附录24圆锥曲线的极坐标方程.ppt

附录24圆锥曲线的极坐标方程 建立如图所示的极坐标系 则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一 以焦点F为极点 以对称轴为极轴的极坐标系 二 以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系 注1 椭圆 双曲线 的焦参数 注2 若AB为焦点弦 则 即普通方程与极坐标方程的互化 空间坐标 直角坐标 极坐标 直角坐标 柱坐标 球坐标 x y x y z 平面坐标 极坐标 常见的坐标系 z r 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线OX 再选定一个长度单位和角度单位及它的 这样就建立了一个极坐标系 1 概念 叫做极轴 正方向 对于平面上任意任意一点M 极坐标的规定 用 表示线段OM的长度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 用 表示从OX到OM的角度 有序数对 就叫做M的极坐标 极坐标系 极坐标系的分类 常用极坐标系 狭义极坐标系 广义极坐标系 0 R 0 0 2 R 注 负极径的定义 先正后对称 注 极坐标的多值性与单值性 即 在常用极坐标系中 同一个点的极坐标有无数个 在狭义极坐标系中 除极点 0 外 其他点的极坐标是唯一的 在广义极坐标系中 同一个点的极坐标有无数个 即 极坐标与直角坐标的互化 互化的三个前提条件 互化方法 2 数法 1 形法 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 类似于辅助角公式中 用形法求振幅及辅助角 图像 x l 特殊直线的极坐标方程 方程 O 0 直线 和 x O l x O l O l x O l x 图像 方程 特殊圆的极坐标方程 O x O x O x O x O x 求极坐标方程常用的方法 2 方程法 1 公式法 知型巧用公式法建系设式求系数 未知型状方程法建系设需列方程 间接法 先求出普通方程 再转成为极坐标方程 直接法 一般地 与正余弦定理有关 方程法 公式法 间接法 直接法 附录24圆锥曲线的极坐标方程 建立如图所示的极坐标系 则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一 以焦点F为极点 以对称轴为极轴的极坐标系 二 以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系 注1 椭圆 双曲线 的焦参数 注2 若AB为焦点弦 则 即普通方程与极坐标方程的互化 K A B F x 建立如图所示的极坐标系 由圆锥曲线的统一定义得 其中l是准线 整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为 而 即 一 以焦点F为极点 以对称轴为极轴的极坐标系 F A x 建立如图所示的极坐标系 则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一 以焦点F为极点 以对称轴为极轴的极坐标系 注1 椭圆 双曲线 的焦参数 注2 若AB为焦点弦 则 B F A x 建立如图所示的极坐标系 则圆锥曲线有统一的极坐标方程 注2 若AB为焦点弦 则 B 设 故 1 1983年全国 如图 若椭圆的 A1A2 6 焦距 F1F2 过椭圆焦点F1作一直线 设 F2F1M 0 MN 等于椭圆短轴的长 法1 直角坐标系普通方程 设而不求 法2 直角坐标系参数方程 设而不求 交椭圆于两点M N 当 取什么值时 法3 极坐标方程 练习1 圆锥曲线统一的极坐标方程 则椭圆的极坐标方程为 故 法3 极坐标方程 由题意得 离心率为 建立如图所示的极坐标系 得又因 故 焦点到准线距离 2 2014年新课标 设F为抛物线 A B 6C 12D 的焦点 过F且倾斜角为300的直线交于C于A B两点 则 AB 法1 直角坐标系普通方程 设而不求 法2 直角坐标系参数方程 设而不求 法3 极坐标方程 若AB为焦点弦 则 F A x B 由题意得离心率e 1 焦参数 12 的离心率为 过右焦点F且斜率为k的直线与C相交于A B两点 则k A 1B C D 2 3 2010年全国 已知椭圆C 若 因 F1 F2 法1 直角坐标系普通方程 设而不求 法2 直角坐标系参数方程 设而不求 法3 极坐标方程 析 由对称性 不妨 将右焦点看成是左焦点 故 4 2007年重庆 过双曲线 为1050的直线 交双曲线于PQ两点 则 FP FQ 的右焦点F作倾斜角 法1 直角坐标系普通方程 设而不求 法2 直角坐标系参数方程 设而不求 法3 极坐标方程 由题意得 离心率为 建立如图所示的极坐标系 则双曲线的极坐标方程为 焦参数为 故 5 2007年重庆简化 如图椭圆C P1 P2 P3是椭圆上任取的三个不同点 且 证明 为定值 的左焦点为F 证明 易得 由题意得 离心率为 建立 的极坐标系 则C的极坐标方程为 焦参数为 设 故 6 2012年上海简化 在平面直角坐标系xoy中 已知 若M N分别是C1 C2上的动点 且OM ON求证 O到直线MN的距离是定值 双曲线 椭圆 析 设 在Rt MNO中由用面积法得 O到直线MN的距离为 常数 二 以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系 即普通方程与极坐标方程的互化 练习2 以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系 6 OM ON 求证 O到直线MN的距离是定值 双曲线 椭圆 设 即 故O到直线MN的距离为 易得C1 C2的极坐标方程分别为 将其代入C1 C2的极坐标方程得 整理得 证明 7 课本P 15Ex6 已知椭圆的中心为O 长轴 短轴的长分别为2a 2b A B分别为椭圆上的两点 且OA OB 求证 为定值 求 AOB面积的最大和最小值 析 由于点的极坐标直接表示了 距离和角度故涉及到长度和角度的问题采用极坐标系往往更简便 析 建立如图所示的直角坐标系 则椭圆的普通方程为 将其化为极坐标方程得 7 课本P 15Ex6 已知椭圆 OA OB 求证 为定值 析 建立如图所示的直角坐标系 将其化为极坐标方程得 则椭圆的普通方程为 故 7 课本P 15Ex6 已知椭圆 OA OB 故当且仅当 求 AOB面积的最值 析 依题意得 当且仅当 1 2003年全国 圆锥曲线的准线方程是 A B C D 作业 预习 直线的参数方程 2 2003年希望杯简化 经过椭圆的焦点F