程稼夫电磁学第二版第一章习题.pdf

前言 特别感谢质心教育的题库与解析 以及 程稼夫力学 电磁学习题答案详解 的作者 前辈和血色 寂宁前辈的资料 1 1 设两个小球所带净电荷为 q 距离为 l 由库仑定律 由题目 设小球质量 m 铜的摩尔质量 M 则有 算得 1 2 取一小段电荷 其对应的圆心角为 d 这一小段电荷受力平衡 列竖直方向平衡方程 设张力增量为 T 解得 1 3 1 设地月距离 R 电场力和万有引力抵消 解得 2 地球分到 月球分到 电场力和万有引力抵消 解得 1 4 设向上位移为 x 则有 结合牛顿第二定律以及略去高次项 有 1 5 由于电荷受二力而平衡 故三个电荷共线且 q3 在 q1 和 q2 之间 先由库仑定律写出静电力标量式 有几何关系 联立解得 由库仑定律矢量式得 解得 1 6 1 对一个正电荷 受力平衡 解得 显然不可能同时满足负电荷的平衡 2 对一个负电荷 合外力提供向心力 解得 1 7 1 设 P 限制在沿 X 轴夹角为 的 过原点的直线上运动 0 沿着光滑直线位 移 x 势能 对势能求导得到受力 小量近似 略去高阶量 当 q 0 时 当 q 0 时 2 由上知 1 8 设 q 位移 x 势能 对势能求导得到受力 小量展开有 知 1 9 1 对 q 受力平衡 设其横坐标的值为 l0 解得 设它在平衡位置移动一个小位移 x 有 小量展开化简有 受力指向平衡位置 微小谐振周期 2 1 10 1 11 先证明 如图所示 带相同线电荷密度 的圆弧 2 和直线 1 在 OO 处产生的电场强度相等 取和 有 显然两个电场强度相等 由于每一对微元都相等 所以总体产生的电场相等 利用这一引理 可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生 的电场 由对称性 这一电场强度大小为 0 1 12 1 如图 取 和 设线电荷密度 有 积分得 2 如图 取 x 和 dx 设线电荷密度 有 3 用圆心在场点处 半径 电荷线密度与直线段相等的 张角为 0 的一段圆弧替代直线段 计算这段带电圆弧产生的场强大小 可以用 其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得 1 13 我们先分析一个电荷密度为 厚度为 x 的无穷大带电面 图中只画出有限大 取如图所 示高斯面 其中高斯面的两个相对面平行于电荷平面 面积为 S 由高斯定 理 算得 发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场 且左右两边电场 强度相同 大小相反 回到原题 由叠加原理以及 算得在不存在电荷的区域电场强度为 0 正 负电荷层相互抵消 在存在电荷的区域 若在 p 区 此时 x 处的电场由三个电荷层叠加而成 分别是左边的 n 区 0 到 x 范围内的 p 区 以及右边的 p 区 有 算得 同理算出 n 区时场强 综上可得 1 14 1 取半径为 r 的球形高斯面 有 解得 2 设球心为 O1 空腔中心为 O2 空腔中充斥着电荷密度为 的电荷 在空腔中任意 一点 A 处产生的电场为 借助第一问结论 同时在 A 处还有一个电荷密度为 的大球产生的电场 为 则有 1 15 取金属球上一面元 d S 此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度 由于导体内部电场处处为 0 所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强 度为 所以该面元受到其他电荷施加的静电力 球面上单位面积受力大小 半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的 该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的 