苏教版高三数学复习课件11.4直线与平面的位置关系.ppt

通过直观感知 操作确认 归纳出直线与平面平行 垂直的判定定理和性质定理 并能用它们证明线面的平行与垂直问题 第4课时直线与平面的位置关系 命题预测 1 空间中平行关系的概念性比较强 与前后知识的联系比较紧密 是每年高考考查线面位置关系及综合运用知识解答问题经常涉及的内容 试题在考查 四种能力 的同时 非常重视对数学思想方法的考查 试题主要体现立体几何的通性通法 突出了化归 转化等思想方法的考查 因此 对这些内容要认真复习 真正学明白 2 垂直是直线与直线 直线与平面 平面与平面位置关系中的纽带 常常起到承上启下的作用 不少问题常常是以垂直为解题的突破口 然后深入进行下去 在高考中 空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点 应试对策 1 对线面平行 面面平行的认识一般按 定义 判定定理 性质定理 应用 的顺序进行 其中定义的条件和结论是相互等价的 它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法 又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用 2 应用线面平行的判定定理证明线面平行 关键是找到平面内与平面外直线平行的直线 应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面 然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行 3 要判定一条直线是否和一个平面垂直 取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点则无关紧要 4 求直线与平面所成的角 一般是作出直线与平面所成的角 并通过解三角形求出 知识拓展 三垂线定理和逆定理 1 三垂线定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 其符号表述为 直线l与平面 斜交 l 是l在 内的射影 直线m m l m l 2 三垂线定理的基本图形右图是三垂线定理的基本图形 PA PO是平面 的斜线 AO为PO在 内的射影 直线a在 内 若a AO 则a PO 3 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 4 三垂线定理及其逆定理的作用三垂线定理及其逆定理 是立体几何中的重要定理 是共面两直线的垂直关系与空间两直线的垂直关系之间相互转化的判定定理 它的实质是通过线线垂直得到的线面垂直 又转化为线线垂直 它是证明线线垂直的重要方法 它的用途 在作图中 作二面角的平面角 在证明中 证明线线垂直 在计算中 用归纳法归拢已知条件 便于计算 1 直线a和平面 的位置关系有 其中与统称直线在平面外 2 直线和平面平行的判定 1 定义 如果一条直线a和一个平面 没有公共点 我们就说直线a与平面 2 判定定理 a b a b 3 其他判定方法 a 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 a a 思考 直线与平面平行的判定定理是判断平行关系的核心 运用此定理应注意什么 提示 应注意平面外的一条直线和平面内的一直线平行才能得到线面平行 3 直线和平面平行的性质定理 a a l 4 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线a与平面 记作a 直线a叫做平面 的 平面 叫做直线a的 垂线和平面的交点称为 a l 互相垂直 垂线 垂面 垂足 2 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 3 直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线 相交直线 平行 5 点面 线面距离及线面角 1 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线 这个点和间的距离 叫做这个点到这个平面的距离 2 直线和平面的距离一条直线和一个平面 这条直线上到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 垂足 任意一点 平行 3 直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的所成的 叫做这条直线与这个平面所成的角 一条直线平面 则称它们所成的角是直角 一条直线与平面或 则称它们所成的角是0 的角 射影 锐角 垂直于 平行 在平面内 6 平行六面体底面是平行四边形的四棱柱叫做 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直 底面是矩形的直平行六面体叫做 棱长相等的长方体叫做 平行六面体 平行六面体 长方体 正方体 1 2010 东台中学高三诊断性试卷 已知球面上有四点A B C D DA 平面ABC AB BC DA AB BC 则该球的体积等于 答案 2 a b为平面M外的两条直线 在a M的前提下 a b是b M的 条件 解析 a b a b是b M的充分不必要条件 答案 充分不必要条件 3 2010 扬州中学高三考试 若一个长方体的长 宽 高分别为5米 4米 3米 则其外接球的表面积为 米2 解析 设球的半径为R 则 2R 2 52 42 32 50 S 4 R2 50 答案 50 4 如图 BC是Rt ABC的斜边 AP 平面ABC 连结PB PC 作PD BC于D 连结AD 则图中共有直角三角形 个 解析 Rt PAB Rt PAC Rt ABC Rt ADP 可证BC 平面APD 由BC AD BC PD 可证Rt PBD Rt PDC Rt ADB Rt ADC共8个 答案 8 5 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 A到平面B1C的距离为 A到平面BB1D1D的距离为 AA1到平面BB1D1D的距离为 解析 由正方体性质知AB BB1 AB BC AB 平面B1C 又 AB a 点A到平面B1C的距离为a 过点A作AO BD 垂足为O 由正方体性质知 BB1 面AC AO 面AC AO BB1 AO 平面BB1D1 而AO a A到平面BB1D1的距离为a AA1 平面BB1D1 AA1到面BB1D1的距离等于A到平面BB1D1的距离为a 答案 aaa 判定直线与平面平行 主要有三种方法 1 利用定义 常用反证法 2 利用判定定理 关键是找平面内与已知直线平行的直线 可先直观判断平面内是否已有 若没有 则需作出该直线 常考虑三角形的中位线 平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 3 利用面面平行的性质定理 当两平面平行时 其中一个平面内的任一直线平行于另一平面 例1 如图 矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC BE CF BCF 