随机变量的数字特征.ppt

第四章随机变量的数字特征 通常是指与随机变量有关的 虽然不能完整地刻划随机变量 但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值 4 1随机变量的数学期望 4 2随机变量的方差 4 3协方差和相关系数 本章内容 4 4矩与协方差矩阵 数字特征 4 1随机变量的数学期望 1 离散型随机变量的数学期望 引例有甲 乙两射手 他们的射击技术用下表给出 问题 已知随机变量的概率分布 如何计算其平均值 解 射击水平 一般用平均击中环数来反映 所以 只要对他们的平均击中环数进行比较即可 分析 若甲射击N次 设击中8环 9环和10环的次数分别为次 则甲在N次射击中 平均每次击中的环数为 由于概率是频率的稳定中心 以表示甲的平均击中环数 则 故认为甲射手的水平较高 由于 可以看出 平均值是以分布概率为权重的加权平均 定义设离散型随机变量X的概率分布为 P X xk pk k 1 2 3 若级数 则称级数和 为随机变量X的数学期望 或均值 记作E X 随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的 而不应受X的可能取值的排列次序的影响 因此要求 否则 称随机变量的数学期望不存在 解易知 例1设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲 乙两队 比赛 甲队赢的概率为0 6 输的概率为0 4 并且甲队每赢一次得3分 每输一次扣1分 则E X 1 4是指甲队平均每次可得分 例2按规定 某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站 各车到站的时刻是随机的 且各车到站的时间是相互独立的 其规律为 某乘客8 20到站 求他候车时间的数学期望 解设乘客的候车时间为X 若该乘客8 20到车站 而8点到9点的一趟车已于8 10开走 第二趟车9 10开 则他候车的时间为50min 该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到 于是候车时间X的分布列为 对应的概率为事件 第一趟车8 10开走 且第二趟9 10开 发生的概率 即 解候车时间X的分布列为 从而该乘客候车时间的数学期望为 例2按规定 某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站 各车到站的时刻是随机的 且各车到站的时间是相互独立的 其规律为 某乘客8 20到站 求他候车时间的数学期望 求随机变量X和Y的数学期望 于是有 解由 X Y 的联合分布律可得关于X Y的边缘分布分别为 例3设二维离散型随机变量 X Y 的联合概率分布表为 定理1设二维离散型随机变量 X Y 的联合概率分布为 则 证明关于X的边缘分布为 于是有 同理可得 定义设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 说明 如果积分不收敛 则称随机变量X的数学期望不存在 收敛 则称积分值为X的数学期望 或均值 记作E X 即 2 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在 例4设随机变量X服从柯西分布 其密度函数为 证因为 即不收敛 所以X的数学期望不存在 求X的数学期望 例5设在某一规定的时间内 一电气设备用于最大负荷的时间X 单位 min 是一个随机变量 概率密度函数为 解由已知可得 例6设二维连续型随机变量的概率密度函数为 解关于X Y的边缘概率密度函数分别为 求E X E Y 于是有 定理2设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度函数为f x y 则有 于是有 证关于X Y的边缘概率密度函数分别为 3 随机变量函数的数学期望 定理3设X是随机变量 Y g X 是X的连续函数 则有 1 若为离散型变量 其概率函数为 2 如果X为连续型随机变量 其概率密度为f x 如果积分收敛 则有 3 如果 X Y 为离散型随机向量 其联合概率分布为P X xiY yj piji j 1 2 3 如果则Z g X Y 的数学期望为 4 设二维随机向量 X Y 为连续型随机变量 它的联合概率密度为f x y 若收敛 则Z g X Y 的数学期望为 所以 其中 求 例7设随机变量 解 例8设二维随机变量 X Y 的密度函数为 求 解 求 求 解 例10设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X 单位 t 是随机变量 它服从 1200 3000 上的均匀分布 若售出这种农产品1t 可赚2万元 但若销售不出去 则每吨需付仓库保管费1万元 问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润 解设每年准备该种商品yt 得到平均利润为 则利润为 解 利润为 得到平均利润为 当y 2400时 取到最大值 故每年准备此种商品2400t 可使平均利润达到最大 例10设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X 单位 t 是随机变量 它服从 1200 3000 上的均匀分布 若售出这种农产品1t 可赚2万元 但若销售不出去 则每吨需付仓库保管费1万元 问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润 证可将C看成离散型随机变量 分布律为P X C 1 故由定义即得E C C 2 设C为常数 X为随机变量 则有E CX CE X 证设X的密度函数为 则有 3 设为任意两个随机变量 都有 1 设C为常数 则有E C C 4 数学期望的性质 3 设X Y为任意两个随机变量 都有 证设二维随机变量 X Y 的密度函数为 则 推广到任意有限多个随机变量之和的情形 有 4 数学期望的性质 4 设X Y为相互独立的随机变量 则有 证因为X与Y相互独立 故其联合密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形 有 所以 解设随机变量 例11一民航机场的送客班车载有20位旅客 自机场开出 沿途旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车班车就不停 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 P 0 9 且各旅客是否下车相互独立 以X表示停车的次数 求E X i 1 2 10 由题意 任一旅客在第i个车站不下车的概率为表示第i站没有旅客下车 故20位旅客都不在第i站下车的概率为 在第i站有人下车的概率为 于是得的分布律如下 例11一民航机场的送客班车载有20位旅客 自机场开出 沿途旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车班车就不停 