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直线和抛物线的位置关系 复习引入1直线和抛物线的位置关系有哪几种 直线和抛物线有两个公共点 或一个公共点 直线和抛物线的对称轴平行或重合 相切 相离 相交 直线和抛物线有且只有一个公共点 且直线和抛物线的对称轴不平行也不重合 直线和抛物线没有公共点 复习引入 1直线和抛物线的位置关系有哪几种 2直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系 方程组两组解 相交 方程组没有解 相离 方程组一组解 相切 若消元得到一次方程 则方程组只有一组解 直线和抛物线的对称轴平行或重合 为相交关系 若消元得到二次方程 则 例题选讲 例1当b为何值时 直线y 2x b与抛物线 1 相交 2 相切 3 相离 解 由方程组 消去y 并整理得 1 当即b 2时 直线与抛物线相交 2 当即b 2时 直线与抛物线相切 2 当即 3 当即b 2时 直线与抛物线相离 例2求过定点P 0 1 且与抛物线只有一个公共点的直线的方程 由 得 故直线x 0与抛物线只有一个交点 解 1 若直线斜率不存在 则过点P的直线方程是x 0 由方程组 消去y得 2 若直线斜率存在 设为k 则过P点的直线方程是 y kx 1 当k 0时 x y 1 故直线y 1与抛物线只有一个交点 当k 0时 若直线与抛物线只有一个公共点 则 此时直线方程为 综上所述 所求直线方程是x 0或y 1或 点评 本题用了分类讨论的方法 若先用数形结合 找出符合条件的直线的条数 就不会造成漏解 例3斜率为1的直线经过抛物线的焦点 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 解 如图 由抛物线的标准方程可知 抛物线焦点的坐标是F 1 0 所以直线AB的方程为y x 1 代入抛物线方程 得 整理得 解得 代入直线方程 得 即A B的坐标分别为 AB 8 思考 试用其他方法求线段AB的长 另解一 利用方程及弦长公式 如图 由抛物线的定义可知 AF 等于点A到准线x 1的距离 AA 而 AA 于是得 AB AF BF 又由方程可得 AB 6 2 8 同理 BF BB 另解二 例4在抛物线上求一点 使它到直线2x y 4 0的距离最小 解 设P x y 为抛物线上任意一点 则P到直线2x y 4 0的距离 此时y 1 所求点的坐标为P 1 1 当且仅当x 1时 另解 观察图象可知 平移直线至与抛物线相切 则切点即为所求 联立得 设切线方程为2x y C 0 由得C 1 又由 得x 1 y 1 故所求点的坐标是 1 1 点评 此处用到了数形结合的方法 课堂小结 1方程组的解恰好反映
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