解析函数的洛朗展式.ppt

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点1 解析函数的洛朗展式2 解析函数的孤立奇点3 解析函数在无穷远点的性质4 整函数与亚纯函数的概念 解析函数的洛朗展式 在本节中 我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式 即在圆环内解析函数的一种级数展式 首先考虑级数 其中是复常数 此级数可以看成变量的幂级数 设这幂级数的收敛半径是R 如果 解析函数的洛朗展式 那么不难看出 此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛 在内发散 同样 如果 那么此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛 如果R 0 那么此级数在每一点发散 在上列情形下 此级数在没有意义 于是根据定理2 3 按照不同情形 此级数分别在 内收敛于一个解析函数 解析函数的洛朗展式 更一般地 考虑级数 这里是复常数 当级数 都收敛时 我们说原级数收敛 并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加 设上式中第一个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛 解析函数的洛朗展式 第二个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛 于是两级数的和函数分别在 又设 那么这两个级数都在圆环 内绝对收敛并且内闭一致收敛 于是我们说级数 解析函数的洛朗展式 在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛 显然它的和函数是一个解析函数 我们称级数 为洛朗级数 因此 洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数 我们也有下面的洛朗定理 定理7 1 定理7 1设函数f z 在圆环 内解析 那么在D内 其中 是圆是一个满足的任何数 定理7 1的证明 证明 设z是圆环D内任一点 在D内作圆环 使得 这里 用分别表示圆 由于在闭圆环上解析 根据柯西定理 有 定理7 1的证明 其中积分分别是沿关于它们所围成圆盘的正向取的 当时 级数 一致收敛 定理7 1的证明 而当时 级数 一致收敛 把这两个式子代入前面的式子 然后逐项积分 我们就看到f z 有展式 定理7 1的证明 其中 由柯西定理 上面两式中的积分可以换成沿圆的积分 于是定理的结论成立 注解 注解1 由于函数f z 的解析区域不是单连通区域 所以公式 不能写成 注解2 我们称为f z 的解析部分 而称为其主要部分 注解3 我们称为f z 的洛朗展式 定理7 2 定理7 2设洛朗级数在圆环 中内闭一致收敛于和函数g z 那么此展式就是g z 在D内的洛朗展式 定理7 2的证明 证明 现在把系数用g z 计算出来 在D内任取一圆 用乘以定理中展式的两边 然后沿求积分 由于所讨论的级数在上一致收敛 在求积分时 对有关级数可以逐项积分 于是我们有 定理7 2的证明 这里因为上式中求和记号后各项只有在n k时不为零 因此定理的结论成立 注解 此定理表明 洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算 同时 这也表明 g z 在D内不可能有其他形式的洛朗展式 因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理 系4 1在定理7 1的假设下 f z 在D的洛朗展式式唯一的 例1 例1 求函数分别在圆环1 z 2及内的洛朗级数展式 解 如果1 z 2 那么 利用当时的幂级数展式 我们得 例1 如果 那么 我们有 例2 例2 及在 内的洛朗级数展式是 例3