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 P 0 9 且各旅客是否下车相互独立 以X表示停车的次数 求E X 解随机变量 1 0 920 这表明班车平均停车约9次 解 试验证 但X和Y是不独立的 解 试验证 但X和Y是不独立的 所以 X的边缘密度函数 同理可得Y的边缘密度函数为 显然有 故X和Y是不独立的 1 离散型 2 连续型 3 Y g X 4 Y g X Y 小结 由第一节我们知道 随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度 但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的 我们仍用类似于第一节中的例子来说明 假设甲乙两射手各发十枪 击中目标靶的环数分别为 4 2随机变量的方差 容易算得 二人击中环数的平均值都是8 8环 现问 甲 乙二人哪一个水平发挥的更稳定 直观的理解 二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少 这个选手发挥的更稳定 一些 为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较 为了防止偏差和的计算中出现正 负偏差相抵的情况 应由偏差的绝对值之和求平均更合适 对于甲选手 偏差绝对值之和为 所以甲 乙二人平均每枪偏离平均值为0 64环和1 08环 因而可以说 甲选手水平发挥更稳定些 类似的 为了避免运算式中出现绝对值符号 我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较 定义 离差 设X为随机变量 EX存在 称X EX为离差 显然 E X EX 0 定义 方差 设X为随机变量 EX存在 且E X EX 2存在 则称E X EX 2为X的方差 记为 DX E X EX 2 特别 记 x 注意 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 结合随机变量函数的数学期望可得 1 若P X xn pn n 1 2 则 DX E X EX 2 2 若X为连续型 X f x 则 DX E X EX 2 随机变量的方差 为X的标准差 若X的取值比较分散 则方差较大 若方差D X 0 则r v X以概率1取常数值 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 若X的取值比较集中 则方差较小 D X E X E X 2 方差的性质 1 D c 0 2 D aX a2D X 3 D X b DX 4 DX EX2 EX 2 证明 2 D aX E aX E aX 2 E a X EX 2 a2E X EX 2 a2D X 4 DX E X EX 2 E X2 2X EX EX 2 EX2 E 2X EX E EX 2 EX2 2 EX EX EX 2 EX2 EX 2 EX2 DX EX 2 常用于计算方差 注 EX是常数 1 D c 0 2 D aX a2D X 3 D X b DX 4 DX EX2 EX 2 从而 证明 若X与Y相互独立 则已知 性质 5 可以推广到多个相互独立的随机变量的情形 例如 当相互独立时 成立 例1对服从 0 1 分布的随机变量X 分布列为 求X的方差 已知而且 则X的方差为 解 由上节中的例14知其中服从同一 0 1 分布 且相互独立 又由本节例1有于是可得 解 例2设随机变量X服从二项分布 试求 例已知随机变量X服从二项分布 且E X 2 4 D X 1 44 则二项分布的参数n p的值为 n 4 p 0 6 n 6 p 0 4 n 8 p 0 3 n 24 p 0 1 例设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为0 4 则X2的数学期望E X2 18 4 例3设随机变量X服从参数为的泊松分布 求 在本章第一节的例中我们已经知道 从而 解 例4对服从 a b 区间上均匀分布的随机变量X 计算 已知 且 解 从而 几何分布 而 所以 f x x 0 大 EX DX 2 正态分布期望和方差 例5已知求 由方差的定义可得 解 作代换则 求EX和DX 练习 设X的密度函数为 解得 EX 1 DX 2 1 2 练习 1 X Y独立 DX 6 DY 3 则D 2X Y 2 X N 3 1 Y N 2 4 X Y独立 则X 2Y 1 3 X P 2 Y N 2 4 X Y独立 Z X Y 则EZ 若X Y独立 则EZ2 解 1 D 2X Y D 2X DY 4DX DY 27 2 E X 2Y 1 EX 2EY 1 0 D X 2Y 1 DX 4DY 17所以 X 2Y 1 N 0 17 3 EZ EX EY 4 EZ2 E X2 Y2 2XY EX2 EY22EXEY 6 8 8 22或EZ2 DZ EZ 2 6 16 22 27 N 0 17 4 22 例6 设X 求EX DX 解 1 EX 1 2 E X2 7 6 所以 DX EX2 EX 2 7 6 1 1 6 练习 设X是一随机变量 E X D X 2 0常数 则对任意常数C 必有 解 E X C 2 E X2 2CX C2 EX2 E 2CX C2 EX2 2CE X C2 EX 2 DX 2CE X C2 2 2 2C C2 2 C 2 而 E X 2 E X EX 2 DX 2 所以 4 正确 例7设随机变量X的期望E X 和方差D X 都存在 则称 为X的标准化随机变量 试求和 注意到均为常数 再由期望及方差的性质可得 解 可见 标准化随机变量的期望是0 方差是1 因此 把随机变量标准化 可以使所讨 论的问题变得较简单 这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用 例如 随机变量X服从正态分布把X标准化则服从标准正态分布 于是要求X落入某一区间的概率 只需由标准正态分布表查出落入相应区间的概率即可 这一作法是我们早已熟知并已多少应用过的 2 随机变量X只取 1 0 1三个值 且相应概率比为1 2 2 又Y X2 求 1 EX 2 DX 3 EY 4 DY 课堂练习 3 练习册6 某种产品表面上的疵点数服从泊松分布 平均一个上有0 8个疵点 若规定疵点数不超过1个为一等品 价值10元 疵点数大于1个不多余4个为二等品 价值8元 4个以上者为废品 求产品为废品的概率以及产品的平均价值 解 设X 疵点数 Y 产品价值 则 EX 0 8 2 在长为的线段上任取两点 求两点间的距离的数学期望和方差 综合练习题三 计算题 解 设所取两点分别为X Y 则 又X Y相互独立 故 1 协方差与相关系数的概念 2 协方差的性质 3 相关系数的性质 4 3协方差与相关系数 小结 4 矩的概念 1 问题的提出 1 协方差与相关系数的概念 2 定义 3 说明 4 协方差的计算公式 证明 2