等效惯性矩法分析楔形构件.pdf

第2 5 卷第3 期 2 0 0 8年 9月 华中科技大学学报 城市科学版 J o f HUS T Ur b a n S ci e n ce E d i t io n Vo 1 2 5 NO 3 S e p 2 0 0 8 等效惯性矩法分析楔形构件 万金国 杜新喜 谭美超 武汉大学 土 木建筑工程学 院 湖北 武汉 4 3 0 0 7 2 摘要 对楔形构件 的计算 通 常采用分段等截面方法 但计算 效率和精度不高 因此有必要建立楔形 单元 的 力学模型 本文 以工字形楔形梁为例 采用等效惯性矩 的方法推导了楔形单元 的刚度矩 阵和 固端 反力 实现 了 有 限元基本原理对楔形单元 的求解 并进 行了程序设计 将此方法应用于钢 结构设计软件 U S S C AD 中 通 过 与 国内比较权威 的钢结构设计软件 3 D3 S的比较 本文提出 的方法有较高 的精度 可以满足 工程设计的要求 关键词 楔形单元 等效惯性矩 有 限元 US S C A D 中图分类号 T U3 9 1 T U3 1 1 4 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 2 7 0 3 7 2 0 0 8 0 3 0 0 3 5 0 3 随着钢结构建筑的发展 特别是轻钢厂房越 来越多的出现 变截面构件被广泛应用 门式刚 架结构通常采用变截面柱和变截面梁 l J 弯矩大 处截面大些 弯矩小处截面小些 充分挖掘 了材 料的潜力 简化了结构的形式 在采用有 限元分析变截面构件时 理论上导 出的单元刚度矩阵元素为积分形式 这些积分的 解一般不易得 出 在实际应用中 对于变截面构 件 一是采用细分单元 以若干个等截面单元进 行近似计算 如叶开沅教授 2 提 出的阶梯折算法 二是采用楔形单元进行分析 建立楔形单元的力 学模型 推导其刚度矩阵和固端反力 图 1 图 1 楔形单元模型和分段等截面单元模型 采用分段等截面模型 避免 了建立楔形变截 面单元力学模型的问题 但 由于人为增加 了计算 节 点数和计算单元数 降低了分析计算 的效率 影响了分析计算精度 并增加 了进行 C A D 的难 度 鉴于此 本文采用前述第二种方法 采用等 效惯性矩的方法建立 了广泛适用的二节点楔形单 元力学模型 并将其应用于武汉大学正在开发的 通用钢结构设计软件 US S C AD中 通过分析 该 方法对楔形单元的求解取得 了较好的效果 1 等效惯性矩法的基本原理 本文 以双轴对称 翼缘宽度和厚度 以及腹板 厚度均为常值 仅截面高度沿单元轴 向线性变化 的工字形楔形单元为例阐明等效惯性矩法的基本 原理 楔形直线空间梁单元局部坐标系的定义与 等截面直线空间梁单元相 同 设单元局部坐标系 中 1 轴 的正方 向从节点 i到节点 7 且位于梁 的中 和轴 而 2轴和 3轴则分别位于梁截面 的两个主 惯性轴 局部坐标系满足右手定则 如 图 2 图 2 楔形单元局部坐标系 记单元局部坐标系中的节点位移 向量为 Ue v w f v W o 3 相应 的节点力向量为 N i Q 2 0 3 Ml f M2 f M3 J Q 2 0 3 M M2 M 3 I 楔形直线空间梁单元在局部坐标系中的有限元基 本方程 k e u 1 楔 形梁单元单元 刚度 矩阵的推导与等截面梁 相 同 Da v i d t 3 1 提 出了根据箱型和工形变截面构件几 何特性积分所获得 的轴 向 侧 向位移函数 基于 这种位移模式 的变截面梁单元弹性刚度矩阵的精 收稿 日期 2 0 0 8 0 3 0 5 作者简介 万金国 1 9 8 3 一 男 湖 北十堰人 博士研 究生 研究方 向为非线性有 限元及钢 结构软件开发 wa n j i n g u o 8 3 1 6 3 co m 杜新喜 1 9 6 1 一 男 陕西 宝鸡 人 教授 博士 主要研究方 向为钢结构 组合结构及结构 C AD 等 d u x in x i 1 6 3 co m 3 6 华中科技大学学报 城市科学版 2 0 0 8年 度将不依赖于单元划分数 目的多少 本文采用普 通位移模式变截面梁单元 沿局部坐标轴 l 的轴 向各点位移为线性分布 沿轴 2 3的弯曲位移为 三次函数分布 2 参考文献 4 可推导楔形单元的单元刚度矩阵 以 两端固定工字形楔形梁沿弱轴作用线性荷载为例 推导其固端反力 将固端反力作为外力反向施加到楔形梁两端 图 3 在上述受力状态下 楔形梁满足位移边 界条件 f U f 0 0 w t 0 0 0 0 l U j 0 v J 0 w 0 