标准方程为 18 在平面直角坐标系xoy中 点 1 0 A 4 0 B 若在曲线 222 24590C xaxyaya 上存在点P使得 2 PBPA 则实数a的取值范围为 19 过椭圆 22 1 95 xy 的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A B两点 若 2AFFB 则k 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 14 分 共分 共 56 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 20 已知直线1yax 和抛物线 2 4yx 相交于不同的A B两点 若2a 求弦长 AB 若以AB为直径的圆经过原点O 求实数a的值 21 已知直线 l ykxm 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 恰有一个公共点P l与圆 222 xya 相交于A B两点 求m 用a b k表示 当 1 2 k 时 AOB 的面积的最大值为 2 1 2 a 求椭圆的离心率 4 22 已知抛物线 2 2 0 E ypx p 过其焦点F的直线与抛物线相交于 1 A x 1 y 2 B x 2 y两点 满足 12 4y y 1 求抛物线E的方程 2 已知点C的坐标为 2 0 记直线CA CB的斜率分别为 1 k 2 k 求 22 12 11 kk 的最小 值 23 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右顶点分别为A B 离心率为 1 2 点 3 1 2 P 为椭圆上一点 1 求椭圆C的标准方程 2 如图 过点 0 1 C且斜率大于 1 的直线l与椭圆交于M N两点 记直线AM的斜率 为 1 k 直线BN的斜率为 2 k 若 12 2kk 求直线l斜率的值 5 2019 2020 学年浙江省丽水市四校高二 上 期中数学试卷学年浙江省丽水市四校高二 上 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 圆 22 240 xyxy 的半径为 A 3B 3C 5D 5 解答 解 圆 22 240 xyxy 的半径 1 4165 2 r 故选 C 2 椭圆 22 1 04 4 xy m m 的离心率为 2 2 则 m A 1B 2C 2D 2 2 解答 解 椭圆 22 1 04 4 xy m m 的离心率为 2 2 可得 42 22 m 解得2m 故选 C 3 经过点 1 3 倾斜角是150 的直线方程是 A 33 310 xy B 33 310 xy C 33 310 xy D 33 310 xy 解答 解 直线的倾斜角为150 所求直线的斜率 3 tan150 3 k 又直线过点 1 3 所求直线方程为 3 3 1 3 yx 即33 310 xy 故选 B 4 圆 22 1 1Oxy 与圆 22 2 2 22 230Oxyxy 的位置关系是 A 外离B 相交C 内切D 外切 解答 解 圆 22 1 1Oxy 的圆心坐标为 0 0 半径为 1 6 化圆 22 2 2 22 230Oxyxy 为 22 2 2 1xy 则圆 2 O的圆心坐标为 2 2 半径为 1 12 222OO 等于两圆半径和 两圆的位置关系是外切 故选 D 5 若直线 1 20 xm y 和直线240mxy 平行 则m的值为 A 1B 2 C 1 或2 D 2 3 解答 解 直线 1 20 xm y 和直线240mxy 平行 可得 1 2 1 2 mm m 得 1m 故选 A 6 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积是 A 48 3 B 48 32 C 88 3 D 88 32 解答 解 根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体 中间挖去一个圆锥体剩余部分 如图所示 则该几何体的表面积是 2222 2242311 3 188 3S 7 故选 C 7 已知抛物物线 2 4C yx 的焦点为F和准线为l 过点F的直线交l于点A 与抛物线的 一个交点为B 且2FAFB 则 AB A 3B 6C 9D 12 解答 解 抛物线 2 4C yx 的焦点 1 0 F和准线 1l x 设 1 Aa B m n 2FAFB 可得 2 3FAAB 2 3FDBC 3BC 2m 2 42n 2 2n 4 2a 22 3 6 2 9AB 故选 C 8 已知直线3ymxm 和曲线 2 4yx 有两个不同的交点 则实数m的取值范围是 A 2 0 5 5 B 2 5 0 5 C 22 5 5 55 D 14 0 7 解答 解 直线3 3 ymxmm x 经过定点 3 0 P 以m为斜率 曲线 2 4yx 是以原点为圆心 半径2r 的圆的上半圆 同一坐标系内作出它们的图象 如图 当直线与半圆切于A点时 它们有唯一公共点 此时 直线的倾斜角 满足 2 sin 3 2 5 cos1 3 sin 可得直线的斜率 sin2 5 tan cos5 m 当直线3ymxm 的倾斜角由此位置变小时 两图象有两个不同的交点 直线斜率m变成 8 0 为止 由此可得当 2 5 0 5 m 时 直线3ymxm 和曲线 2 4yx 有两个不同的交点 故选 A 9 已知实数x y满足不等式组 2 0 xy x a x y 且2zxy 的最大值是最小值的 2 