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设质点在势能场U r 中运动 在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程 解 拉格朗日方程为 L为拉格朗日函数 笛卡尔坐标中的坐标变量为 那么 所以 带入拉格朗日方程得到 这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程即牛顿第二定律 已知柱坐标与笛卡尔坐标的关系是 如图 设质点在轴对称势能场中运动 写出其拉格朗日方程 解 由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知 等式两边同时除以dt 那么 系统的动能为 那么 系统的拉格朗日函数为 所以 带入拉格朗日方程 则有 长度为l的细绳系一小球 悬挂点按照方式运动 如图所示 小球被限制在平面内运动 时悬线铅直向下 a 求悬线和竖直线偏离所对应的虚位移 b 已知在这一时刻的角速度为 求经过时间后的位移 问 当时 与有何差别 a 在任意时刻 约束所容许的位移为虚位移 途中的小球 受到细绳的和自身重力的约束 在这个时刻 解 小球只能围绕O点作圆周运动 当偏离角为时 对应的虚位移为 b 小球经过时间后的位移 可以看作由两部分组成 1 小球绕O点作圆周运动所产生的位移 2 小球随O点一起作简谐运动所产生的位移 所以 小球的位移为 和的区别如图所示 虚位移和实际位移的主要区别在于虚位移只和约束有关 实际位移除了和约束有关以外 还和物体当前的运动状态有关 长度同为l的轻棒四根 相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上 BD之间用一根轻质棒连接 在连接点 B和D处 各棒之间可以无摩擦的转动 C点上系有一重物W C点和重物受到约束 只能上下运动 设A点两棒之间的夹角为 试用虚功原理求平衡时联结棒BD 中的张力 讨论的方向与的大小的关系 问 在什么情况下有 说明其意义 4 虚功原理 解 为了求棒中的张力 可将棒的约束予以 释放 以张力作为主动力代替棒 此时系统的自由度为1 系统受3个外力作用 作用于B的张力 作用于D的张力 作用于C点的W 坐标系 两根钉连线的中点为坐标原点 连线所在直线为x轴 向右为正 垂直连线为y轴 向下为正 并取为广义坐标 B D点的x坐标 C点的y坐标 最后可得 即有 杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力 9 质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动 斜面上无摩擦地放一滑块m 如图所示 写出拉格朗日方程 并求斜面的加速度和滑块相对于斜面的加速度 解 系统的拉格朗日函数为 即有 解之得 带入拉氏方程 滑块的能量 斜面的能量 系统的总能量 K系 桌面坐标系 K 系 沿X方向以速度V相对于桌面运动的坐标系 P34第5题 系统的能量在k系和系之间的变换方程 10 直接用拉格朗日方程 1 1 2 2 21 式 证明 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L 和L 1 1 3 3 13 式 得到的运动方程相同 证明 L和L 相差一个广义坐标和时间的全微分 那么 将拉格朗日方程代入上式 那么 由L 和L得到的运动方程相同 12 已知一维运动自由质点的拉氏量是 a 证明 当按真实运动方式运动时 作用量是 b 设 求 并任意假定一种非真实的运动方式 计算相应的作用量 验证 解 按真实情况运动时 自由质点作匀速直线运动 速度为常数 将带入得到 将带入得到 b 假设自由质点不做匀速直线运动 则速度为时间的函数 且满足 那么 平方的平均值大于 平均值的平方 分析力学作业讲解第二章守恒律 1 2 3 4 5 7 8 1 设质点系统的拉格朗日L T U其中是坐标和速度的函数 a 证明 整个系统绕z轴转动角度对应的广义动量不再是 