0 0 0 M M 图 3 楔形单元 固端反力计算 忽略轴力和剪力产生的变形 只考虑弯矩产生的 变形 根据虚功原理 由式 3 可得 f I 由式 4 可解得 f 端固端剪力和弯矩 然后根据力 平衡原则 可得 端固端剪力和弯矩 采用类似 的方法 可 以得到各种荷载模式下的楔形单元的 固端反力 工字形变截面惯性矩 5 可表示为 1 b h 一 t w h 2 tf 5 式中 x t 1zf b f 为翼缘宽度 为截 面翼缘厚度 t 为截面腹板厚度 h x 为距i端 处截面高度 h i为截面 i 端高度 h 为截面 j 端高度 z 为单元长度 I x 1 是关于 的三次多 项式 通常不能通过直接积分得到固端反力的积 分式 而一般情况下 分母为二次多项式时容易 直接积分 因此可 以构造等效惯性矩函数求固端 反力 己知原惯性矩函数上三点 0 0 1 2 1 1 2 z z 可以拟合等效二次惯性矩 函数 a x c 6 借助数学工具软件 Ma t h e ma t ic 6 进行拟合 得到 式 6 的系数 其中 日 一 一 f 一 4 h b f tf 4 h t tf 砰f h 8 h i b f tf h s 一 8 h t f h h i t h 一 4 b f t f 4 t t f h 一f 3 8 z b 一 5 f 2 4 h b f t f 2 4 h Z t tf 一 2 4 h i b f t2 2 4 h 一 3 毽 t h i一 2 4 h i b f t e h i 2 4 h t f h i 2 4 b e t 2 hs 一2 4 t 一3 h h f h 3 2 4 C t w Jfz 一 2 t f 1 2 2 b f h i 2 t f 2 tf b f t 1 2 对于其他截面形式的楔形单元 如箱形或矩形截 面等 也同样适用 只不过 的表达式不 同 拟合的 的系数有所不同 下面是其中的一组实验数据 t w 1 0 ln i l t f 1 6 n ln l b f 2 0 0 i il n l h i 3 0 0 I I I I T I h j 7 0 0 r ll n l 6 0 0 0 ra in 由表 1 可知 用 e a 代替 具 有很高的精确度 当载荷沿强轴作用 即沿图 2 中的 3 轴方 向时 是关于 的一次多项式 此 时可直接积分得到 不用采用等效惯性矩 表 1 等效惯性矩测试结果 2 应用 等效惯性矩求解楔形构件的方法 已被应用于 武 汉 大 学 正 在 开 发 的通 用 钢 结 构 设 计 软 件 以 第 3期 万金国等 等效惯性矩法分析楔形构件 3 7 U S S C A D 中 该软件以 V is u a lC 6 0 为开发环 境 利用 Au t o d e s k公司提供的 O b j e ct A R X 9 lo l 类库 利用 A u t o C A D 的图形界面系统进行二次 开发 开发过程采用了面向对象编程技术 算 例 1 采用 等效惯性矩方法计算两端 固定 楔形梁 的支座反力 并将其与同济大学钢结构设 计软件 3 D3 S和等截面分段梁的计算结果进行 比 较 单元截面采用 3 0 0 7 0 0 2 0 0 1 0 1 6 单元长度 为 6 0 0 0 iil I n 单元全长施加 q 1 0 k N m 的均布荷 载 构件两端刚接 计算结果比较如表 2 根据 伍炯宇 J 的证明 当等截面等分数足够大时 可 以无限接近楔形单元精确值 由分析可知 本文 采用的等效惯性矩模型有较高的精度 其精度优 于 3 D3 S 表 2 f 端固端反 力计算结果 算例 2 设计一楔形 门式刚架 图 4 刚架 跨度 2 4 m 柱高 8 m 坡度 0 1 采用工字形楔 形单元 柱截面为 2 0 0 5 o 0 2 0 0 6 8 梁截面为 3 0 0 6 0 0 2 0 0 6 8 钢号采用 Q2 3 5 梁上作用 2 k N m 的均布荷载 方向为沿 z轴负向 柱脚采 用铰接 刚架建立在 X Z平面 分别在 US S C AD 和 3 D3 S建模计算 结果如表 3 表 3中 为 节点弯矩 单位 k N m H为节点水平位移 单 位 mm V为节点竖向位移 单位 I 1 I 1 氅一 I j 二 一 一 I 图 4 刚架模 型示意 表 3 刚架计 算结果 通过这两个算例的分析 可以得到以下结论 1 楔形单元等分为等截面单元的等分数增 多时 逐渐趋近等效惯性矩法 的计算结果 说 明 等效截面惯性矩法对楔形单元的求解是有效正确 的 2 本文提出的方法求解楔形刚架 时时 单 元数较少 