90 求证 AE 平面DCF 思路点拨 证明 过点E作EG CF交CF于G 连接DG 可得四边形BCGE为矩形 又ABCD为矩形 所以ADEG 从而四边形ADGE为平行四边形 故AE DG 因为AE 平面DCF DG 平面DCF 所以AE 平面DCF 变式1 如图 已知P是 ABCD所在平面外一点 M为PB的中点 求证 PD 平面MAC 证明 连结BD交AC于点O 连结MO O为BD的中点 又M为PB的中点 MO PD 又 MO 平面MAC PD 平面MAC PD 平面MAC 如果已知直线和平面平行 在利用直线与平面平行的性质定理时 常过此直线作和已知平面相交的辅助平面 完成线面平行向线线平行的转化 转化思想是本章知识最常用的思想 例2 求证 如果一条直线和两个相交平面都平行 那么这条直线和它们的交线平行 已知 如图 l a a 求证 a l 思路点拨 利用直线与平面平行的性质 分别在平面 找与a平行的直线 证明 过 作平面 交平面 于b a a b 同样 过a作平面 交平面 于c a a c b c 又 b c b 又平面 经过b交 于l b l 又a b a l 变式2 如图 设AB CD分别是位于平面 两侧的异面线段 且AB CD 直线AC AD BC BD分别交 于点E F H G 求证 EG与FH互相平分 证明 AC AD A AC和AD可确定一个平面 CD 平面ACD EF CD EF 同理 CD HG EF HG 同理 EH FG 四边形EFGH为平行四边形 EG与FH互相平分 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任一直线 常用来证明线线垂直 例3 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 思路点拨 1 因M为AB中点 只要证 ANB为等腰三角形 则利用等腰三角形的性质可得MN AB 2 已知MN CD 只需再证MN PC 易看出 PMC为等腰三角形 利用N为PC的中点 可得MN PC 1 连结AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在Rt PAC中 N为PC中点 AN PC PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 从而在Rt PBC中 BN为斜边PC上的中线 BN PC AN BN ABN为等腰三角形 又M为底边的中点 MN AB 又 AB CD MN CD 2 连结PM MC PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC PA BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 变式3 2010 江苏省东台中学高三数学诊断性试卷 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 证明CD AE 2 证明PD 平面ABE 证明 1 在四棱锥P ABCD中 因PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故PA CD AC CD PA AC A CD 平面PAC 而AE 面PAC CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD PD在底面ABCD内的射影是AD AB AD AB PD 又 AB AE A 综上得PD 平面ABE 规律方法总结 1 空间直线和平面的位置关系 直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交 了解空间直线和平面位置关系的画法 掌握它们的特征 即直线在平面内 有无数个公共点 直线和平面平行 无公共点 直线和平面相交 有且只有一个公共点 2 直线和平面平行时 直线和平面没有公共点 直线与平面内的直线只有两种位置关系 平行或异面 直线和平面平行的性质定理可简述为 若线面平行 则线线平行 它实际上是两直线平行的判定定理 3 直线与平面垂直的判定方法 定义 判定定理 由直线和平面垂直的判定定理知 把线线垂直关系转化为线面垂直关系 4 直线和平面垂直的性质定理是由线面垂直关系到线线垂直关系的转换 掌握性质 关键明确平面的垂线 应用时 只要找到这个平面的两条垂线就可以了 高考真题 例4 2009 辽宁卷 如图所示 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若平面ABCD 平面DCEF 求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 分析 对于第 1 问可以根据线面角的概念作出线面角 在已知条件 平面ABCD 平面DCEF 下 这个线面角很容易作出来 然后解一个直角三角形即可 第 2 问明确用反证法证明 反设结论 根据线面位置关系进行推理 导出矛盾结果 规范解答 1 如右图所示 取CD的中点G 连接MG NG 设正方形ABCD DCEF的边长为2 则MG CD MG 2 NG 因为平面ABCD 平面DCEF 所以MG 平面DCEF 可得 MNG是MN与平面DCEF所成的角 因为MN 所以sinMNG 为MN与平面DCEF所成角的正弦值 2 证明 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面DCEF 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 所以AB EN 又AB CD EF 所以EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直线 全解密 命题探究 本题考查线面角的计算及用反证法证明两条直线异面 试题的核心部分就是用反证法证明两直线异面 既考查空间线面位置关系的应用又考查重要的数学方法 反证法 是高考中立体几何解答题的一个创新 值得关注 课本探源 本题第 1 问给出的关系是非常基本的 两个正方形所在的平面互相垂直 这个关系就是将正方体的一个侧面与一个底面单独 摘出来 正方体模型是立体几何中最重要的模型之一 是各个版本的教材都很重视使用的 可以说本题第 1 问是教材上这个特点的反映 方法探究 反证法是证明数学问题的一个有力工具 很多看上去很困难的问题使用反证法往往很奏效 反证法证明问题的基本思想是 反设结论 导出矛盾 这里的矛盾可以是与具体题目中的已知矛盾 也可以是与已知的数学公理 定理矛盾 也可以与明显的事实矛盾 如得出1 2 3 0等 用反证法证明数学问题时 就是要根据题目中相关的信息 使用已经掌握的数学知识导出这个矛盾 这是反证法证明数学问题的实质所在 1 如图 已知长方体ABCD A1B1C1D1 1 求证 BC1 平面AB1D1 2 若E F分别是D1C BD的中点 则EF 平面ADD1A1 分析 本题要证明线面平行 可以紧紧围绕着线面平行的判定定理来考虑 寻求相关的线线平行 证明 1 BC1 平面AB1D1 AD1 平面AB1D1 BC1 AD1 BC1 平面AB1D1 2 连接AC 如图 点F为BD的中点 AC BD F