2008年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数，满足，则的值为（）。A、7B、C、D、5答A解：因为0，0，由已知条件得，所以2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数，由题意知0，即通过枚举知，满足条件的，有17对，故3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（）。A、6条B、8条C、10条D、12条答BABCDEOF（第3题答案图）解：如图，大圆周上有4个不同的点A、B、C、D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBAB，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）。ABCODE（第4题答案图）A、B、1C、D、答B解：如图，连接OE，OA，OB，设D，则ECA120EAC又因为ABO所以ACEABO，于是AEOA15、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）。A、2种B、3种C、4种D、5种答D解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、对于实数u，v，定义一种运算“”为：uvuvv，若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是。答0，或1解：由，得，依题意有解得，0，或17、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟。答4。解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米。每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则由，可得，所以即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。8、如图，在ABC中，AB7，AC11，点M是BC的中点，AD是ABCDMF（第8题）BAC的平分线，MFAD，则FC的长为。答9。解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，ABCDMF（第8题答案图）N则MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB，因此FCFNNCAB9。9、ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心l作DEBC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。答解：如图，设ABC的三边长为，ABCDEIrha（第9题答案图）内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则，所以，因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此所以DE故DE。10、关于x，y的方程的所有正整数解为。答解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数。设：则，同上可知，都是偶数，设，则，所以，都是偶数，设，则，于是，其中都是偶数。所以所以13可能为1，3，5，7，9，进而为337,329,313,289,257，故只能是289，从而137，于是因此三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。由已知，二次函数的图象经过点（5,2），得25当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有22，故由，得，所以5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。15分12、是否存在质数，使得关于x的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。令，其中是一个非负整数，则，5分由于1且与同奇偶，故同为偶数。因此，有如下几种可能情形：消去n，解得，10分对于第1,3种情形，从而；对于第2,5种情形，从而（不合题意，舍去）；对于第4种情形，是合数（不合题意，舍去）。又当时，方程为2，它的根为，它们都是有理数。综上有述，存在满足题设的质数。15分13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论。解：存在满足条件的三角形。当ABC的三边长分别为时，A2B，5分如图，当A2B时，延长BA至点D，使ADACb，连接CD，则ACD为等腰三角形。ABCD（第13题答案图）因为BAC为ACD的一个外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD为等腰三角形。又D为ACD与CBD的一个公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。15分说明：满足条件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三种情形；(i)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有；(ii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，此时不能构成三角形；(iii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解。所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。14、已知有6个互不相同的正整数，且，从这6个数中任意取出3个数，分别设为，其中，记。证明：一定存在3个不同的数组，其