第一章 整式的运算

1 / 15 第一章 整式的运算 m 第一章整式的运算 一、值得讨论的问题： 1、符号感的含义是什么？如何培养学生的符号感？符号感主要表现在 “ 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题 ” 。 2、如何理解基本技能？基本技能包括运算能力、阅读能力、探索能力、理解能力、归纳能力、类比能力等。 3、如何进行评价？注重对学生从具体问题中抽象出数量关系以及探索运算法则等过程的评价。一是学生在具体活动中的 投入程度，二是学生在活动中的水平。 对知识技能的评价应关注学生对整式运算法则的理解和运用，以及学生基本运算技能的形成。对知识技能的评价应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不仅仅是记忆和使用的熟练程度。 二、本章总的教学目标、设计思路、课时安排、教学建议、评价建议详见七年级下册教学参考第 1、 2、 3 页。本章在呈现形式上力求突出：整式及整式运算产生的实际背景 使学生经历实际问题 “ 符号化 ” 的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程 为探索有关运算法则设置了归纳、类2 / 15 比等活动； 对算理的理解和基本运算技能的掌握 设置恰当数量和难度的符号运算，同时要求学生说明运算的根据。教学中要注意： 1、注重使学生经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感。 2、以 “ 观察 归纳 类比猜想 概括 ” 为主线索呈现运算法则的探索过程，注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解，发展有条理的思考与表达。 3、注重在代数学习中发展学生的推理能力，培养表达能力。 4、保证基本的运算技能，避免繁杂的运算。 5、公式教学应体现：一般 特殊 般的关系，发展学生的符号感和推理能力，让学生经历从实际背景中符号化的过程和符号化的作用。 6、本章学习活动的设置应关注学生在符号表达、有理数运算、合并同类项、去括号、探索规律等方面技能与能力的螺旋上升。 7、在知识学习上应关注各部分知识之间的联系，具体安排线索如下： 1 整式 一、教材地位： 3 / 15 本节是七上字母表示数、代数式内容的延伸，让学生了解整式产生的实际背景，为后面整式的运算作铺垫。 二、教学目标： 1、在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 2、了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数、单项式的系数、多项式的项的系数和次数。 三、教学重点： 1、单项式的概念，系数和次数。 2、基本理解多项式的概念和正确确定多项式的次数和项数。 四、教学难点： 1、系数是负数或分数时的情形。 2、多项式的次数和项的次数混淆。 五、教学建议： 1、充分用好教材中有实际意义的问题，让学生了解整式的实际背景，同时还可再引入类似的情境供学生讨论，一方面提高学生的学习兴趣，另一 方面让学生体会自己（或合作）写出的每一个整式特别是单项式所反映的数量关系。 2、教学中要注意充分利用实际问题情境让学生主动参与进来，教学方式可采用小组讨论、互编互答的形式。 3、教学中不要求学生死记整式的概念，只要求学生理解，能够识别即可。还可让学生再举一些整式的例子。 4 / 15 2 整式的加减 一、教学目标： 1、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感。 2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。 3、 正确理解整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。 二、教学重点： 1、整式的加减运算。 三、教学难点： 1、括号前面是负号或数时去括号。 四、教学建议： 1、给学生充分思考与探索的时间，让学生经历从具体的数到一般的字母的过程，发展符号感，体会整式加减的必要性。 2、引导学生先思考，后小组讨论，鼓励学生算法多样化，让学生初尝多角度思考问题的甜头。 3、不必强调学生记忆整式加减的运算法则，而是让学生通过几个有趣的活动（数字游戏、摆屋 型数），并在活动过程中理解整式加减的意义及学习整式加减的价值，激发学生的学习主动性。 4、学生学习整式加减一定量的练习也是必要的，特别是在第二课时。但是要注意控制其繁难程度，注意把握在教材的习题水平。要放手让学生自己尝试，教师应深入到学生之中5 / 15 进行观察，对于发现的问题可以通过让学生表达算理等方法鼓励他们自己改正。 3 同底数幂的乘法 一、教学目标： 1、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。 