第七章解三角形（高中数学竞赛标准教材）

1 / 9 第七章解三角形（高中数学竞赛标准教材） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第七章解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A， B， c 分别表示 ABc 的三个内角， a,b,c分别表示它们所对的各边长，为半周长。 1正弦定理： =2R（ R 为 ABc 外接圆半径）。 推论 1： ABc 的面积为 SABc= 推论 2：在 ABc 中，有 bcosc+ccosB=a. 推论 3：在 ABc 中， A+B=，解 a 满足，则 a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论 。先证推论 1，由正弦函数定义， Bc 边上的高为bsinc，所以 SABc= ；再证推论 2，因为 B+c=-A，所以sin(B+c)=sinA，即 sinBcosc+cosBsinc=sinA，两边同乘以2R 得 bcosc+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA ，等价于cos(-A+a)-cos(-A-a)=cos(-a+A)-cos(-a-A)，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为 0.所以只有 -A+a=-a+A，所以 a=A，得证。 2余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （ 1）斯特瓦特定理：在 ABc 中， D 是 Bc 边上任意一点，2 / 9 BD=p， Dc=q，则 AD2=（ 1） 【证明】因为 c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos， 所以 c2=AD2+p2-2ADpcos 同理 b2=AD2+q2-2ADqcos， 因为 ADB+ADc=， 所以 cosADB+cosADc=0， 所以 q+p 得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即 AD2= 注：在（ 1）式中，若 p=q，则为中线长公式 （ 2 ） 海 伦 公 式 ： 因 为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2(b+c)-a2a2-(b-c)2=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 所以 SABc= 二、方法与例题 1面积法。 例 1（共线关系的张角公式）如图所示，从 o 点发出的三条射线满足，另外 oP， oQ， oR 的长分别为 u,w,v，这里 ， ， +(0,) ，则 P， Q， R 的共线的充要条件是 【证明】 P， Q， R 共线 (+)=uwsin+vwsin 3 / 9 ，得证。 2正弦定理的应用。 例 2 如图所示， ABc 内有一点 P ，使得BPc-BAc=cPA-cBA=APB-AcB。 求证： APAB。 【证明】过点 P 作 PDBc， PEAc， PFAB，垂足分别为 D， E， F，则 P， D， c， E； P， E， A， F； P， D， B， F 三组四点共圆，所以 EDF=PDE+PDF=PcA+PBA=BPc-BAc 。 由 题 设 及BPc+cPA+APB=3600 可得 BAc+cBA+AcB=1800。 所以 BPc-BAc=cPA-cBA=APB-AcB=600。 所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以 DEF 是正三角形。 所以 DE=EF=DF，由正弦定理， cDsinAcB=APsinBAc=BPsinABc，两 边 同 时 乘 以 ABc 的 外 接 圆 直 径 2R ，得cPAc，得证： 例 3 如图所示， ABc 的各边分别与两圆 o1 ， o2 相切，直线 GF与 DE交于 P，求证： PABc。 【证明】延长 PA交 GD于 m， 因为 o1GBc， o2DBc， 所以只需证 由正弦定理， 所以 另一方面， 所以， 4 / 9 所以，所以 PA/o1G， 即 PABc，得证。 3一个常用的代换：在 ABc 中，记点 A， B， c 到内切圆的切线长分别为 x,y,z，则 a=y+z,b=z+x,c=x+y. 例 4 在 ABc 中 ， 求 证 ：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc. 【证明】令 a=y+z,b=z+x,c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc. 4三角换元。 例 5 设 a,b,cR+ ，且 abc+a+c=b，试求的最大值。 【解】由题设，令 a=tan,c=tan,b=tan, 则 tan=tan(+),P=2sinsin(2+)+3cos2 ， 当且仅当 += ， sin= ，即 a=时， Pmax= 例 6 在 ABc 中，若 a+b+c=1，求证 :a2+b2+c2+4abc 【证明】设 a=sin2cos2,b=cos2cos2,c=sin2,. 因为 a,b,c为三边长，所以 c|a-b|， 从而，所以 sin2cos2|. 