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解一元二次方程 复习回顾 1 一元二次方程的形式2 二次项 二次项系数3 一次项 一次项系数4 常数项5 一元二次方程的解法 形如ax bx c 0 其中a b c是常数 a 0 叫做一元二次方程 为什么a 0呢 称 a为二次项系数 ax2叫做二次项b为一次项系数 bx叫做一次项c为常数项 例1下列方程哪些是一元二次方程 2 2x2 5xy 6y 0 5 x2 2x 3 1 x2 1 7x2 6x 0 解 1 4 例2把下列方程化为一元二次方程的形式 并写出它的二次项系数 一次项系数和常数项 3x2 5x 1 0 x2 x 8 0 或 7x2 0 x 4 0 3 5 1 1 1 8 7 0 4 3 5 1 1 1 8 7 0 4 或7x2 4 0 7 0 4 7x2 4 0 例题分析 你学过一元二次方程的哪些解法 说一说 因式分解法 开平方法 配方法 公式法 你能说出每一种解法的特点吗 用开方法解一元二次方程 依据 平方根的意义 即 如果x2 a 那么x 这种方法称为直接开平方法 开平方法 方程的左边是完全平方式 右边是非负数 即形如x2 a a 0 例1 x2 4 0 解 原方程可变形为 x1 2 x2 2 X2 4 例2 3x 2 49 0 解 移项 得 3x 2 49两边开平方 得 3x 2 7所以 x 所以x1 3 x2 归纳 直接开平方法的特点 形如x2 a a 0 x2 6x 7 0 用配方法解一元二次方程 什么是配方法 平方根的意义 完全平方公式 配方法 我们通过配成完全平方式 然后直接开平方 得到了一元二次方程的根 这种解一元二次方程的方法称为配方法 平方根的意义 完全平方式 式子a2 2ab b2叫完全平方式 且a2 2ab b2 a b 2 如果x2 a 那么x 用配方法解一元二次方程的方法的助手 1 化1 把二次项系数化为1 2 移项 把常数项移到方程的右边 3 配方 方程两边同加一次项系数一半的平方 4 变形 化成 5 开平方 求解 配方法 解方程的基本步骤 一除 二移 三配 四化 五解 例1 用配方法解下列方程x2 6x 7 0 例2 用配方法解下列方程2x2 8x 5 0 用公式法解一元二次方程 用配方法解一般形式的一元二次方程 移项 得 配方 得 即 a 0 即 即 因为a 0 所以4 0 式子 此时 方程有两个不等的实数根 即 即 因为a 0 所以4 0 式子 此时 方程有两个相等的实数根 0 即 因为a 0 所以4 0 式子 而x取任何实数都不可能使 因此方程无实数根 一元二次方程的求根公式 a 0 当 0时 方程 的实根可写为 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 一般地 对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式 当 0时 方程有两个不同的根当 0时 方程有两个相同的根当 0时 方程无实数根 3 代入求根公式 X a 0 b2 4ac 0 1 把方程化成一般形式 并写出a b c的值 2 求出b2 4ac的值 用公式法解一元二次方程的一般步骤 求根公式 X 4 写出方程的解 x1 x2 a 0 b2 4ac 0 公式法 例1 用公式法解方程5x2 4x 12 0 1 变形 化已知方程为一般形式 3 计算 b2 4ac的值 4 代入 把有关数值代入公式计算 5 定根 写出原方程的根 2 确定系数 用a b c写出各项系数 例2 用公式法解方程2x2 5x 3 0解 a 2b 5c 3 b2 4ac 52 4 2 3 49 x 即x1 3x2 求根公式 X a 0 b2 4ac 0 a b c b2 4ac x 即x1 x2 例3 用公式法解方程x2 4x 2 1 4 2 42 4 1 2 24 求根公式 X a 0 b2 4ac 0 解 移项 得x2 4x 2 0 这里的a b c的值是什么 练习 用公式法解下列方程 1 x2 2x 52 6t2 5 13t 例4 解 例用公式法解方程 x2 x 0 解 方程两边同乘以3得2x2 3x 2 0a 2 b 3 c 2 b2 4ac 3 2 4 2 2 25 x 即x1 2 x2 例用公式法解方程 x2 3 2x 解 移项 得x2 2x 3 0 a 1 b 2 c 3 b2 4ac 2 2 4 1 3 0 x x1 x2 例3解方程 x 2 1 3x 6 这里a 3 b 7 c 8 b2 4ac 7 2 4 3 8 49 96 47 0 原方程没有实数根 解 去括号 x 2 3x2 6x 6 化简为一般式 3x2 7x 8 0 3x2 7x 8 0 我最棒 用公式法解下列方程 1 2x2 x 6 0 2 x2 4x 2 3 5x2 4x 12 0 4 4x2 4x 10 1 8x 5 x2 6x 1 0 6 2x2 x 6 7 4x2 3x 1 x 2 8 3x x 3 2 x 1 x 1 9 9x2 6x 1 0 10 16x2 8x 3 参考答案 参考答案 我最棒 解题大师 规范正确 解下列方程 1 x2 2x 8 0 2 9x2 6x 8 3 2x 1 x 2 1 用因式分解法解一元二次方程 解下列二次方程1 x 3 x 1 02 x 6 x 2 03 x x 5 04 x 2 1 x 05 4 x x 7 06 X 9 x 0 1 x2 4 0 解 原方程可变形为 x 2 x 2 0 X 2 0或x 2 0 x1 2 x2 2 X2 4 x 2 x 2 AB 0 A 0或 x 2 0或3x 5 0 x1 2 x2 提公因式法 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 2o将方程左边分解成两个的乘积 3o至少因式为零 得到两个一元一次方程 4o两个就是原方程的解 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 解题框架图 解 原方程可变形为 0 0 0或 0 x1 x2 一次因式A 一次因式A 一次因式B 一次因式B A解 A解 用十字相乘法解一元二次方程 x2 7x 12 例1 把下列各式分解因式 x 3 x 4 3x 4x 7x x2 3x 4 例1 把下列各式分解因式 x 1 x 4 x 4x 3x 2x2 x 3 例1 把下列各式分解因式 x 1 2x 3 2x 3x x 解下列方程1 x2 3x 10 0 解 原方程可变形为 x 5 x 2 0 x 5 0或x 2 0 x1 5 x2 2 解下列方程2 x 3 x 1 5 解 原方程可变形为x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 0或x 4 0 x1 2 x2 4 思考题 1 关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当a b c满足什么条件时 方程的两根为互为相反数 2 m取什么值时 方程x2 2m 1 x m2 4 0有两个相等的实数解 想一想 关于一元二次方程 当 a b c满足什么条件时 方