量子力学中的力学量.ppt

第三章量子力学中的力学量 第4 5 节厄米算符本征函数的正交性 定理1 厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交 定理 厄米算符的本征值是实数 定理2 若厄米算符某个本征值存在k个不同 线性无关 本征函数 则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的 本征 函数 显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量 函数 且都是算符F的本征函数 第4 5 节厄米算符本征函数的正交性 根据前面2个定理 我们总可适当选择厄米算符的本征函数 使它们满足正交归一性 例如一维无限深势阱 动量算符本征函数 角动量算符本征函数 一维线性谐振子 氢原子 波函数 第5 6 节算符与力学量的关系 前面提到 系统处于力学量算符 厄米算符 的本征函数描述的状态 本征态 该力学量有确定值 就是本征函数对应的本征值 例如定态能量 动量本征态时的动量 角动量本征态时的角动量 等等 现在推广这个假定 先引入概念 展开系数 称为几率幅 注意展开系数满足 第5 6 节算符与力学量的关系 测量F的结果是其本征值 一般不确定是那个本征值 因此 测量的平均值是 平均值公式 例题氢原子处于基态 求电子动量的几率分布 第5 6 节算符与力学量的关系 例题 p1013 6题 设t 0时 粒子处于状态求此时粒子的平均动量和平均动能 平均动能 平均动量 平均动能 第5 6 节算符与力学量的关系 例题 p1013 7题 一维运动粒子的状态是归一化常数A 若粒子的能量为E 求系统的势能 动量的几率分布函数平均动量 动量的几率分布函数 平均动量 实际上 平均动量一看就知道为零 第5 6 节算符与力学量的关系 平均能量 实际上 平均能量可以非常方便地计算出 能量本征函数和能量本征值是 能量的几率分布 第5 6 节算符与力学量的关系 是能量 角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数 氢原子定态波函数 第5 6 节算符与力学量的关系 2个有用的定理 H F定理系统处于束缚定态 则 维里定理系统处于束缚定态 若势能是 次齐次函数 则 由前面的定理 第5 6 节算符与力学量的关系 由维里定理得 动量几率分布 例题一维谐振子处于能量本征态1 求势能的平均值 2 求动能的平均值 3 求动量几率分布 例题p100的3 2题氢原子处于基态1 求r的平均值 2 求势能的平均值 3 最可几半径 前面已讲 略 4 求动能的平均值 5 求动量几率分布 前面已讲 略 该题当n 0时就是p100的3 1题 由维里定理得 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 两个算符乘积一般与次序有关 定义对易式 坐标算符与动量算符的对易式 基本对易关系 同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系 其它 有经典对应的 物理量的对易关系可从基本对易关系导出 例如角动量算符的对易式 对易式的公式 对易 两力学量算符对易 两力学量同时有确定值的条件 不对易 定理两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 定理两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集 若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态 则这两个力学量同时有确定值 注意 两个力学量不对易 没有共同构成完全系的本征函数集 但它们可能有共同本征函数 例如 两力学量算符对易 两力学量同时有确定值的条件 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 测不准关系 不对易情况 若2个厄米算符F G满足对易关系 定义2个新厄米算符 定理两个力学量算符满足对易关系 则它们满足测不准关系 引入非负积分 厄米算符 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 定理两个力学量算符满足对易关系 则它们满足测不准关系 Heisenburg 也称为基本 测不准关系 这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问 例题 第6 7 节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称 例题 Heisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在 第7 8 节力学量平均值随时间的演化守恒定律 力学量平均值 其中归一化波函数满足 含时 薛定谔方程 若力学量算符不显含时间 则 如果力学量算符不显含时间 守恒量 又满足 第7 8 节力学量平均值随时间的演化守恒定律 空间平移不变 动量守恒 空间平移不变 转动不变 角动量守恒 时间平移不变 能量守恒 时间平移不变 系统转动不变 空间反演不变 宇称守恒 第3节氢原子 习题 习题书中第三章3 1 3 9前面都已讲过 习题书中第三章3 10题 球形腔中的运动 求能级与能量本征函数 定态薛定谔方程变为 球贝塞尔方程 球贝塞尔函数 球贝塞尔函数与贝塞尔函