如 1 2 3 16 式 而是 b 已知在电磁场中电荷为e的粒子 其中和A是电磁场的标势和矢势 求广义动量 解 由广义动量的定义 可得 上式的第一项已在课本中求出 那么将值代入即得 b 将带电粒子的势能表达式代入上式可得 2 质量为半径为的半球形碗 放在光滑的水平桌面上 如图1 有一个质量为的滑块沿碗的内壁无摩擦地滑下 用表示滑块位置与球心连线和竖直方向的夹角 整个系统起始时静止且 求滑块滑到时的值 解 系统的拉格朗日为 那么 则对应的拉格朗日方程为 y x 建立如图所示坐标系 选取ox轴所在平面为零势能面 将上面第二式写成 再带入第一式得 注意到等式左边是一个全微分 积分即得 利用 即得 解法1 化简可得 即 当时 显然X为循环坐标 系统在水平方向上的动量守恒 再由能量守恒得到 解法2 3 质量为的质点在三维空间中运动 势能是 证明这一质点由区域经过分界面进入区域的运动轨迹等同于光线从空气入射到折射率为的介质所受到的折射 其中 是质点在区域中的动能 又系统具有水平面内的平移对称性 所以动量在水平方向上守恒 证明 系统的能量守恒 则有 那么 则有 所以扇形的质心在其角平分线距圆心2asin 3 处 x y o r 7 写出角动量的笛卡尔分量和它的平方用球坐标表示的表达式 解 由 代入得 8 在下列场中运动的系统 动量P的什么分量守恒 角动量的什么分量守恒 a 无穷大均匀平面所产生的场 b 无穷长均匀柱所产生的场 c 两个点源所产生的场 d 均匀圆环所产生的场 e 均匀圆球所产生的场 解 根据空间的平移对称性导致动量守恒 空间的转动对称性导致角动量守恒可知 a 无穷大均匀平面所产生的场 无限大平面为xy平面 b 无穷长均匀柱所产生的场 均匀柱的轴为z轴 c 两个点源所产生的场 两点连线为z轴 d 均匀圆环所产生的场 圆环轴为z轴 e 均匀圆球所产生的场 L 空间旋转球对称 分析力学作业讲解 三 第三章有心力场中的运动 1 质点受到的有心力为 证明 由比耐公式 其中 A为积分常数 将F带入可得 其中 试证明其轨道方程为 那么令 带入可得 其通解为 我们总是可以选择适当的坐标系 使得 带入可得 2 一质点在有心引力作用下沿圆形轨道运动 力心在此圆的圆周上 求证这一有心力与距离的五次方成反比 证明 设置点运动轨迹圆周的半径为a 则其轨迹方程为 则 带入比耐公式 整理之后可得 所以有心力与距离的五次方成反比 系统的拉格朗日为 所以 3 在一个顶角为的圆锥形光滑杯中放置一个质量为m的质点 圆锥的轴沿竖直方向 杯口向上 求证当时 质点在两个水平圆环之间的杯壁上运动 并写出决定这两个圆环半径的方程 解 系统的约束方程为 1 2 3 4 1 由 4 式可得 带入 3 式可得 利用 可得 解之 系统的总能量 所以 C 2E m 带入可得 当质点到达最低点或者最高点时 那么 这个方程有三个解 两正一负 显然负数解应舍弃 设余下的两根为 那么 如图 显然只有当时 质点的速度才为实数 所以质点只能在之间运动 4 由椭圆的焦点F引一条线段 以均匀的角速度绕F点转动 求证此线段与椭圆的交点M的速度为 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴 解 由椭圆的极坐标方程 而 所以 所以 5 a 有心力势能为 分别对于 和 画出有效势能的曲线 并分别讨论这三种情况下的各种可能的运动方式 b 证明只有当时 粒子才能落到力心上 说明其物理原因 并对计算落到力心上的截面 解 a 等效势能为 根据和的关系 三种情况下的的曲线如下 黑 红 绿 在有心力场中运动的粒子的能量为 我们在讨论粒子在不同的势能中运动 只考虑束缚运动和无限运动 判断粒子能否作无限运动 只需看当时 粒子的速度 动能 能否一直保持为正的非零值 2 当时 粒子的有效势能 当时 上式的第二项是主要部分 则 粒子不能落到力心 只有当 势能足够快速地趋向 质点才可能 落到 场的中心 由不等式r可能趋于零的条件是 及U r 应该趋向 或者像 下面计算粒子落到力心的截面 设粒子的瞄准距离为b n 2 满足条件的质点才能落