随机过程-均方微积分.ppt

第三章均方微积分 3 1随机变量序列的均方极限 3 2随机过程的均方连续性 3 3随机过程的均方导数与均方积分 3 1随机变量序列的均方极限 回顾数列的极限 实际上是指当无限增大时 与的距离无限趋近于0 2 问题 可否类似地给出随机变量序列的 极限 答 可以 关键在于确定随机变量序列中任意与随机变量的 距离 3 定义 设随机变量序列和随机变量的二阶矩有限 即 若有 则称均方收敛于 并称为的均方极限 记作或其中l i m是英文Limitinmeansquare的缩写 若以作为与的 距离 可验证它满足线性空间中的距离定义 4 例1 设为随机变量序列 其中满足 验证均方收敛于0 证明 故而 当 5 问题 随机变量序列的均方收敛与大数定律中所涉及的依概率收敛相比 两种收敛性孰强孰弱 答 均方收敛性强于依概率收敛 例2 设为随机变量序列 其中满足 问 为何值时 均方收敛于0 解 故时 均方收敛于0 均方极限的性质 1 若 则 6 已知 要证 分析 关系 均方极限的性质 1 若 则 2 若 则 7 已知 要证 分析 关系 Cauchy Schwartz不等式 均方极限的性质 1 若 则 2 若 则 3 若 则对任意常数和 有 8 已知 要证 分析 关系 均方极限的性质 1 若 则 2 若 则 3 若 则对任意常数和 有 4 若数列满足 是随机变量 则 9 已知 要证 分析 关系 均方极限的性质 1 若 则 2 若 则 3 若 则对任意常数和 有 4 若数列满足 是随机变量 则 5 若 则 10 均方极限的唯一性 3 2随机过程的均方连续性 定义1 设为二阶矩过程 随机变量的二阶矩有限 若则称在处均方收敛于 并称为的在时刻的均方极限 记作 定义2 如二阶矩过程满足 对 若则称在处均方连续 若在每一点处都是均方连续的 则称在上均方连续 11 3 3随机过程的均方导数与均方积分 定义1 若随机过程在处的下述均方极限存在 则称此极限为在处的均方导数 记为或 此时亦称在处均方可导 一 均方导数 1 均方导数的定义 注 若在的每一点处均方可导 则称在上均方可导或可微 此时均方导数记为或 是一个新的随机过程 12 例 求随机过程的均方导数 其中是一随机变量 13 解 从形式上 易知对t求导后 下面验证 满足定义 所以 时 1 若在均方可导 则对任意常数和 有 2 均方导数的性质 2 的均方导数的均值函数是 14 验证 1 若在均方可导 则对任意常数和 有 2 均方导数的性质 2 的均方导数的均值函数是 3 的均方导数的相关函数是 15 4 若X是随机变量 则 16 3 均方导数与自 互 相关函数关系 设实二阶矩过程均方可微 自相关函数为 则 都存在 且有 验证 17 3 均方导数与自 互 相关函数关系 设实二阶矩过程均方可微 自相关函数为 则 都存在 且有 定义2 设随机过程 为任意普通函数 二 均方积分 1 均方积分的定义 18 1 分割T a b 将 a b 分成n个子区间 分点为 而 2 作和式其中 特别地 若时 即有 3 如果在时 均方收敛于 此极限不依赖于分点与