单位面积受力求得 1 16 设轴线上一点到环心距离为 x 有 令其对 x 导数为 0 解得 1 17 写出初态体系总电势能 解得 即 1 18 系统静电势能大小为 算得 1 19 由对称性 可以认为四个面分别在中心处产生的电势 故取走后 设 BCD ACD ABD 在 P2 处产生的电势为 U 而 ABD 在 P2 处产生的电势为 有 取走后 解得 1 20 构造如下六个带电正方体 1 到 6 号 它们的各面电荷分布彼此不相同 但都能通过 一定的旋转从而与其它正方体形成全等 面 1 面 2 面 3 面 4 面 5 面 6 中心电势 1 号 1 2 3 4 5 6 2 号 6 1 2 3 4 5 3 号 5 6 1 2 3 4 4 号 4 5 6 1 2 3 5 号 3 4 5 6 1 2 6 号 2 3 4 5 6 1 将这六个正方体形成的电场和其上的电荷全部叠加 形成一个新的带电正方体 由于是假想 叠加 叠加过程中电荷直接相加而不重新分布 这个带电正方体各面电势完全相同 都为 容易证明 正方体内部的每一个点的电势也 都为 若不然 正方体内部必存在电场线 这样的电场线必定会凭空产生 或凭空消失 或形成环状 都与静电场原理不符 故此时中心电势同样为 解得 1 21 O4 处电势 O1 处电势 故电势差为 1 22 从对称性方面考虑 先将半球面补全为整个球面 再由电势叠加原理 即一个半球面产 生的电势为它的一半 从而计算出半球面在底面上的电势分布 即 1 23 设上极板下版面面电荷密度为 下极板上版面面电荷密度为 取一个长方体 型的高斯面 其形状是是两极板中间间隔的长方体 并且把和囊括进去 注意到 金属导体内部没有电场 故这个高斯面电通量为 0 其中净电荷为 0 有 再注意到上下极板电势相等 其中 E1 方向向上 E2 方向向下 再由高斯定理得出的结论 解得 1 24 先把半圆补成整圆 补后 P Q 和 O 三点电势都为 这说明 新补上的半圆对 P 产生的电势为 而由于对称性 这个电势恰好也是半球面 ACB 对 Q 产生的电 势 故 1 25 在水平方向上 设质点质量 m 电量为 q 运动学 整体带入得 1 26 1 先将半球面补全为整个球面 容易计算出此时半球底面的电势 再注意到这个电势 由对称的两个半球面产生的电势叠加得到 即一个半球面产生的电势为它的一半 即可求出 一个半球面对底面产生的电势恒为定值 故底面为等势面 由 E 点缓慢移至 A 点外力做功 为 W1 0 2 由上一问的分析知由 E 点缓慢移至 O 点外力不做功 记电势能为 E E 的右下标表示 所代表的点 则有 依然将半球面补为整球面 此时 q 在球壳内部任意一点电势能为 2EO 此时对于 T 点 其电 势能为上下两个球面叠加产生 由对称性 有 综上有 W2 W 1 27 小球受电场力方程 将 a 与 g 合成为一个等效的 g 方向与竖直夹角 再将加速度分解到垂直于 g 和平行与 g 的方向上 注意到与 g 平行的分量最小为 0 而垂直的 分量则保持不变 故速度的最小值为垂直分量 1 28 假设给外球壳带上电量 q2 先考虑 q2 在内外表面各分布了多少 取一个以内球壳外表 面和外球壳内表面为边界的高斯面 并把内球壳外表面和外球壳内表面上的电荷囊括进去 真正的高斯面边界在金属内部 由于金属内部无电场 高斯面电通量为 0 高斯面内电荷总量 为 0 得到外球壳内表面分布了 q1 电荷 外表面分布了 q2 q1 电荷 由电势叠加原理知球心 处的电势 解得 由电势叠加原理及静电屏蔽 1 29 设质点初速度为 v0 质量为 m 加速度为 a 有 其中 设时竖直向下速度为 v1 动能为 Ek1 初动能为 Ek0 有 解得 1 30 球 1 依次与球 2 球 3 接触后 电量分别为 当球 1 4 接触时满足 由于 解得 注 若此处利用 略去二阶小量则可以大大简便计算 