统计学课件(贾俊平)人大PPT课件.ppt

第六章抽样与参数估计 参数估计在统计方法中的地位 统计方法 描述统计 推断统计 假设检验 统计推断的过程 第六章抽样与参数估计 第一节抽样与抽样分布第二节参数估计基本方法第三节总体均值和总体比例的区间估计第四节两个总体均值及两个总体比例之差的估计第五节正态总体方差及两正态总体方差比的区间估计 学习目标 了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布与总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值 总体比例和总体方差的区间估计 第一节抽样与抽样分布 一 总体 个体和样本二 关于抽样方法样本均值的分布与中心极限定理样本方差的分布两个样本方差比的分布六 T统计量的分布 总体 个体和样本 概念要点 总体 Population 调查研究的事物或现象的全体 个体 Itemunit 组成总体的每个元素 样本 Sample 从总体中所抽取的部分个体 样本容量 Samplesize 样本中所含个体的数量 抽样方法 概念要点 概率抽样 根据已知的概率选取样本 简单随机抽样 完全随机地抽选样本 分层抽样 总体分成不同的 层 然后在每一层内进行抽样 整群抽样 将一组被调查者 群 作为一个抽样单位 等距抽样 在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者非概率抽样 不是完全按随机原则选取样本 非随机抽样 由调查人员自由选取被调查者 判断抽样 通过某些条件过滤来选择被调查者配额抽样 选择一群特定数目 满足特定条件的被调查者 样本均值的抽样分布 所有样本指标 如均值 比例 方差等 所形成的分布称为抽样分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值 样本比例等结果来自容量相同的所有可能样本 抽样分布 概念要点 样本均值的抽样分布 一个例子 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数N 4 4个个体分别为X1 1 X2 2 X3 3 X4 4 总体的均值 方差及分布如下 均值和方差 样本均值的抽样分布 一个例子 现从总体中抽取n 2的简单随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果如下表 样本均值的抽样分布 一个例子 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 所有样本均值的均值和方差 式中 M为样本数目比较及结论 1 样本均值的均值 数学期望 等于总体均值2 样本均值的方差等于总体方差的1 n 样本均值的分布与总体分布的比较 抽样分布 2 5 2 1 25 总体分布 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N 2 时 来自该总体的所有容量为n的样本的均值 X也服从正态分布 X的数学期望为 方差为 2 n 即 X N 2 n 中心极限定理 图示 中心极限定理 设从均值为 方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 样本方差的抽样分布 样本方差的分布 设总体服从正态分布N 2 X1 X2 Xn为来自该正态总体的样本 则样本方差s2的分布为 将 2 n 1 称为自由度为 n 1 的卡方分布 卡方 c2 分布 均值的标准误 所有可能的样本均值的标准差 测度所有样本均值的离散程度小于总体标准差计算公式为 两个样本方差比的抽样分布 两个样本方差比的抽样分布 设X1 X2 Xn1是来自正态总体N 1 12 的一个样本 Y1 Y2 Yn2是来自正态总体N 2 22 的一个样本 且Xi i 1 2 n1 Yi i 1 2 n2 相互独立 则 将F n1 1 n2 1 称为第一自由度为 n1 1 第二自由度为 n2 1 的F分布 两个样本方差比的抽样分布 不同样本容量的抽样分布 T统计量的分布 T统计量的分布 设X1 X2 Xn1是来自正态总体N 1 12 的一个样本 称 为统计量 它服从自由度为 n 1 的t分布 第二节参数估计基本方法 一 点估计二 点估计的优良性准则区间估计 参数估计的方法 被估计的总体参数 点估计 点估计 概念要点 从总体中抽取一个样本 根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计2 点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法等 1 用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值 样本比例 样本中位数等例如 样本均值就是总体均值 的一个估计量如果样本均值 x 3 则3就是 的估计值理论基础是抽样分布 估计量 概念要点 二战中的点估计 估计量的优良性准则 无偏性 无偏性 估计量的数学期望等于被估计的总体参数 估计量的优良性准则 有效性 有效性 一个方差较小的无偏估计量称为一个更有效的估计量 如 与其他估计量相比 样本均值是一个更有效的估计量 估计量的优良性准则 一致性 一致性 随着样本容量的增大 估计量越来越接近被估计的总体参数 区间估计 区间估计 概念要点 1 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围给出总体参数落在这一区间的概率例如 总体均值落在50 70之间 置信度为95 置信区间估计 内容 落在总体均值某一区间内的样本 总体未知参数落在区间内的概率表示为 1 为显著性水平 是总体参数未在区间内的概率 常用的显著性水平值有99 95 90 相应的 为0 01 0 05 0 10 置信水平 区间与置信水平 均值的抽样分布 1 区间包含了 的区间未包含 影响区间宽度的因素 1 数据的离散程度 用 来测度样本容量 3 置信水平 1 影响Z的大小 第三节总体均值和总体比例的区间估计 一 总体均值的区间估计二 总体比例的区间估计样本容量的确定 总体均值的区间估计 已知 总体均值的置信区间 已知 1 假定条件总体服从正态分布 且总体方差 已知如果不是正态分布 可以由正态分布来近似 n 30 使用正态分布统计量 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 总体均值的区间估计 正态总体 实例 解 已知 N 0 152 x 2 14 n 9 1 0 95 2 1 96总体均值 的置信区间为 我们可以95 的概率保证该种零件的平均长度在21 302 21 498mm之间 例 某种零件长度服从正态分布 从该批产品中随机抽取 件 测得其平均长度为21 4mm 已知总体标准差 0 15mm 试建立该种零件平均长度的置信区间 给定置信水平为0 95 总体均值的区间估计 非正态总体 实例 解 已知 x 26 6 n 100 1 0 95 2 1 96 我们可以95 的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24 824 27 176分钟之间 例 某大学从该校学生中随机抽取100人 调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟 试以95 的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间 已知总体方差为36小时 总体均值的区间估计 未知 总体均值的置信区间 未知 1 假定条件总体方差 未知总体必须服从正态分布使用t分布统计量 3 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 总体均值的区间估计 实例 解 已知 N 2 x 50 s 