经典板理论的基本方程(Q).ppt

第2章经典板理论的基本方程1 1极坐标系1 1 1经典方程1 1 2方程的解1 2椭圆坐标系1 2 1经典方程1 2 2方程的解1 3直角坐标系1 3 1经典方程2 3 2方程的解1 4斜交坐标系1 4 1经典方程1 4 2方程的解参考文献LeissaAW Vibrationofplates NASASP 160 1969 Q 为什么要在不同坐标系下建立板的经典方程 第2章经典板理论的基本方程 均质等厚板弯曲横向位移w的经典运动微分方程为 z2 1 其中D为弯曲刚度 E为杨氏模量 h是板的厚度 n为泊松比 r为板的质量面密度 4 2 2 2为拉普拉斯算子 当自由振动时 运动可假设为 当自由振动时 运动可假设为w为圆频率W只是位置的函数 将 2 3 代入 2 1 得 其中 将此方程 2 4 分解为因子方程会更方便 z2 2 z2 5 z2 4 z2 6 z2 3 Q 为什么要当自由振动时 运动可假设为2 3 Q k在波的传播中叫做什么概念 第2章经典板理论的基本方程 由线性微分方程理论 方程的全解可由下列方程的解叠加而得 z2 7 对于无质量弹性支承的板 或弹性基础上的板 方程 2 1 变为 为支承刚度 量纲为单位接触面积 单位挠度的力 2 8 的解仍可设为 2 3 但 2 5 中的k变为 注意 以上所有方程都是与坐标无关的 z2 8 z2 9 Q 线性微分方程的具体哪个理论 Q 2 3中不是有x y等直角坐标系的坐标吗 那为何上述方程不是以上所有方程都是与坐标无关的 第2章经典板理论的基本方程 1 1极坐标系 极坐标系中一点P示于图2 1 在极坐标中的Laplacian算子表达式为 用位移表示的弯矩和扭矩为 横向剪力由下式给出 z2 11 z2 10 z2 12 图2 1 边界反作用剪力表达式为 z2 13 第2章经典板理论的基本方程 板的应变能为 z2 14 其中dA rdr dq 1 1 2方程的解 将极坐标形式的振型函数W r q 展成q的Fourier级数 z2 15 z2 16 2 15 代入 2 7 得关于Wn r 的两个微分方程 关于的两个微分方程与以上方程完全相同 第2章经典板理论的基本方程 方程 2 16 具有Bessel方程的形式 其解为 z2 17 Jn Yn是第一类和第二类Bessel函数 In Kn是第一类和第二类变型Bessel函数 系数An Dn决定模态形状 由边界条件确定 因此极坐标形式下 方程 2 4 的通解为 z2 18 Q 极坐标系描述最适用于分析何种形状结构 给出一个实际例子 第2章经典板理论的基本方程 1 2椭圆坐标系 椭圆坐标示于图2 2 与直角坐标x y的关系为 其中2c为内焦距 分离实部和虚部得 1 2 1经典方程 z2 20 z2 19 z2 21 图2 1 用位移表示的弯矩和扭矩为 z2 22 椭圆坐标中Laplacian算子的表达式为 第2章经典板理论的基本方程 1 2 2方程的解 z2 23 已经证明椭圆坐标下 方程 2 7 的解由两部分组成 其中是m阶Mathieu函数和修正Mathieu函数 为积分常数 z2 24 z2 16 方程 2 7 的全解为 z2 25 第2章经典板理论的基本方程 对于包含坐标原点的固体域 正则性条件要求将 2 24 式中的一半项丢弃 全解变为 z2 26 Q 椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构 给出一个实际例子 第2章经典板理论的基本方程 1 3直角坐标系 直角坐标系中的一点P示于图2 31 3 1经典方程 用位移表示的弯矩和扭矩为 直角坐标系中Laplacian算子为 z2 28 z2 27 z2 29 图2 3 边界反作用剪力表达式为 z2 30 横向剪力由下式给出 z2 31 第2章经典板理论的基本方程 板的应变能为 z2 32 其中dA dxdy 2 3 2方程的解直角坐标下 方程 1 4 的一般解可将W x y 对变量x或y展成Fourier级数得到 若对变量x展成Fourier级数 2 33 代入 2 7 得关于Ym x y 的两个微分方程 z2 33 z2 34 关于 的两个微分方程与以上方程类似 其中 za mp a Q 为什么值得到两个微分方程 如何得到的 Q a为什么等于 mp a 当 时 方程 2 34 的解为 第1章板的基本方程 因此方程 1 4 的全解为 z1 35 当时 方程 2 34 的解为 z1 36 z1 37 第2章经典板理论的基本方程 1 4斜交坐标系 z2 38 一点P的斜交坐标x h示于图2 4 斜交坐标与直角坐标的关系为 1 4 1经典方程 斜交坐标系中的Laplacian算子为 用位移表示的弯矩和扭矩为 z2 39 z2 40 横向剪力由下式给出 第1章板的基本方程 其中 边界反作用剪力表达式为 板的应变能为 其中dA cosa