有意思的是 算出的答案与 笔者考虑二阶小量繁重化简过后所得结果完全一致 这是因为在最后的表达式中没有 r 与 a 的和或差的项的缘故 以下给出的都是不简化计算的过程 简化的计算读者可自行完成 再将球 4 接地 设球 1 的电量变为 q 则 可得 因此流入大地的电量为 1 31 1 考虑上下极板间距为 x 的情况 上极板所带电荷 由于只有下极板提供的电场对上极板有引力 此电场强度为 上极板所受电场力 取向上为正 上极板所受合力为 由系统初态平衡得 当时 解得 2 向上为正 写出上下极板间距为 x 系统势能 设极板受力 F 向上位移 dx 得 虚功原理 其中 代入解得极板在平衡位置附近受力 则等效劲度系数为 系统作微小振动频率 若 则上下板会吸在一起 1 32 粒子由 A 运动至 B 竖直分运动需要时间 水平方向作匀速圆周运动经过的路程 水平方向动力学方程 导体圆筒等效电容 C 与串联 带电量相同 式中 U 分别为 C 两端电压 两电容串联在电源两端 导体圆筒两板间电场强度 E 为 粒子受力 联立以上各式得 1 33 能量守恒 m e 分别为电子质量 元 电荷电量 角动量守恒 联立解得 1 34 考虑临界状态下小液珠运动全过程 式中 U 为两板间电压 临界状态下 A 板带电量 解得 最后一滴液珠被 A 板吸收后 使得 A 板实际的电量 Q 应略大于 Q 故吸收的小液珠个数 表示高斯取整函数 即 INT 1 35 1 导体球电势为 得 感应电荷总电量 2 导体球心处电势仅由圆环贡献 3 导体球心处电势由圆环及感应电荷贡献 得 4 两问中 导体球电量之差 由于两问中像电荷分布已经使 得球面电势为 0 3 中比 1 多出的电荷应均匀分布在导体表面 使得导体表面等电势 而不为 0 此时对圆环上的作用力的增量来自于这部分多出的电荷 且等效为位于导体球心的点电荷 故作用力改变量 5 两问中 导体球电量之差 由于两问中像电荷分布 已经使得球面电势为 0 2 中比 1 多出的电荷应均匀分布在导体表面 使得导体表面 等电势而不为 0 此时对圆环上的作用力的增量来自于这部分多出的电荷 且等效为位于导体球心的点电荷 故作用力改变量 1 36 能量守恒 取无穷远处为势能零点 有心力作用 角动量守恒 又 得 代入 E 2keV 及 d r 2 得 换为电子 运动情况与质子一致 但球带负电 故 1 37 1 动力学方程 其中 解得 2 分析径向运动 设粒子沿径向向外运动距离为 以径向向外为正 由于角度 很小 故切向分速度可视为 v0 粒子角动量守恒 在以速度为 v1 作匀速圆周运动的参考系中考察粒子运动 引入惯性力 粒子受径向合外力 得 由于 利用近似 得 上式表明粒子在径向作简谐振动 周期 新轨迹与原半圆轨道有交点时 表明粒子径向振动回到平衡位置 经历时间 故由几何关系得 1 38 1 电子在区间 做初速为零的匀加速直线运动 得 经到 x d 处 沿 x 轴方向的分速度 在区间 即电子做角频率为的简谐运动 振幅 经过到 y 轴上 完成四分之一个周期 故其周期为 2 因为 y 方向没有外力 所以保持匀速 v0 电子运动的轨迹与 y 轴的各个交点中 任意两 个相邻交点间差半个周期 所以距离 1 39 设共速时速度为 动量守恒 能量守恒 解得 说明 以上结果显示 与初始时哪个球运动无关 只与它们的相对速度有关 事实上 二体问题的资用能表达式为 本题中 令 便得 于是必然有 1 40 通过强相互作用势能 可求得距离为 r 时正反顶夸克间的强相互 作用力为 负号表示此力为吸引力 正反顶夸克之问的距离为 r0 时作用力大小为 正反顶夸克满足动力学方程 还满足量子化条件 基态 n 1n 通过以上各式可解得 2 正反顶夸克满足动力学方程 代入数据可解出周期 周期约为顶夸克寿命的五倍 故不存在该种束缚态 1 41 先求小球所受电场力 Fn 由对称性 小球受到的电场力的合力沿环的轴线方向 为 