倍 则 a A 3 4 B 5 6 C 6 5 D 4 3 解答 解 实数x y满足不等式组 2 0 xy x a x y 作图可知 若可行区域存在 则必有1a 故排除CD 由2zxy 得2yxz 平移直线2yxz 由图象可知当直线2yxz 经过点 1 1 B时 直线3yxz 的截距最大 此时z最大 最小为1 max z 平移直线2yxz 由图象可知当直线2yxz 经过点 2 A aa 时 直线2yxz 的截距最小 此时z最小为32 min za 2zxy 的最大值是最小值的 2 倍 由641a 解得 5 6 a 故选 B 9 10 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F P为双曲线上一点 且 12 2 PFPF 若 12 15 sin 4 FPF 则该双曲线的离心率等于 A 6B 2C 6或 2D 5 2 或6 解答 解 由双曲线定义可知 122 2PFPFPFa 1 4PFa 由 12 15 sin 4 FPF 可得 12 1 cos 4 FPF 在 12 PFF中 由余弦定理可得 222 41641 2244 aac aa 解得 2 2 4 c a 或 2 2 6 c a 2 c e a 或6 故选 C 11 在平面直角坐标系xOy中 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 相交于点P 则 当实数k变化时 点P到直线43100 xy 的距离的最大值为 A 2B 9 2 C 11 2 D 7 4 解答 解 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 的斜率之积 1 1k k 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 垂直 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 分别过点 0 4 M 3 0 N 直线 1 40lkxy 与直线 2 30lxky 的交点P在以MN为直径的圆上 10 P为以 3 2C 2 为圆心 半径为 5 2 的圆上 圆心C到直线43100 xy 的距离为 6610 2 5 d 则点P到直线43100 xy 的距离的最大值为 59 2 22 dr 故选 B 12 已知椭圆 22 111 22 11 1 0 xy Cab ab 与双曲线 22 222 22 22 1 0 0 xy Cab ab 有相同的左 右焦点 1 F 2 F 若点P是 1 C与 2 C在第一象限内的交点 且 122 4 F FPF 设 1 C与 2 C的 离心率分别为 1 e 2 e 则 21 ee 的取值范围是 A 1 3 B 1 1 3 C 1 2 D 1 2 2 解答 解 设 1 PFm 2 PFn 由椭圆的定义可得 1 2mna 由双曲线的定可得 2 2mna 解得 12 maa 12 naa 由 122 4 F FPF 可得 1 2 nc 即 12 1 2 aac 由 1 1 c e a 2 2 c e a 可得 12 111 2ee 由 1 01e 可得 1 1 1 e 可得 2 11 2e 即 2 12e 则 2 22 212 22 2 22 ee eee ee 可设 2 2 34 ett 则 22 2 2 2 4 4 2 et t ett 由 4 4f tt t 在34t 递增 可得 1 3f t 1 故选 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 其中多空题每题小题 其中多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 34 分 分 13 双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是320 xy 实轴长为 11 解答 解 双曲线 22 1 43 xy 可得2a 3b 所以双曲线的渐近线方程是 320 xy 实轴长为 4 故答案为 320 xy 4 14 已知实数x y满足 2 4 24 0 x xy xy 则目标函数3zxy 的最小值是6 最大值 是 解答 解 由实数x y满足 2 4 24 0 x xy xy 作出可行域如图 联立 2 240 x xy 解得 2 0 A 由 4 240 xy xy 解得 8 3B 4 3 化目标函数3zxy 为3yxz 由图可知 当直线3yxz 过点A时 直线在y轴上的截距最小 z有最小值为 6 当直线3yxz 过点B时 直线在y轴上的截距最大 z有最大值为 28 3 故答案为 6 28 3 15 已知直线 1 2 10lxy 与 2 250lxy 相交于点P 则点P的坐标为 1 3 经过点P且垂直于直线3450 xy 的直线方程为 解答 解 联立 210 250 xy xy 解得 1 3 x y 12 P 点的坐标为 1 3 设垂直于直线3450 xy 的直线方程为430 xyc 把 1 3 代入解得5c 经过点P且垂直于直线3450 xy 的直线方程为4350 xy 故答案为 1 3 4350 xy 16 当直线 130l kxyk 被圆 22 16xy 所截得的弦长最短时 k 3 解答 解 直线 130l kxyk 整理得 1 3 yk x 故直线经过定点 3 1 当经过点 3 1 的直线且垂直于直线 1 3 yx 的直线时 弦长最短为 2 2 4102 6 此时3k 故答案为 3 17 