因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 5 / 9 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2cos2+sin2cos2cos 2 =1-cos22+(1 -cos22)cos4cos2 =+cos2(cos4 -cos22cos4 -cos2) +cos2(cos4 -sin4 -cos2)=. 所以 a2+b2+c2+4abc 三、基础训练题 1在 ABc 中，边 AB为最长边，且 sinAsinB=，则 cosAcosB的最大值为 _. 2在 ABc 中，若 AB=1， Bc=2，则的取值范围是 _. 3在 ABc 中， a=4,b+c=5,tanc+tanB+tanctanB，则 ABc的面积为 _. 4 在 ABc 中， 3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1 ，则=_. 5 在 ABc 中， “asinB” 的_条件 . 6在 ABc 中， sinA+cosA0，则角 A的取值范围是 _. 7在 ABc 中， sinA=， cosB=，则 cosc=_. 8在 ABc 中， “ 三边 a,b,c 成等差数 列 ” 是 “tan” 的_条件 . 6 / 9 9在 ABc 中，若 sinc=2cosAsinB，则三角形形状是_. 10在 ABc 中， tanA1，则 ABc 为_角三角形 . 11三角形有一个角是 600，夹这个角的两边之比是 8： 5，内切圆的面积是 12，求这个三角形的面积。 12已知锐角 ABc 的外心为 D，过 A， B， D 三点作圆，分别与 Ac， Bc 相交于 m， N 两点。求证： mNc 的外接圆半径等于 ABD 的外接圆半径。 13已知 ABc 中， sinc=，试判断其形状。 四、高考水平训练题 1在 ABc 中，若 tanA=,tanB=，且最长边长为 1，则最短边长为 _. 2已知 nN+ ，则以 3， 5， n 为三边长的钝角三角形有_个 . 3 已 知 p,qR+,p+q=1 ， 比 较 大 小 ：psin2A+qsin2B_pqsin2c. 4在 ABc 中，若 sin2A+sin2B+sin2c=4sinAsinBsinc，则ABc 为 _角三角形 . 5若 A 为 ABc 的内角，比较大小： _3. 6若 ABc 满足 acosA=bcosB，则 ABc 的形状为 _. 7满足 A=600， a=,b=4 的三角形有 _个 . 7 / 9 8设为三角形最小内角，且 acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则 a 的取值范围是 _. 9 A， B， c 是一段笔直公路上的三点，分别在塔 D 的西南方向，正西方向，西偏北 300 方向，且 AB=Bc=1km，求塔与公路 Ac段的最近距离。 10求方程的实数解。 11求证： 五、联赛一试水平训练题 1在 ABc 中， b2=ac，则 sinB+cosB 的取值范围是_. 2在 ABc 中，若，则 ABc 的形状为 _. 3对任意的 ABc ， -(cotA+cotB+cotc)，则 T 的最大值为_. 4在 ABc 中，的最大值为 _. 5平面上有四个点 A， B， c， D，其中 A， B 为定点， |AB|=，c， D 为动点，且 |AD|=|Dc|=|Bc|=1。记 SABD=S ， SBcD=T ，则 S2+T2的取值范围是 _. 6在 ABc 中， Ac=Bc， o 为 ABc 的一点， ABo=300，则Aco=_. 7在 ABc 中， ABc ，则乘积的最大值为 _，最小值为 _. 8在 ABc 中，若 c-a等于 Ac边上的高 h，则 =_. 8 / 9 9如图所示， m， N 分别是 ABc 外接圆的弧， Ac 中点， P为 Bc上的动点， Pm交 AB于 Q， PN交 Ac于 R， ABc 的内心为 I，求证： Q， I， R 三点共线。 10如图所示， P， Q， R 分别是 ABc 的边 Bc， cA， AB上一点，且 AQ+AR=BR+BP=cQ+cP。求证： AB+Bc+cA2 （ PQ+QR+RP）。 11在 ABc 外作三个等腰三角形 BFc ， ADc ， AEB ，使 BF=Fc， cD=DA， AE=EB， ADc=2BAc， AEB=2ABc， BFc=2AcB，并且 AF， BD， cE交于一点，试判断 ABc 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1已知等腰 ABc ， AB=Ac，一半圆以 Bc的中点为圆心，且与两腰 AB 和 Ac分别相切于点 D 和 G， EF与半圆相切，交 AB于点 E，交 Ac于点 F，过 E 作 AB 的垂 线，过 F 作 Ac的垂线，两垂线相交于 P，作 PQBc， Q 为垂足。求证：，此处 =B。 2设四边形 ABcD 的对角线交于点 o，点 m 和 N 分别是 AD和 Bc的中点，点 H1， H2（不重合）分别是 AoB 与 coD 的垂心，求证： H1H2mN。 3已知 ABc ，其中 Bc上有一点 m，且 ABm 与 Acm 的内切圆大小相等，求证：，此处 (a+b+c),a,b,c 分别为 ABc 对应三边之长。 4已知凸五边形 ABcDE，其中 ABc=AED=900， BAc=EAD， BD与 cE交于点 o，求证： AoBE。 5已知等腰梯形 ABcD， G 是对角线 BD 与 Ac 的交点，过点9 / 9 G 作 EF与上、下底平行，点 E 和 F 分别在 AB 和 cD上，求证：AFB=900 的充要条件是 AD+Bc=cD。 6 AP， AQ， AR， AS是同一个圆中的四条弦，已知 PAQ=QAR=RAS，求证： AR（ AP+AR） =AQ（ AQ+AS）。 7已知一凸四边形的边长依次为