小球垂直于绳方向的平衡方程 即 解得 1 42 1 由对称性 场强向左或向右情况是一样的 不妨设场强方向向右 大小为 E q 的受力情况如图 垂直于绳方向的平衡方程为 解得 2 将两个小球视为一个整体 受力情况如图 垂直于绳方向的平衡方程为 解得 3 接第 2 问 悬线 AO 的张力为 1 43 1 设 B 球碰前所带电量为 q 有 将 A B 接触一下后 A B 都带电 此时有 由以上各式解得或 2 已知 B 球碰前所带电量小于 A 球所带电量 可知 B 球碰前所带电量为 C 球与 A 球相碰后 两球分别带电 4Q C 球与 B 球相碰后 两球分别带电 Q C 球与 B 球间相互排斥 库仑力由 C 指向 B 大小为 A 球与 B 球间相互吸引 库仑力由 A 指向 B 大小为 FAB 与 FCB 大小相等 夹角为 由平行四边形法则 B 球所受库仑力的大小 方向为斜向右上 与 CB 所夹锐角为 1 44 设大球与小球接触时总电容 小球电容为为 第一次接触 由导体等势有 无数次接触后小球电量达到最大值 设为 此时小球未接触大球时的电势与接触后整体电势相同 解得 1 45 两图导体柱的电势都不为正 故正电荷发出的全部电场线被小球吸收 小球收到来自 无穷远的电场线 于是 用 a 图减去 b 图 左边是一个不带电导体 右边一个大导体右边带负电 如果左边带正电 明显在没有外界净电荷干扰的情况下正负电荷会抵消于是左边应带负电即 1 46 跟静电计相连 则 A 与静电计外壳等势 腔内没有电场线 不能带电 故闭合 电荷转 移到外壳 k 及 A 上 撤去 K 用手摸 A 即接地 则小球电势变为 0 外壳带正电 在 A 产生的 电势为正 为使电势变为 0 必须使其带负电 故重新张开 1 47 设小球带电量为 q 引入一个像电荷 其位置与小球关于导电平面对称 带电量与小球 相反 设小球重力为 G 弹簧初始伸长量为 x0 小球受的电场力为 初始状态平衡方程 末态平衡方程 联立以上各式 解得 1 48 设某一时刻点电荷 q 离无限大导电平面的距离为 x 引入一个像电荷 其位置与点电荷 q 关于导电平面对称 带电量与点电荷 q 相反 点电荷 q 的受力为 方向垂直指向导电平面 缓慢移动点电荷 q 的过程可看作点电荷 q 时刻受力平衡 故外力大小亦为 方 向垂直背向导电平面 与点电荷 q 移动方向相同 设想此时点电荷 q 移动了一段小距离 dx 这个小过程外力做的功为 全过程的功即为 1 49 引入两个像电荷如图 1 q 的受力情况如图 其中 将三力合成 可得 由对称性 作用在 q 上的静电力大小亦为 2 两个点电荷 两个像电荷分别在两个点电荷中点产生的场强如图 其中 可见合场强水平向右 1 50 1 每一个 q 在球壳上感应出的电荷可等效为一个像点电荷 与球心距 离 两个像电荷在两个 q 的连线上 分居球心左右 其中一个 q 的受力由两个 q 和另一个 q 提供 以指向球心为正 由于 做一级近似 得 由于合力为零 解得 注 此处似乎不符合题设的条件 但并不影响 结果 2 由电势叠加原理可知 在 1 的基础上 使球不接地且使球表面均匀带电 Q 即可实 现球具有电势 V 其中 则 q 的受力为 注 似乎不太严谨 但精确计算的受力大小与近似结果相差仅为万分之一 1 51q1 q2 分别在左腔 右腔内壁感应出均匀分布的 q1 q2 在球体外壁感应出均匀分 布的 q1 q2 q 在球体外壁的感应电荷等效为在球体外壁均匀分布的 q 和在球心与 q 连线 上的像点电荷 q 由于静电屏蔽 q1 q2 所受静电力等于左腔内壁感应电荷对 q1 q2 的作用力 而左腔内壁 的感应电荷为均匀分布 故 q1 q2 所受静电力 像电荷 与球心距离 故 q 所受静电力 以向右为正 为 根据牛顿第三定律 球 A 所受静电力为 大小仍为 1 52 由于是匀速率圆周运动 则刚性圆轨道应为一等势线 易知此时 q 