已知双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 其渐近线方程为230 xy 焦距为2 13 则双曲线C的标准方程为 22 1 94 xy 解答 解 双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 其渐近线方程为230 xy 焦距为 2 13 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 可得 2 3 b a 并且 222 13cab 可得3a 2b 所求双曲线的标准方程为 22 1 94 xy 故答案为 22 1 94 xy 18 在平面直角坐标系xoy中 点 1 0 A 4 0 B 若在曲线 222 24590C xaxyaya 上存在点P使得 2 PBPA 则实数a的取值范围为 5 55 55 5 解答 解 根据题意 设 P x y 若 2 PBPA 即 22 4 PBPA 则有 2222 4 4 1 4xyxy 变形可得 22 4xy 13 即P的轨迹为以O为圆心 半径为 2 的圆 曲线 222 24590Cxaxyaya 即 22 2 9xaya 则曲线C是以 2 aa为圆 心 半径为 3 的圆 若曲线C上存在点P使得 2 PBPA 则圆C与圆 22 4xy 有公共点 则有 22 32423aa 即15 5a 解可得 5 5 5 a 或 5 5 5 a 即a的取值范围为 5 55 55 5 故答案为 5 55 55 5 19 过椭圆 22 1 95 xy 的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A B两点 若 2AFFB 则k 3 解答 解 由椭圆方程可得3a 5b 2c 2 0 F 设直线l 2 yk x 1 A x 1 y 2 B x 2 y 由2AFFB 12 2yy 所以 2 1212 2112 15 22 22 yyyy yyy y 联立解方程组 22 2 1 95 yk x xy 得到关于y的方程 222 95 20250kykyk 得 2 1212 22 2025 9595 kk yyy y kk 带入 化简得 2 165 2 952k 得 2 932527k 所以 2 3k 3k 故答案为 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 14 分 共分 共 56 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 20 已知直线1yax 和抛物线 2 4yx 相交于不同的A B两点 若2a 求弦长 AB 14 若以AB为直径的圆经过原点O 求实数a的值 解答 解 将直线21yx 和抛物线 2 4yx 联立 可得 2 4810 xx 设 1 A x 1 y 2 B x 2 y 可得 12 2xx 12 1 4 x x 即有 2 121212 1 14 5 454415 4 ABxxxxx x 将直线1yax 和抛物线 2 4yx 联立 可得 22 24 10a xax 0a 设 1 A x 1 y 2 B x 2 y 可得 22 24 416 160aaa 即1a 12 2 42a xx a 12 2 1 x x a 2 12121212 1 1 1y yaxaxa x xa xx 以AB为直径的圆经过原点O 可得OAOB 可得 1212 0 x xy y 即有 22 1212 22 142 1 1 1 10 a ax xa xxaa aa 解得 1 4 a 满足 0 故 1 4 a 21 已知直线 l ykxm 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 恰有一个公共点P l与圆 222 xya 相交于A B两点 求m 用a b k表示 当 1 2 k 时 AOB 的面积的最大值为 2 1 2 a 求椭圆的离心率 解答 解 根据题意 直线l与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 恰有一个公共点P 即相 切 则有 22 22 1 ykxm xy ab 得 22222222 2 0a kbxa kmxa mb 15 则 22222222 2 4 0a kma kb a mb 化简整理 得 2222 ma kb 222 mk ab 因为当 1 2 k 时 OAB 的面积取到最大值 2 2 a 此时OAOB 从而原点O到直线l的距离 2 a d 又 2 1 m d k 故 22 2 12 ma k 再由 I 得 2222 2 12 a kba k 则 2 2 2 2 1 b k a 又 1 2 k 故 2 2 2 21 1 4 b k a 即 2 2 3 8 b a 从而 22 2 22 5 1 8 cb e aa 即 10 4 e 22 已知抛物线 2 2 0 E ypx p 过其焦点F的直线与抛物线相交于 1 A x 1 y 2 B x 2 y两点 满足 12 4y y 1 求抛物线E的方程 2 已知点C的坐标为 2 0 记直线CA CB的斜率分别为 1 k 2 k 求 22 12 11 kk 的最小 值 解答 本小题满分 12 分 解 1 因为直线过焦点 所以有 2 12 4y yp 解得2p 所以抛物线E的方程为 2 4yx 2 由 1 知抛物线的焦点坐示为 0 F l 设直线AB的方程为1xmy 联立抛物线的方程 2 440ymy 所以 12 4