计算效率高 3 通过与同类软件的比较 本文提出的方 法计算精度高 可以用于工程设计 3 结语 通过 在两种 钢结 构设计 软件 US S C A D 和 3 D3 S 中建模 比较 表 明本文提出的以等效惯性 矩法为基础建立的楔形单元力学模型具有较好的 精度 楔形单元刚度矩阵和固端反力数值解的求 出使得计算分析程序的编制更为容易 为楔形单 元模型的精确计算分析奠定 了坚实的基础 其工 程应用前景非常广阔 参考文献 1 顾 强 周敏辉 楔形变截面门式刚架的设计 一 J 西安建筑科技大学学报 1 9 9 8 3 0 3 2 0 5 2 0 8 2 叶开沅 冯燕伟 材料力学 M 北京 高等教育 出 版社 1 9 8 9 3 Da v id J J u s t P l a n e F r a me Wo r k s o f T a p e r i n g B o x a n d I S e ct io n J J o u rna l o f Th e S t r u ct u r a l Di v i s i o n 1 9 7 7 1 0 3 1 7 1 8 6 4 王勖成 邵 敏 有限单元法基本原理和数值方法 M 北京 清 华大学出版社 2 0 0 3 5 陈心爽 袁耀 良 材料力学 M 上海 同济大学出 版社 1 9 9 6 6 刘元高 Ma t h e ma t ica 4 0实用教程 M 北京 国防 工业 出版社 2 0 0 0 7 黄维通 姚瑞霞 V i s u a l c 程序设计教程 M 北京 机械工业 出版社 2 0 0 1 8 钱 能 c 程序设 计教程 M 北京 清 华大学 出 版社 1 9 9 9 9 李长勋 Au t o C AD O b j e ct A R X程序开发技术 M 北 京 国防工业 出版社 2 0 0 5 1 0 二代龙震工作 室 Au t o C A D AR X 函数库查询函数 f M 北 京 中 国铁道 出版社 2 0 0 3 1 1 伍炯宇 关于非均匀变截面梁阶梯折算法的极限 J 应用 数学和力学 1 9 9 0 1 1 8 7 4 7 7 5 2 下转第4 9页 骱鼢骱 5 加 第 3期 袁子厚等 长扁圆形烟 囱风致振动风洞模拟试验研 究 4 9 0 5 0 量 1 0 0 一1 50 0 0 娅删 i I I Hz l M e S tr a i n 一 7 5 1x e Flue St r a ir 23 u 7 频 率 H z 图8 1 号测点在1 0 5 风 向角的应 变时程曲线及 频谱 3 结论 1 烟 囱的横 向振动不严重 2 为了做到 几何相似 模型长轴两端开孔 这使得当风向与 孔接近时 测点应变有所波动 3 烟 囱根部的 极值应变分布规律为 长边应变大 短边应变小 轴 向应变大 环 向应变小 1 2 3 4 参考文献 GB 5 0 0 0 9 2 0 0 1 建筑结构荷载规范 s G B 5 0 0 5 1 2 0 0 2 烟 囱设计规范 S 张相庭 结构风工程一一理论规范实践 M 北京 中国建筑工业 出版社 2 0 0 6 王天稳 土木工程结构试验 第 2版 M 武汉 武 汉理工大学出版社 2 0 0 6 W in d Tunne l Simula t io n Ex pe r im e n t I nv e s t ig a t io n t o W ind Ca u s e d Vibr a t io n o f Lo ng Fla t Rou ndne s s Chim ne y YUAN Zi h 0M 一 CHEN M in g xi an g 3 f 1 Co lie ge o f Scie nce s W u ha n Unive r s it y o f Scie nce a nd En gine e ri ng W uh a n 43 0 073 Ch in a 2 Ke y La b o r a t o r y o f Bri d g e S t r u ct u r e En g in e e ri n g Ch o n g q in g T r a ffic Un iv e r s it y Ch o n g q in g 4 0 0 0 7 4 Ch in a 3 S ch o o l o f Civ i l E n g in e e ri n g Wu h a n Un iv e r s i t y Wu h a n 4 3 0 0 7 2 Ch in a Abs t r a ct Sin ce t h e s h a p e