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高中数学 必修1 1 3 1 1 函数的单调性 观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 1 观察这三个图象 你能说出图象的特征吗 2 随x的增大 y的值有什么变化 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 从左至右图象上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图象 观察其变化规律 一 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 1 增函数 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间D上是减函数 2 减函数 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 注意 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 二 函数的单调性定义 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 三 判断函数单调性的方法步骤 1任取x1 x2 D 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3变形 通常是因式分解和配方 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 思考 思考 画出反比例函数的图象 1这个函数的定义域是什么 2它在定义域I上的单调性怎样 证明你的结论 证明 函数f x 1 x在 0 上是减函数 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 因此f x 1 x在 0 上是减函数 取值 定号 变形 作差 判断 讨论一般性 问题 1 当k变化时函数的单调性有何变化 2 当b变化时函数的单调性有何变化 在增函数在减函数 在增函数在减函数 在 是减函数 在 0 和 0 是减函数 在 是增函数 在 0 和 0 是增函数 四 归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 画函数
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