2、了解同底 数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。 二、教学重点： 1、理解同底数幂乘法法则及其推理过程。 2、会用同底数幂乘法法则进行计算。 三、教学难点： 1、公式的逆用，理解同底数幂相乘与合并同类项间的区别。 四、教学建议： 1、充分利用引例，让学生在探索性质的过程中理解同底数幂乘法的必要性。 2、做一做：意在由特殊到一般，让学生在做中悟出规律，并运用自己的语言进行描述。 3、学生的方法只要正确，教师都要鼓励，并且组织全 班进行交流。教师还应要求学生说明每一步计算的理由。 4、针对课堂中学生产生的错误，教师应要求学生用自己的语言说明错误的原因，切实把握幂的运算意义。 6 / 15 4 幂的乘方与积的乘方 一、教学目标： 1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。 2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。 二、教学重点： 1、探索出幂的乘方与积的乘方的性质。 2、理解 幂的乘方与积的乘方运算性质的探索过程，会利用性质进行计算。 三、教学难点： 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的综合运算。 四、教学建议： 1、用好课本中的引例，让学生经历从实际问题引入幂的乘方的过程，体会幂的乘方的必要性。 2、教学过程中，要让学生体会代数运算性质的发现与运用大多都是先特殊到一般，再从一般到特殊的。教师要鼓励学生自己发现积的乘方和幂的乘方的运算性质，并要求他们会用自己的语言进行描述，如：积的乘方等于每一个因数乘方的积。培养学生的语言转换能力 。 3、 “ 议一议 ” 要给学生充分独立思考与交流的时间，让学生探索不同的方法。教学中要让学生在各自说明理由的基础上充分交流做法。 4、学7 / 15 生开始练习积的乘方运算时，不应鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义，一开始为了让学生明白算理，可以要求学生多写几步，学生熟练后可省略前两步。 5 底数幂的除法 一、教学目标： 1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。 2、了解同底数幂的除 法的运算性质，并能解决一些实际问题。 二、教学重点： 1、探索归纳出同底数幂的除法运算法则。 三、教学难点： 负整数指数幂的运算。 四、教学建议： 1、用好课本中的引例，让学生经历从实际问题引入幂的除法的过程，体会同底数幂的除法的必要性。 2、教师可以鼓励学生自己发现同底数幂的除法运算性质的特点，并运用自己的语言进行描述，同时需引导学生尽可能地与数的除法类比。 3、负整数指数幂的教学，可让学生经历：想一想 猜一猜的过程，既增加 兴趣又加深印象。 8 / 15 4、刚开始练习时，和前面一样，不鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的算理。 5、利用同底数幂的除法来说明零指数和负整数指数的规定的合理性。 6、 1 5 节结束后建议增加一节习题课，让学生理清幂的运算性质的区别与联系，建立一定的知识结构体系。 6 整式的乘法 一、教学目标： 1、经历探索过程，让学生从实际问题中得出整式乘法运算的法则，并会进行简单的整式乘法运算。 2、理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。 二、教学重点： 1、掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法运算的法则。 三、教学难点： 1、探索出整式的乘法的法则。 四、教学建议： 1、利用课本引例或创设符合学生实际的情境，让学生探索推导出整式乘法运算的法则，体会整式乘法运算的必要性，并能用自己的语言进行描述（不要求背诵）。 9 / 15 2、在进行运算时，应要求学生明确每一步的算理，发展他们有条理的思考能力。 3、教学中要适当、分阶段在提供一些必要的训练，使学生能准确地进行基本的运算，并能明白每一步的算理。 4、教学中要注意避免过多、繁琐的运算，多项式与多项式相乘仅要求一次式相乘，不必再做扩展。 5、教学中逐步渗透转化与化归思想，要让学生在做中体会。比如：多项式 多项式 单项式 多项式 单项式 单项式。 7 平方差公式 一、教材地位： 平方差公式是在整式的乘法之后提出来的，是最基本的一个乘法公式。它不仅是学习乘法公式的基础，同 时在计算中也起着重要的作用。 二、教学目标： 1、会推导平方差公式，并会运用公式进行计算 2、培养学生独立思考的能力，集体协作的能力，组织归纳的能力及积极探索问题的能力。 