空间向量的坐标运算

1 / 16 空间向量的坐标运算 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址题目第九章 (B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算 高考要求 要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题 知识点归纳 1 空间直角坐标系： （ 1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示； （ 2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原 点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 2空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标 3空间向量的直角坐标运算律： 2 / 16 （ 1）若， 则， ， ， ， （ 2）若，则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若， 则， 5夹角公式： 6两点间的距离公式：若， 则， 或 题型讲解 例 1 已知 =（ 2， 2， 1）， =（ 4， 5， 3），求平面 ABc 的单位法向量 解：设面 ABc的法向量， 则 且 ，即 =0， 即 2x+2y+z=0 且 4x+3z=0，解得 =z （， 1， 1），单位法向量 = （，） 3 / 16 点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为 1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解 例 2 已知 A（ 3， 2， 1）、 B（ 1， 0， 4），求： （ 1）线段 AB的中点坐标和长度； （ 2）到 A、 B 两点距离相等的点 P（ x， y， z）的坐标满足的条件 解：（ 1）设 P（ x， y， z）是 AB的中点， 则 =（ +） =（ 3， 2， 1） +（ 1， 0， 4） =（ 2， 1，）， 点 P的坐标是（ 2， 1，）， dAB= （ 2）设点 P（ x， y， z）到 A、 B 的距离相等， 则 = 化简得 4x+4y 6z+3=0（ 线段 AB 的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中 x,y,z 的系数），即为 P 的坐标应满足的条件 点评：空间两点 P1（ x1， y1， z1）、 P2（ x2， y2， z2）的中点为（，），且 |P1P2|= 例 3 棱长为 a 的正方体 ABcD A1B1c1D1 中，在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D 面 PAc？ 4 / 16 解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系， 设存在点 P（ 0， 0， z）， =（ a， 0， z）， =（ a， a， 0）， =（ a， a， a）， B1D 面 PAc， =0 a2+az=0z=a ，即点 P 与 D1 重合 点 P 与 D1重合时， DB1 面 PAc 例 4 在三棱锥 S ABc中， SAB=SAc=AcB=90 ， Ac=2，Bc=， SB= （ 1）求证： ScBc ； （ 2）求 Sc与 AB所成角的余弦值 解法一：如图，取 A 为原点， AB、 AS分别为 y、 z 轴建立空间直角坐标系，则有 Ac=2， Bc=， SB=， 得 B（ 0， 0）、 S（ 0， 0， 2）、 c（ 2， 0）， = （ 2， 2）， =（ 2， 0） （ 1） =0 ， ScBc （ 2）设 Sc与 AB所成的角为 ， =（ 0， 0）， =4， |=4， cos= ，即为所求 解法二：（ 1） SA 面 ABc， AcBc ， Ac 是斜线 Sc 在平面ABc内的射影， ScBc 5 / 16 （ 2）如图，过点 c 作 cDAB ，过点 A 作 ADBc 交 cD于点D，连结 SD、 Sc，则 ScD 为异面直线 Sc 与 AB所成的角 四边形 ABcD是平行四边形， cD=， SA=2， SD=5， 在 SDc 中，由余弦定理得 cosScD= ，即为所求 点评：本题（ 1）采用的是 “ 定量 ” 与 “ 定性 ” 两种证法题（ 2）的解法一应用向量的数量积直接计算 ，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形 例 5 如图，直棱柱 ABc A1B1c1的底面 ABc 中， cA=cB=1，BcA=90 ，棱 AA1=2， m、 N 分别是 A1B1、 A1A的中点 （ 1）求的长； （ 2）求 cos，的值； （ 3）求证： A1Bc1m （ 1）解：如图建立坐标系，依题意得 B（ 0， 1， 0）， N（ 1，0， 1）， = （ 2）解： A1（ 1， 0， 2）， B（ 0， 1， 0）， c（ 0， 0， 0）， B1（ 0， 1， 2）， = （ 1， 1， 2）， =（ 0， 1， 2）， =3 ， =， = cos ， = （ 3）证明： c1 （ 0， 0， 2）， m（， 2）， 6 / 16 = （ 1， 1， 2）， =（， 0）， =0 ， A1Bc1m 例 6 