高三数学课件：导数的四则运算.ppt

函数的和 差 积的导数 一 复习回顾 3 常见函数的导数公式 2 求函数的导数的方法是 1 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 练一练 求下列函数的导数 1 y 100 2 y x5 利用函数的导数公式 得 3 y 4x2 3x 4 y 4x2 3x 二 新课讲授 1 和 差 的导数 练一练 求下列函数的导数 1 y 5x2 4x 1 2 y 5x2 3x 7 4 y 2 x 3 x 5 y 2x 1 3x 2 3 y x2 cosx 2 积的导数 因为v x 在点x处可导 所以它在点x处连续 于是当 x 0时 v x x v x 从而 即 推论 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 即 小结 有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则 就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和 差 积 构成的函数 而不必从导数定义出发了 轮流求导之和 例1 1 y 2 x 3 x 2 y 2x2 3 3x 2 课本p119练习 例 求下列函数的导数 Y x 1 x 2 x 3 猜想 函数f1 X f2 x f3 x fn x 的导数 讨论函数f1 x f2 x f3 x fn x 的导数并证明 例 求曲线y 2x x3在x 1处的切线方程 y 5x 2 例4在曲线y x3 6x2 x 6上 求斜率最小的切线所对应的切点 而当x 2时 y 13 故斜率最小的切线所对应的切点为A 2 12 练习 已知曲线S1 y x2与S2 y x 2 2 若直线l与S1 S2均相切 求l的方程 解 设l与S1相切于P x1 x12 l与S2相切于Q x2 x2 2 2 若x1 0 x2 2 则l为y 0 若x1 2 x2 0 则l为y 4x 4 所以所求l的方程为 y 0或y 4x 4 五 课堂小结 1 充分掌握函数的四则运算的求导法则 2 先化简 再求导是实施求导运算的基本方法 是化难为易 化繁为简的基本原则和策略 3 在解决与曲线的切线有关的问题时 应结合函数与方程的思想 解析几何的基本方法和理论来求解 解决问题时 关键在与理解题意 转化 沟通条件与结论 将二者有机地统一起来 例7已知抛物线C1 y x2 2x和C2 y x2 a 如果直线l同时是C1和C2的切线 称l是C1和C2的公切线 公切线上两个切点之间的线段 称为公切线段 a取什么值时 C1和C2有且仅有一条公切线 写出此公切线的方程 若C1和C2有两条公切线 证明相应的两条公切线段互相平分 2003天津高考 文 题 解 函数y x2 2x的导数y 2x 2 曲线C1在点P x1 x12 2x1 的切线方程是y x12 2x1 2x1 2 x x1 即y 2x1 2 x x12 函数y x2 a的导数y 2x 曲线C2在点Q x2 x22 a 的切线方程是y x22 a 2x2 x x2 即y 2x2x x22 a 如果直线l是过P和Q的公切线 则 式和 式都是l的方程 若判别式 4 4 2 1 a 0时 即a 1 2时解得x1 1 2 此时点P与Q重合 即当a 1 2时C1和C2有且仅有一条公切线 由 得公切线方程为y x 1 4 证 由 可知 当a 1 2时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为 P x1 y1 Q x2 y2 其中P在C1上 Q在C2上 则有 所以公切线段PQ和P Q 互相平分 四 课堂练习 1 已知曲线C y 3x4 2x3 9x2 4 1 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程 2 第 1 小题中切线与曲线C是否还有其它公共点 如果有 求出这些点的坐标 解 1 把x 1代入曲线C的方程得切点 1 4 故除切点以外 还有两个交点 2 32 2 3 0 事实上 在曲线y x3 ax2 bx c是只有横坐标为 a 3的唯一一点M 过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点 而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心 2 三次曲线y x3 3x2 2 3x过原点的切线l1 平行于l1的另一条切线为l2 1 求l1 l2的方程 2 当l1 l2的斜率为m时 求斜率为 m的两切线l3 l4的方程 3 求l1 l2 l3 l4所围成的平行四边形的面积 答案 1 l1 y 3x l2 y 3x 1 2 2 l3 y 3x 7 2 l4 y 3x 10 3 9 8 六 作业布置 1 课本P38习题2 3No 1 2 3 5 三 例题讲解 答案 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 两个函数的和或差的导数 等于这两个函数的导数的和或差 就是说 导数运算法则 可以推广到求有限个函数的和 差 的导数 上导乘下 下导乘上 差比下方 例2 1 命题甲 f x g x 在x x0处均可导 命题乙 F x f x g x 在x x0处可导 则甲是乙成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件