应当充当 q 的像电 荷 刚性轨道提供支持力 因此不必考虑电场强度的分布 1 53 点电荷 q 在导体球上感应出的电荷可等效为在球心与点电荷所连线段上 与球心距离 为 带电量为的像点电荷和在球表面均匀分布的 点电荷受的力分为三部分 以排斥为正 Q 对其的作用力 像点电荷对其的作用力 q 对其的作用力 点电荷受合力为 点电荷被吸引时 即 解得 1 54 将上一问中的 q 换成 Q 并令 F 0 化简得 又 解得 1 55 在内外表面之间做一个高斯面 可知通过此高斯面的电场强度的通量为 0 根据高斯定 理 此高斯面内总电荷量为 0 即内表面的感应电荷总量为 q 又球壳本身不带电 故外表面 感应电荷总量为 q 1 O 点处的电势分为三部分 点电荷带来的电势 内表面的感应电荷带来的电势 外表面的感应电荷带来的电势 根据电势叠加原理 O 点处的电势为三部分之和 2 空腔导体造成静电屏蔽 球壳内点电荷和内表面感应电荷对内表面外部无电势贡献 故球壳电势即为外表面感应电荷带来的电势 又由于外表面感应电荷为均匀分布 在外表面内不产生电场 故外表面感应电荷对球壳上电 势贡献等于其在球心处产生的电势 1 56 设 A1 A2 A3 的质量分别为 m1 m2 m3 带电量的绝对值分别为 q1 q2 q3 A1 A2 运动的角速度均为 对 A1 有 对 A2 有 两式相比 即得 1 57 假设可以做稳定小振动 写出环偏离平衡位置 x 处的势能 势能在处的二阶导数即等效劲度系数 若系统要处于稳定平衡 则势能一阶导数为 0 显然满足 二阶导数大于 0 即 解得 得其振动周期 1 58 设给金属球充电 Q 由于 相对于无限大金属板可视作质点 像电荷位置与金 属球关于金属板对称 其大小为 Q 由此算出金属球电势 又 得电容 1 59 法一 两个球均可视为与无限远构成电容器 由孤立导体球电容公式 其电容分别为 用导线连接前 可视为 CA 与 CB 串联 等效电路图如下 电容为 用导线连接后 可视为 CA 与 CB 并联 等效电路图如下 电容为 法二 用导线连接前 设给金属球 A 充电 Q 给金属球 B 充电 Q 其相距为 金属球 A B 电势分别为 得系统电容 用导线连接后 设给金属球 A 充电 给金属球 B 充电 其相距为 两金属球等势 解得 则系统电容 1 60 1 设内球带电量为 外球电量在内球球心产生的电势为 内球电量在内球球心产生的电势为 内球的总电势 解得 外球电量在球心产生的电势为 内球电量在外球产生的电势为 外球的电势 2 系统的电容 1 61 两只电容器串联时带电量相等 即 若 C1 达到最大电压 则 C2 的电压 若 C2 达到最大电压 则 C1 的电压 故 为两电容器串联时各自能承受的最大电压 为其能承受的最大电压 1 62 相邻两块板间的电容均为 法一 a 本问中 3 板和 4 板由导线相连 电势相等 故可看作由 1 3 构成的电容 C13 与 1 4 构成的电容 C14 并联后整体与 4 2 构成的电容 C42 串联 等效电路图如下 故 1 2 间的电容 b 本问中 3 板和 4 板由导线相连 电势相等 故可看作由 1 3 构成的电容 C13 与 4 2 构成的电容 C42 串联后整体与 1 2 构成的电容 C12 并联 等效电路图如下 故 1 2 间的电容 法二 a 设给1板充 给2板充 设1板上板带电 1板下板带电 由于金属板内无电场 则相对金属板电荷等量异号 故在板外产生电场抵消 即3板下板带电 4板上板带电 又3 4板等势 设4板下板带电 3板上板带电 由3 4电荷守恒得 设2板下板带电 由2板电荷守恒得 由于金属板内无电场 则3板上板与2板下板所带电荷等量同号 故在板内产生电场抵消 则1 2板间电容 b 设给1板充 给2板充 设1板上板带电 则1板下板带电 2 板上板带电 2板下板带电 3板下板带电 4板上板带电 设3板上板带电 4板下板带电 由3 