3、通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。 2、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。 10 / 15 3、了解平方差公式的几何背景。 三、教学重点： 1、理解、掌握平方差公式是本节课的重点。 四、教学难点： 1、问题的提出与问题的解决需要学生的探索与创新能力。 2、如何引导学生发现并探究出平方差公式。 五、教学建议： 1、要求学生仔细观察，丰富联想，大胆猜测，主动探索，积极提出问题，解决问题。 2、本节课可以按如下教学方式展开：放手做一做 引导想一想 鼓励说一说 特例验一验 设法证一证（多项式展开、几何图形解释） 规律用一用。 3、要鼓励学生研究和发现公式的特点，理解平方差公式只是多项式乘以多项式的一类特例，并联想是否 还有其他特例（为后继学习作准备），认识了这一点，让学生用代数推理的办法验证自己的猜想也是有益的。 4、得到公式之后，要尽可能的让学生用自己的方式表达公式的含义，用自然语言表达，用符号语言表达，用几何语言表达（给出几何解释）。进一步体会数形结合思想和数学的对称美。 5、运用平方差公式进行一些简便运算，是对学生掌握公式的一个很好的检验，教师要注意让学生自主探究，不要急于11 / 15 告诉结果。 6、对于公式中的字母不必急于进行变式练习，但一开始就要引导学生站在代数角度去理解公式中字母的广泛含义。 7、为保证基本运算技能，教学中要适当、分阶段地提供一些必要训练，但要避免过多、繁琐的运算。 8 完全平方公式 一、教材地位： 本节教材介绍了完全平方公式的推导及运用。从知识结构上分析，本节内容是在学习了多项式的乘法 .平方差公式的基础上学习的。它是最基本的乘法公式之一，是代数式运算的重要基础。 二、教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，发展符号感和推理能力。会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行运算。了解公式的几何背景。 2、通过学生的观察、练习、思考、表达来培养他们的观察能力、操作能力、想象能力、探索能力等。并进一步增强他们发现 .、分析、解决、深化问题的能力。 3、通过学生解决问题、提出问题的实施，训练学生的开放性思维，鼓励其创造性。 4、向学生渗透灵活变化的意识，发现代数式中的动态美、统一美、和谐美、方法美。 12 / 15 5、教会学生 “ 问题解决 ” 的思维方式和习惯。 6、培养创新精神，打破传统的观念，培养不怕失败、不断开拓进取的精神。 三、教学重点： 1、理解和运用完全平 方公式进行计算。 四、教学难点： 1、完全平方公式进行计算时，如何从广义上理解公式中的字母。 2、在运算时明确是哪两数的和或差的平方。 六、教学建议： 1、与上节课相同，本节课应构建一种以学习为中心的教学模式，实现从重教向重学的转变。 2、创设问题的情景，激发学生主动学习。 3、引导学生自己探索，鼓励算法多样化，要给学生陈述见解（疑问）的机会。 4、提供合作学习，通过对开放性问题的讨论，让学生参与到教学之中，从中获得必要的心理体 验。 5、给学生独立思考的机会，整节课应采用 “ 问题 ” 形式，使学生在解决过程中渗透，在主动探索中形成数学思想，积极引导学生形成数学结构。 3、在问题解决后，有意识地引导学生反省自己的思维过程。 4、运算训练要讲求实效，不可过多、过繁。 13 / 15 9 整式的除法 一、教材地位： 本章节整式的除法是整式运算的重要内容，它是在学习了整式的加、减、乘、除及平方差、完全平方公式之后而学的，故而可看作是对所学知识的一种归纳。 二、教学目标： 1、学会整式的除法，能独立进行简单的整式除法运算。 2、培养学生独立思考的能力，集体协作的能力，组织归纳的能力及积极探索问题的能力。 3、通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性。 4、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算。 三、教学重点： 1、理解单项式除法是单项式乘法的逆运算，进而掌握单项式除法的运算法则，并掌握单项式除法的步骤。 2、理解多项式除以单项式的运算法则，并能用法则进行 计算。 3、理解有理数的运算律在整式的加、减、乘、除运算中仍然适用，能比较熟练地进行整式计算。 14 / 15 四、教学难点： 灵活运用整式的除法法则进行有理数运算。 五、教学建议： 1、鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决例 1。 2、重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则。 3、注意观察学生运算过程可能出现的错误，并注意运算顺序。 4、鼓