数学几类不同增长的函数模型ppt课件.ppt

3 2 1几类不同增长的函数模型 通过一些实例 来感受一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数的广泛应用 结合实例体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同增长的函数模型意义 理解它们的增长差异性 学习目标 互动交流 探求新知 例1 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 回报的累积值 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案呢 1 考虑回报量 除了要考虑每天的回报量之外 还得考虑什么 想一想 方案一 每天回报40元 我来说 想一想 2 本题中涉及哪些数量关系 如何利用函数描述这些数量关系 我来说 设第x天所得回报是y元 则方案一可用函数y 40 x N 进行描述 方案二可以用函数y 10 x x N 进行描述 方案三可以用函数进行描述 想一想 3 怎样去研究这三个函数 才能找到最佳的方案呢 要对三个方案作出选择 就要对它们的增长情况进行分析 用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况 列表如下 我来说 000000 000 0 1010101010 101010 10 0 40 81 63 26 4 12 825 651 2 107374182 4 我想问 根据所列的表格中提供的数据 你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识 我来说 方案一每天的回报不变 方案二 三每天的回报都在增加 且方案三随x的增加每天的回报越来越大 比方案二要大得多 我想问 作出三个方案的图象看看 图112 1 我想问 根据以上分析 你认为该作出何种选择 从问题1可知 考虑回报量 除了要考虑每天的回报量之外 还得考虑回报的累积值 你能把前11天回报的累积值算出来吗 累计回报表 我想问 结论 投资8天以下 不含8天 应选择第一种投资方案 投资8 10天 应选择第二种投资方案 投资11天 含11天 以上 应选择第三种投资方案 解决实际问题的一般步骤是什么 例题的启示 解决实际问题的步骤 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随着销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但奖金数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求呢 我想问 本题中涉及了哪几类函数模型 实质是什么 本例涉及了一次函数 对数函数 指数函数三类函数模型 实质是比较三个函数的增长情况 我来说 我再问 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢 我来说 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元 以及奖励比例是否超过25 进行分析 才能做出正确选择 解 借助计算机作出三个函数的图象如下 对于模型y 0 25x 它在区间 10 1000 上递增 当x 20 1000 时 y 5 因此该模型不符合要求 对于模型 由函数图象 并利用计算器 可知在区间 805 806 内有一个点满足 由于它在 10 1000 上递增 因此当时 y 5 因此该模型也不符合要求 对于模型 它在区间 10 1000 上递增 而且当x 1000时 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 再计算按模型奖励时 奖金是否不超过利润的25 即当x 10 1000 时 是否有 成立 令 x 10 1000 利用计算机作出函数f x 的图象 由图可知它是减函数 因此f x f 10 0 3167 0即 所以 当x 10 1000 时 说明按模型3奖励 奖金不超过利润的25 综上所述 模型确实符合公司的要求 问题提出 1 指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上的单调性如何 2 利用这三类函数模型解决实际问题 其增长速度是有差异的 我们怎样认识这种差异呢 探究 一 特殊幂 指 对函数模型的差异 对于函数模型 y 2x y x2 y log2x其中x 0 思考2 对于函数模型y 2x和y x2 观察下列自变量与函数值对应表 当x 0时 你估计函数y 2x和y x2的图象共有几个交点 思考3 在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何 请画出其大致图象 思考4 根据图象 不等式log2x 2x x2和log2x x2 2x成立的x的取值范围分别如何 思考5 上述不等式表明 这三个函数模型增长的快慢情况如何 探究 二 一般幂 指 对函数模型的差异 思考1 对任意给定的a 1和n 0 在区间 0 上ax是否恒大于xn ax是否恒小于xn 思考2 当a 1 n 0时 在区间 0 上 ax与xn的大小关系应如何阐述 思考3 一般地 指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 其增长的快慢情况是如何变化的 总存在一个 当x 时 就会有 思考4 对任意给定的a 1和n 0 在区间 0 上 logax是否恒大于xn logax是否恒小于xn 思考5 随着x的增大 logax增长速度的快慢程度如何变化 xn增长速度的快慢程度如何变化 思考6 当x充分大时 logax a 1 xn与 n 0 谁的增长速度相对较快 总存在一个 当x 时 就会有 思考7 一般地 对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 其增长的快慢情况如何是如何变化的 思考8 对于指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 总存在一个x0 使x x0时 ax logax xn三者的大小关系如何 思考9 指数函数y ax 0 a 1 对数函数y logax 0 a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上衰减的快慢情况如何 总存在一个 当x 时 就会有 结论 一般地 对于指数函数和幂函数 通过探索可以发现 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定变化范围内 会小于 但由于的增长快于的增长 因此 总存在一个 当时 就会有 同样地 对于对数函数和幂函数 在区间 0 上 随着x的增大 增长得越来越慢 图象就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在x的一定变化范围内 可能会大于 但由于的增长慢于的增长 因此 总存在一个 当时 就会有 综上所述 在区间 0 上 尽管 和都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 的增长速度越来越快 会超过并远远大于的增长速度 而的