4板电荷守恒及金属板内无电场得 联立解得 又由3 4板等势 解得 则1 2板间电容 1 63 承上一问法一 b 电路的得各个电容内的场强大小 得各个电容极板内侧的电荷面密度大小 设 1 板电势高 分别求得总电荷密度 承上一问法二 用上一问中电容求得此情景下 Q 的值 设 1 板电势高 由上一问中求得的电荷分布得场强及面密度 1 64 1 由于任一单元输入端之后的总电容为 C 在第 1 个单元输入端 a b 间加电 压 后 将第 1 个单元输出端后的电容等效为一个大小为 3C 的电容 由 3 个大小 为 3C 的电容串联得第 2 个单元输入端间电压 同理得第 k 个单元输入端间电压 所求总电能 2 第 1 单元与后面网络断开前 第 1 单元中电容为 3C 的电容器的带电量为 Q 有 则第 1 单元中电容为 2C 的电容器的带电量为 第 1 个单元 a b 短路后 设电容器各极板上的电荷分布如图所示 节点电荷守恒 由基尔霍夫定律得 联立求解后得 三个电容器贮存的电能 1 65 1 首先 1 左与100 右无电荷 因为如果有电荷 则电荷电场线必延伸至无穷远 则金属板电势不为0 与接地不符 设1号板带电 由高斯定理 所有板总电量为零 则100号板带电 取一个左侧包含1板右板 右侧包含n板左板的高斯面 由于金属板内无 电场 此高斯面电通量为0 解得 利用金属板相对面带电等量异号得 1 号板与 100 号板间电势差可看做 99 个板间的电势差的叠加 即 即 2 由 1 中结论判断 当从左往右数第一块极板右侧的场强指向右时 此板电势最高 取 n 的最小整数解 即第 58 块板的电势最高 1 66 过程中电容电荷量不变 故 弹力的水平增量 受力平衡得 1 67 因为 故可用平行板电容器公式近似计算电容 C 注意内径是直径 设玻璃 管长度为 故 每次水银获得电量为 经过若干次操作后 金属球内总电荷量为 导体内电荷分布于表面 故其电势为 1 68 1 把介质均分为2 份 然后1 和3的一半 2 和3 的一半两两串联 最后并联 这是因为中间的面不是等势面 有 故均匀介质介电常数应为 导体平面即等势面 故 1 2 先并联再跟 3 串联 即与 并联 1 69 设初始时细线与竖直方向夹角为 由受力平衡得 放入煤油后 浮力矩与静电力矩增量抵消 解得 1 70 1 2 3 自由电荷与极化电荷的总电荷密度在正极板均匀分布 又在正极板与电介质接触处得 联立解得 得 又与空气接触处无极化电荷 得 4 与正极板接触的极化面电荷密度 得 1 71 设极板面积为 S 升高高度 h 极化面电荷密度 对升高的部分液体电介质受力分析得 其中 解得 注意 此题素来受争议 焦点在于此题虚功原理是否适用 如果尝试以虚功原理计算 其结 果多半为 下面给出程稼夫教授与蔡子星老师对此题的解释 一 虚功原理选取的系统不严格满足封闭系统 典型题程电 1 71 程亲自解释 虚功原理 在这题里面的错误在于 无法找到一个封闭的系统 在电容板外也会有水面升高 不能只选 取电容板内的水作为虚功原理研究的系统 二 蔡子星老师 1 能量密度是 关于这一点 在前辈大神的手写解答中有错 2 必须找到封闭体系来计算 这样需要包括水从原始高度的提升 即电容外水的高度 和 电源做功 如果不是电量不变 1 72 板间总电场强度 自由电荷密度 总电荷密度 极化电荷密度 一侧极化电荷受力 压强增量 1 73 1 初态电容 电场能 带入得 且 抽出后 Q 不变 电容变为 电场能 外力做功 2 同上一问 此时 电源做功 有 解得 3 1 74 图中 F 方向画反了 以题中文字为准 设电容器长 系统电场能 对势能求负梯度得受力 暴力化简 其中 1 75 设末态静电能 初态静电能 外力 做功 电源做功 电阻放热 能量守恒 解得 1 76 由题意不变 1 77 初态电势 电场能 分裂后水银总体积不变得 两球到无穷远时动能最大 此时电场能 能量守恒 1