直线与平面垂直的判定与性质.ppt

直线与平面垂直的判定与性质 高一数学组 高考链接 1 以选择题 填空题的形式考查垂直关系的判定 经常与命题或充要条件相结合 2 以锥体 柱体为载体考查线面垂直的判定 考查空间想象能力 逻辑思维能力 考查转化与化归思想的应用能力 3 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 运用公理 定理和已获得的结论 证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题 要点 1 垂直是立体几何的必考题目 且几乎每年都有一个解答题出现 是高考的热点 是复习的重点 纵观历年来的高考题 立体几何中没有难度过大的题 复习要抓好三基 基础知识 基本方法 基本能力 2 要重视和研究数学思想 数学方法 在本讲中 化归 思想尤为重要 不论何种 垂直 都要化归到 线线垂直 观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口 1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内任意直线 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一直线的两平面平行 知识梳理 2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 3 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 三类证法 1 证明线线垂直的方法 定义 两条直线所成的角为90 平面几何中证明线线垂直的方法 线面垂直的性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 判定定理1 l 判定定理2 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 l a a l a 3 证明面面垂直的方法 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 判定定理 a a 题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 1 因M为AB中点 只要证 ANB为等腰三角形 则利用等腰三角形的性质可得MN AB 2 已知MN CD 只需再证MN PC 易看出 PMC为等腰三角形 利用N为PC的中点 可得MN PC 题型分类深度剖析 证明 1 连接AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在Rt PAC中 N为PC中点 PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 从而在Rt PBC中 BN为斜边PC上的中线 AN BN ABN为等腰三角形 又M为底边AB的中点 MN AB 又 AB CD MN CD 2 连接PM CM PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC PA BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 知能迁移1Rt ABC所在平面外一点S 且SA SB SC D为斜边AC中点 1 求证 SD 面ABC 2 若AB BC 求证 BD 面SAC 证明 1 如图所示 取AB中点E 连结SE DE 在Rt ABC中 D E分别为AC AB的中点 故DE BC 且DE AB SA SB SAB为等腰三角形 SE AB SE AB DE AB SE DE E AB 面SDE 而SD 面SDE AB SD 在 SAC中 SA SC D为AC中点 SD AC SD AC SD AB AC AB A SD 面ABC 2 若AB BC 则BD AC 由 1 可知 SD 面ABC 而BD 面ABC SD BD SD BD BD AC SD AC D BD 面SAC 题型二面面垂直的判定与性质如图所示 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB DC PAD是等边三角形 已知BD 2AD 8 AB 2DC 4 1 设M是PC上的一点 证明 平面MBD 平面PAD 2 求四棱锥P ABCD的体积 1 因为两平面垂直与M点位置无关 所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD 考虑证明BD 平面PAD 2 四棱锥底面为一梯形 高为P到面ABCD的距离 1 证明在 ABD中 AD 4 BD 8 AB 4 AD2 BD2 AB2 AD BD 又 面PAD 面ABCD 面PAD 面ABCD AD BD 面ABCD BD 面PAD 又BD 面BDM 面MBD 面PAD 2 解过P作PO AD 面PAD 面ABCD PO 面ABCD 即PO为四棱锥P ABCD的高 又 PAD是边长为4的等边三角形 PO 在底面四边形ABCD中 AB DC AB 2DC 四边形ABCD为梯形 在Rt ADB中 斜边AB边上的高为此即为梯形的高 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 构造二面角的平面角或得到点到面的距离等 知能迁移2在斜三棱柱A1B1C1 