8 n 25 1 0 95 t 2 2 0639 我们可以95 的概率保证总体均值在46 69 53 30之间 例 从一个正态总体中抽取一个随机样本 n 25 其均值 x 50 标准差s 8 建立总体均值m的95 的置信区间 总体比例的区间估计 总体比例的置信区间 1 假定条件两类结果总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量 3 总体比例 的置信区间为 总体比例的置信区间 实例 我们可以95 的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63 6 76 4 之间 例 某企业在一项关于职工流动原因的研究中 从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本 在对其进行访问时 有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处 试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95 的置信区间 样本容量的确定 根据均值区间估计公式可得样本容量n为 估计总体均值时样本容量的确定 样本容量n与总体方差 2 允许误差 可靠性系数Z之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比 其中 样本容量的确定 实例 解 已知 2 1800000 0 05 Z 2 1 96 500 应抽取的样本容量为 例 一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少 经验表明 总体方差约为1800000元 如置信度取95 并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内 这家广告公司应抽多大的样本 根据比例区间估计公式可得样本容量n为 估计总体比例时样本容量的确定 其中 样本容量的确定 实例 例 一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例 该公司希望对比例p的估计误差不超过0 05 要求的可靠程度为95 应抽多大容量的样本 没有可利用的p估计值 应抽取的样本容量为 第四节两个总体均值及两个总体比例之差估计 一 两个总体均值之差估计二 两个总体比例之差估计 两个总体均值之差的估计 两个样本均值之差的抽样分布 两个总体均值之差的估计 12 22已知 1 假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都服从正态分布若不是正态分布 可以用正态分布来近似 n1 30和n2 30 两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其期望值为 其标准误差为 两个总体均值之差的估计 12 22已知 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 使用正态分布统计量Z 两个总体均值之差的估计 实例 例 一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数 他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本 样本均值如下 银行A 4500元 银行B 3250元 设已知两个总体服从方差分别为 A2 2500和 B2 3600的正态分布 试求 A B的区间估计 1 置信度为95 2 置信度为99 B A 两个总体均值之差的估计 计算结果 解 已知XA N A 2500 XB N B 3600 xA 4500 xB 3250 A2 2500 B2 3600nA nB 25 1 A B置信度为95 的置信区间为 2 A B置信度为99 的置信区间为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 但相等 假定条件两个总体都服从正态分布 12 12未知 但 12 12总体方差 2的联合估计量为 估计量 x1 x2的标准差为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 但相等 使用t分布统计量 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 两个总体均值之差的估计 实例 例 为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度 分别给两位职员随机安排了10位顾客 并记录下为每位顾客办理账单所需的时间 单位 分钟 相应的样本均值和方差分别为 x1 22 2 s12 16 63 x2 28 5 s22 18 92 假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布 且方差相等 试求两位职员办理账单的服务时间之差的95 的区间估计 两个总体均值之差的估计 计算结果 解 已知X1 N 1 2 X2 N 2 2 x1 22 2 x2 28 5 s12 16 63s22 18 92n1 n2 10 12 12 1 2置信度为95 的置信区间为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 且不相等 假定条件两个总体都服从正态分布 12 12未知 且 12 12使用的统计量为 两个总体均值之差的估计 12 22未知 且不相等 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 两个总体均值之差的估计 续前例 例 为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度 分别给两位职员随机安排了10位顾客 并记录下了为每位顾客办理账单所需的时间 单位 分钟 相应的样本均值和方差分别为 x1 22 2 s12 16 63 x2 28 5 s22 18 92 假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布 但方差不相等 试求两位职员办理账单的服务时间之差的95 的区间估计 两个总体均值之差的估计 计算结果 自由度f为 1 2置信度为95 的置信区间为 解 已知X1 N 1 2 X2 N 2 2 x1 22 2 x2 28 5 s12 16 63s22 18 92n1 n2 10 12 12 两个总体比例之差的估计 1 假定条件两个总体是独立的两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似2 两个总体比例之差P1 P2在1 置信水平下的置信区间为 两个总体比例之差的区间估计 两个总体比例之差的估计 实例 例 某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较 它们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人 其中看过广告的比例分别为p1 0 18和p2 0 14 试求两城市成年人中看过广告的比例之差的95 的置信区间 两个总体比例之差的估计 计算结果 P1 P2置信度为95 的置信区间为 我们有95 的把握估计两城市成年人中看过该广告的比例之差在0 79 7 21 之间 第五节正态总体方差及两正态总体方差比的估计 一 正态总体方差的区间估计二 两个正态总体方差比的区间估计 正态总体方差的区间估计 正态总体方差的区间估计 要点 1 估计一个总体的方差或标准差2 假设总体服从正态分布总体方差 2的点估计量为S2 且 4 总体方差在1 置信水平下的置信区间为 正态总体方差的区间估计 实例 例 对某种金属的1