o f lo n g fl a t r o un d ne s s ch imn e y is s p e cia l t h e r e is n o b o d y s ha pe co e ffi cie n t in win d l oa d co d e I n o r d e r t o d e t e r min e t he b od ily f o r m co e fficie nt of lo n g f la t r o un d ne s s ch imne y t h e win d t u nn e l s im u 1 a t io n e x p e r ime nt me t h o d is u s e d b y t h e a u t ho r s Th is p a p e r in t r o d u ce d a e r o d y na mic e l a s t ic win d t u n ne l e x p e r ime n t o f lo n g f la t r o u n d n e s s ch imn e y t h e e x p e ri me n t mo d e l is e la s t ic a n d h a s s e v e r a l p ri ma r y s i mil it u d e co n d it io n s g e o me t r y d y n a mica l co min g flo w co n d it io n s w in d s p e e d is me a s u r e d b y h e a t lin e a n e mo me t e r v ib r a t io n s p e e d a nd d is p la ce me n t o f ch imne y a r e me a s u r e d by la s e r s ho ck m e a s u r in g in s t r u me n t The a u t h o r me a s u r e d t he s t r a in a t t h e ch im n e y ba s e a n d cr o s s win d v ib r a ti o n t h e r e s u lt s ca n be u s e d t o o b t a in chimn e y b o dy s h a pe co e fficie n t a nd a s t h e r e f e r e n ce in chimn e y d e s ig n Ke y wo r ds ch imne y co d e a e r od y na mic e la s t ici t y win d t u nn e l e x p e ri me n t s ha p e co e ffici e nt 上接第 3 7页 M e t ho d o f Eq uiv a le nt M o m e n t o f I ne r t ia Ana ly z ing Ta pe r e d M e m be r WAN J in gu o DU Xi n x i T AN M e i ch ao S ch o o l o f Ci v i l a n d Ar ch i t e ct u r a l En g in e e ri n g Wu h a n Un iv e r s i t y Wu h a n 4 3 0 0 7 2 Ch in a Abs t r a ct Th e me t h o d of d iv id in g a t a p e r e d e le me nt int o s e ve r a l e le me n t s wit h un if o r m s e ct ion h a s l ow e f f icie n cy a n d pr e cis i on a n d it is n e ce s s a r y t o f o un d th e m e ch a nica l mod e l f o r t a p e r e d e le me n t Th is a r t icle t a k e s I s ha p e d t a p e r e d b e a m a s a n e x a m p le t a k e s t h e me t h od o