ABC中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面BB1C1C 底面ABC 1 若D是BC的中点 求证 AD CC1 2 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M 若AM MA1 求证 截面MBC1 侧面BB1C1C 证明 1 AB AC D是BC的中点 AD BC 底面ABC 平面BB1C1C 面ABC 面BB1C1C BC AD 侧面BB1C1C CC1 面BB1C1C AD CC1 2 延长B1A1与BM交于N 连结C1N AM MA1 NA1 A1B1 A1B1 A1C1 A1C1 A1N A1B1 C1N C1B1 截面NB1C1 侧面BB1C1C 面NB1C1 面BB1C1C C1B1 C1N 侧面BB1C1C C1N 面C1NB 截面C1NB 侧面BB1C1C 即截面MBC1 侧面BB1C1C 题型三线面角的求法 12分 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 1 求证 PB DM 2 求BD与平面ADMN所成的角 1 易证PB 平面ADMN 2 构造直线和平面所成的角 解三角形 1 证明 N是PB的中点 PA AB AN PB BAD 90 AD AB PA 平面ABCD PA AD PA AB A AD 平面PAB AD PB 4分又 AD AN A PB 平面ADMN 平面ADMN PB DM 6分 2 解连接DN PB 平面ADMN BDN是BD与平面ADMN所成的角 8分在Rt BDN中 10分 BDN 30 即BD与平面ADMN所成的角为30 12分 求直线和平面所成的角 关键是利用定义作出直线和平面所成的角 必要时 可利用平行线与同一平面所成角相等 平移直线位置 以方便寻找直线在该平面内的射影 知能迁移3如图所示 四面体ABCS中 SA SB SC两两垂直 SBA 45 SBC 60 M为AB的中点 求 1 BC与平面SAB所成的角 2 SC与平面ABC所成的角的正切值 解 1 SC SB SC SA SB SA S SC 平面SAB BC在平面SAB上的射影为SB SBC为BC与平面SAB所成的角 又 SBC 60 故BC与平面SAB所成的角为60 2 连结MC 在Rt ASB中 SBA 45 ASB为等腰直角三角形 SM AB 由 1 知AB SC AB SM M AB 平面SMC 平面ABC 平面SMC 平面ABC 过点S作SO MC于点O SO 平面ABC SCM为SC与平面ABC所成的角 由 1 知SC 平面SAB 又 平面SAB SC SM SMC为直角三角形 设SB a 即SC与平面ABC所成的角的正切值为 题型四二面角的求法如图所示 三棱锥P ABC中 D是AC的中点 PA PB PC AC 2 AB BC 1 求证 PD 平面ABC 2 求二面角P AB C的正切值大小 1 已知三角形三边长 可考虑利用勾股定理的逆定理证明垂直 2 关键是找出二面角的平面角 由AP PB 可考虑取AB的中点E 1 证明连结BD D是AC的中点 PA PC PD AC AC AB BC AB2 BC2 AC2 ABC 90 即AB BC PD2 PA2 AD2 3 PB PD2 BD2 PB2 PD BD AC BD D PD 平面ABC 2 解取AB的中点E 连结DE PE 由E为AB的中点知DE BC AB BC AB DE PD 平面ABC PD AB 又AB DE DE PD D AB 平面PDE PE AB PED是二面角P AB C的平面角 在 PED中 PDE 90 二面角P AB C的正切值为 找二面角的平面角常用的方法有 1 定义法 作棱的垂面 得平面角 2 利用等腰三角形 等边三角形的性质 取中线 知能迁移4如图所示 四棱锥P ABCD的底面ABCD是直角梯形 PA 平面ABCD 且AD BC AD DC ADC和 ABC均为等腰直角三角形 设PA AD DC a 点E为侧棱PB上一点 且BE 2EP 1 求证 平面PCD 平面PAD 2 求证 直线PD 平面EAC 3 求二面角B AC E的余弦值 1 证明 PA 平面ABCD DC 平面ABCD DC PA 又 AD DC 且PA与AD是平面PAD内两相交直线 DC 平面PAD 又 DC 平面PCD 平面PCD 平面PAD 2 证明连结BD 设BD与AC相交于点F 连结EF 在等腰直角 ADC中 AD DC 又 AD BC ACB DAC 又 ABC为等腰直角三角形 且底面ABCD是直角梯形 若 B为直角 则与底面ABCD是直角梯形相矛盾 由AD DC a 易知AB AC a BC 2a BC AD且BC 2AD BF 2FD 又 BE 2EP PD EF 又 EF 平面EAC PD 平面EAC 直线PD 平面EAC 3 解过点E作EH PA交AB于H点 则EH 平面ABCD 又 AB AC EA AC EAH为二面角B AC E的平面角 BE 2EP 即二面角B AC E的余弦值为 方法与技巧1 证明线面垂直的方法 1 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 3 判定定理2 a b a b 4 面面平行的性质 a a 5 面面垂直的性质 l a a l a n 思想方法感悟提高 2 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a