如图，在正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E、 F 分别是 BB1、cD的中点 （ 1）证明 ADD1F ； （ 2）求 AE与 D1F 所成的角； （ 3）证明面 AED 面 A1D1F 解：取 D 为原点， DA、 Dc、 DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为 2， 则 A（ 2， 0， 0）、 A1（ 2， 0， 2）、 D1（ 0， 0， 2）、 E（ 2， 2， 1）、 F（ 0， 1， 0） （ 1） （ 0， 1， 2） =0， ADD1F （ 2） （ 0， 1， 2） =0， AED1F ，即 AE与 D1F成 90 角 （ 3） （ 0， 1， 2） =0， DED1FAED1F ， D1F 面 AED D1F 面 A1D1F， 面 AED 面 A1D1F 点评： 通过建立 空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了 本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向7 / 16 量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点 例 7 如图，正三棱柱 ABc-A1B1c1的底边长为 a,侧棱长为 a 建立适当的坐标系， 写出 A， B， A1， B1的坐标； 求 Ac1与侧面 ABB1A1所成的角 分析：（ 1）所谓 “ 建立适当的坐标系 ” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（ 2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之 解：（ 1）建系如图，则 A（ 0， 0， 0） B（ 0， a,0） A1（ 0， 0， a),c1（ -a,) (2)解法一：在所建的坐标系中，取 A1B1的中点 m， 于是 m（ 0，），连结 Am， mc1 则有 ， ， 所以， mc1 平面 ABB1A1 因此， Ac1与 Am所成的角就是 Ac1 与侧面 ABB1A1所成的角 ， ,而 | 由 cos=30 解法二：， 8 / 16 平面 ABB1A1的一个法向量 Ac1 与侧面 ABB1A1所成的角的正弦为： = Ac1 与侧面 ABB1A1所成的角为 30 例 8 棱长为 2 的正方体 A1B1c1D1-ABcD中， E、 F分别是 c1c和 D1A1 的中点，（ 1）求 EF 长度；（ 2）求 ； 3）求点 A 到 EF的距离 分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解 解：以 D 为原 点， DA， Dc， DD1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立直角坐标系， 则 A（ 2， 0， 0）， B（ 2， 2， 0）， E（ 0， 2， 1）， F（ 1， 0， 2） 由此可得： =（ 0， 2， 0）， =（ 1， -2， 1） =（ 1， 0， -2）， |=2， |=， =-4,=1-2=-1， 所以 （ 1） = （ 2） cos=-arccos (3)在上的射影的数量 cos= A 到 EF的距离 = 点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线9 / 16 上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离 例 9 平面 ABcD 平面 ABEF， ABcD是正方形， ABEF是矩形，且 G 是 EF的中点， （ 1）求证平面 AGc 平面 BGc； （ 2）求 GB与平面 AGc所成角正弦值； （ 3）求二面角 B Ac G 的大小 解：如图，以 A 为原点建立直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2a， 0）， c（ 0， 2a， 2a）， G（ a， a， 0）， F（ a， 0， 0） （ 1）证明：， ， 设平面 AGc的法向量为， 设 平面 BGc的法向量为， 即 平面 AGc 平面 BGc； （ 2）由 知平面 AGc的法向量为 ， （ 3）因是平面 AGc 的法向量，又 AF 平面 ABcD， 平面 ABcD的法向量，得 二面角 B Ac G 的大小为 10 / 16 求平面法向量的另一种方法： 由 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2a， 0）， c（ 0， 2a， 2a）， G（ a， a， 0）， F（ a， 0， 0） 设平面 AGc的方程为： 则 平面 AGc的法向量为 设平面 BGc的方程为： 则 平面 BGc的法向量为 点评： 平面平行于哪一个轴，其法向量的 对应坐标就是 0； 平面经过原点时平面方程中的常数项等于 0； 平面法向量的两种求法的区别 小结： 1 运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论 2 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理 可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等 11 / 16 学生练习 1 若 =（ 2x， 1， 3）， =（ 1， 2y， 9），如果与为共线向量，则 Ax=1， y=1Bx=， y= cx=， y= Dx=， y= 解析： = （ 2x， 1， 3）与 =（ 1， 2y， 9）共线，故有 = x= ， y=应选 c 答案： c 2 在空间直角坐标系中，已知点 P（ x， y， z），下列叙述中正确的个数是 点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（ x， y，z） 点 P 关于 yoz 平面对称点的坐标是 P2（ x， y， z） 点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（ x， y， z） 点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（ x， y， z） A3B2c1D0 解析： P 关于 x 轴的对称点为 P1（ x， y， z），关于 yoz平面的对称点为 P2（ x， y， z），关于 y 轴的对称点为 P3（ x， y， z）故 错误答案： c 3 已知向量 =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 0， 2），且 k与 2互相垂直，则 k 值是 A1BcD 解析： k+=k（ 1， 1， 0）（ 1， 0， 2） =（ k 1， k， 2），2 =2（ 1， 1， 0）（ 1， 0， 2） =（ 3， 2， 2） 两 向量垂直， 3 （ k 1） 2k 22=0k= 答案： D 4 设 oABc是四面体， G1是 ABc 的重心， G 是 oG1 上一点，12 / 16 且 oG=3GG1，若 =x+y+z，则（ x， y， z）为 A（，） B（，） c（，） D（，） 解析： = （ +） =+（ +） =+（） +（） =+，而 =x+y+z， x= ， y=， z= 答案： A 5在棱长为 1的正方体 ABcD A1B1c1D1 中， m、 N分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 Am与 cN所成的角为 AarccosBarccoscarccosDarccos 解：建立坐标系，把 D 点视作原点 o，分别沿、方向为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向，则 A（ 1， 0， 0）， m（ 1， 1）， c（ 0， 1， 0）， N（ 1， 1，） = （ 1， 1）（ 1， 0， 0） =（ 0， 1）， =（ 1， 1，）（ 0， 1， 0） =（ 1， 0，） 故 =01+0+1= ， |=， |= cos=arccos 答案： D 6 已知空间三点 A（ 1， 1， 1）、 B（ 1， 0， 4）、 c（ 2， 2，3），则与的夹角 的大小是 _ 解析： =（ 2， 1， 3）， =（ 1， 3， 2）， cos， =， = ， =120 答案： 120 13 / 16 7 已知点 A（ 1， 2， 1）、 B（ 1， 3， 4）、 D（ 1， 1， 1），若=2，则 |的值是 _ 解析：设点 P（ x， y， z），则由 =2，得 （ x 1， y 2， z 1） =2（ 1 x， 3 y， 4 z）， 即 则 |=答案： 8 设点 c（ 2a+1， a+1， 2）在点 P（ 2， 0， 0）、 A（ 1， 3，2）、 B（ 8， 1， 4）确定的平面上，求 a 的值 解： =（ 1， 3， 2）， =（ 6， 1， 4） 根据 共面向量定理，设 =x+y（ x、 yR ）， 则（ 2a 1， a+1， 2） =x（ 1， 3， 2） +y（ 6， 1， 4） =（ x+6y， 3x y， 2x+4y）， 解得 x= 7， y=4， a=16 另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求 a 的值 9 已知正方体 ABcD A1B1c1D1 的棱长为 2， P、 Q 分别是 Bc、cD 上的动点，且 |PQ|=，建立坐标系，把 D 点视作原点 o，分别沿、方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向， （ 1）确定 P、 Q 的位置，使得 B1QD1P ； （ 2）当 B1QD1P 时，求二面角 c1 PQ A 的 大小 解：（ 1）设 BP=t，则 cQ=， DQ=2 B1 （ 2， 0， 2）， D1（ 0， 2， 2）， P（ 2， t， 0）， Q（ 2， 2，0）， = （， 2， 2）， =（ 2， 2 t， 2） 14 / 16 B1QD1P 等价于 =0， 即 2 2（ 2 t） +22=0 ， 整理得 =t，解得 t=1 此时， P、 Q 分别是棱 Bc、 cD的中点，即 P、 Q 分别是棱 Bc、cD的中点时， B1QD1P ； （ 2）二面角 c1 PQ A 的大小是 arctan2 10已知三角形的顶点是 A（ 1， 1， 1）， B（ 2， 1， 1）， c（ 1， 1， 2）试求这个三角形的面积 解： S=|AB|Ac|sin ，其中 是 AB与 Ac这两条边的夹角 则 S=| =|= 在本题中， =（ 2， 1， 1）（ 1， 1， 1） =（ 1， 2， 2）， =（ 1， 1， 2）（ 1， 1， 1） =（ 2， 0， 3）， |2=12+22+ （ 2） 2=9， |2=（ 2） 2+02+（ 3） 2=13，