第二十七章 相似

1 / 33 第二十七章 相似 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 第二十七章相似 本章小结 小结 1 本章概述 本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换 小结 2 本章学习重难点 【本章重 点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件 【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题 【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例2 / 33 以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或 缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标 小结 3 中考透视 图形的相似在中考中主要考查： (1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段 (2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方 (3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题 (4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小 相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等由于相似图 形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等 知识网络结构图 专题总结及应用 3 / 33 一、知识性专题 专题 1 比例线段 【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解 例 1 如图 27 96 所示， A， B， D， E 四点在 o 上， AE， BD的延长线相交于点 c， AE 8， oc 12， EDc BAo (1)求证； (2)计算 cDcB 的值，并指出 cB的取值范围 分析利用 cDEcAB ，可证明 证明： (1)EDc BAo ， c c ， cDEcAB ， . 解： (2)AE 8， oc 12， Ac 12+4 16， cE=12 4 8 又 ， cDcE 168 128 连接 oB，在 oBc 中， oB AE 4， oc=12， 8 Bc 16 【解题策略】将证转化为证明 cDEcAB . 专题 2 乘积式或比例式的证明 【专题解读】证明形如，或 =1 的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决如要证，可设法证，然后将两式相乘即可，这里寻找线段 x 便是证题的关键。 4 / 33 例 2如图 27 97所示，在等腰三角形 ABc中，过 A作 ADBc ，过 c 作 cEAB ，又作 DFcE ， FGAD ，求证 分析欲证，可将其分成三个比例式，再将三式相乘即可不难得知 x 就是 cD，而线段 y 在原图中没有，由相似关系可延长 FG交 AB于 k，则 y 就是 Gk，只要证明就可以了 证明：延长 FG 交 AB于 k，连接 Dk， DF Ec ， BEEc ， DFBE ， AB Ac， ADBc ， BD Dc， EF cF FGBc ， 1 2 ， RtFDcRtEkF ， kF Dc， 3 4 ， 四边形 kFcD是平行四边形， 2 5 ， EkD 3+5 4+2 90 ， DkAB ， DFAB ， BAD FDG ， RtADBRtDGF ， GkBD ， AkGABD ， 在 ABD 中， ADB 90 ， DkAB ， ADBAkD 又 A kDkGD,ADBkGD ， 由 ，得 例 3 如图 27 98所示，在 ABc 中，已知 A ： B ： c=1 ：5 / 33 2： 4，求证 . 分析原式等价于 1，也就是，在 cA上取一点 D，使 cD Bc，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作 AcB 的平分线 cE，交 AB 于点 E，连接 DE，显然有BcEDcE ，从而易证 AD DE cE，于是只需证即可 证明： A ： B ： c 1： 2： 4， 设 A x，则 B 2x， c 4x 作 cE平分 BcA ，交 AB于 E， 在 Ac边 上取一点 D，使 cD cB，连接 DE， DcEBcE ， cDE B 2x， DEc BEc=3x ， 又 cDE A+DEA ， DEA x， AD DE， 又 DE Ec， AD cE 在 ABc 和 AcE 中， cAB cAE ， AcE B 2x， ABcAcE ， ， 即， ,=1 即 . 二、规律方法专题 专题 3：相似三角形的性质 【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形6 / 33 的面积及线段的 比值等，解题的关键是识别 (或构造 )相似三角形的基本图形 例 4 如图 27 99所不，在 ABc 中，看 DEBc ， DE 4cm，则 Bc的长为 () A 8cmB 12cm c 11cmD 10cm 分析由 DEBc ，可得 ADEABc ，因为，所以 ,所以因为 DE=4cm，所以 Bc=12cm 故选 B. 例 5 如图 27 100所示，在 ABc 中， AB Bc 12cm， ABc 80 ， BD是 ABc 的平分线， DEBc. (1)求 EDB 的度数； (2)求 DE的长 分析 (1)由 DEBc ，得 E DB DBc ABc ，可求 EDB (2)由 DEBc ，得 ADEAcB ，则，再证出 BE DE，可求 DE 解： (1)DEBc ， EDB DBc. BD 平分 ABc ， DBc ABc 80 40 ， EDB 40 (2)BD 平分 ABc ， ABD DBc ， DEBc ， EDB DBc ， EDB EBD ， BE DE DEBc ， ADEAcB ， . 7 / 33 ， DE=6cm 【解题策略】将比例式中的 AE转化为 AB DE，逐步由未知转化为已知，建立关于 DE的关系式来求解 例 6 如图 27 101 所示，点 D， E 在 Bc上，且 FDAB ， FEAc ，求证 ABcFDE 分析由已知可证 FDE B ， FED c ，从而可证ABcFDE 证明： FDAB ， FEAc ， FDE B ， FED c ， ABcFDE 例 7（ 08无锡）如图 27 102 所示，已知点正是矩形 ABcD的边 cD上一点， BFAE 于点 F，求证 ABFEAD 分析由矩形的性质可知 BAD D 90 ，再由 BFAE 可证 AFB D 和 DAE FBA ，从而证明 ABFEAD 证明：在矩形 ABcD 中， BAD D=90 ， BFAE ， AFB D 90 ， ABF+BAE 90 又 DAE+BAE BAD 90 ， ABF EAD ， ABFEAD ， 三、思想方法专题 8 / 33 专题 4 分类讨论思想 【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题 例 8 在 ABc 中， AB Bc Ac， D 是 Ac的中点，过点 D 作直线 l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线 l 有条 分析如图 27 103 所示，过点 D 作 AB 的平行线，或过点 D作 DFBc ，或作 cDH B ，或作 ADG B ，故填 4 专题 5 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题 例 9 如图 27 104 所示，小明想用皮尺测量池塘 A， B 间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘 A， B 间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达 A， B 两点的点 o， 连接 oA， oB，分别在 oA，oB上取中点 c， D，连接 cD，并测得 cD a，由此他知道 A，B 间的距离是 () A aB 2ac aD 3a 分析 D ， c 分别为 oB， oA的中点， cD 是 ABo 的中位线，cD AB， AB 2cD 2a故选 D 【解题策略】此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决 9 / 33 例 10如图 27 105 所示，九年级 (1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度 cD 3m，标杆与旗杆的水平距离 BD 15m，人的眼睛与地面的高度 EF 1 6m，人与标杆 cD的水平距离 DF 2m，求旗杆 AB的高度 分析利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长 解：因为 cDFB ， ABFB ，所以 cDAB ， 所以 cGEAHE ，所以， 即， 所以，解得 AH 11 9， 所以 AB AH+HB AH+EF + (m) 故旗杆 AB的高度为 13 5m 专题 6 转化思想 【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题 例 11 如图 27 106 所示，已知 E 为 ABcD 的边 cD 延长线上的一点，连接 BE 交 Ac 于 o，交 AD 于 F求证 Bo2oFoE 分析要证 Bo2 oFoE，只需证，而 oB， oE， oF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证 AoFcoB 和 AoBcoE ，即有，从而得证 证明：在 ABcD中， ABcE ， ADBc ， 10 / 33 AoFcoB ， AoBcoE ， ， ， oB2 oFoE 例 12在 ABc 和 DEF 中， AB 2DE， Ac 2DF， A D ，如果 ABc 的周长是 16，面积是 12，那么 DEF 的周长、面积依次为 () A 8， 3B 8， 6c 4， 3D 4， 6 分析由 AB 2DE， Ac 2DF， A D ，得 ABcDEF ，且相似比为 2，则，所以 SDEF 3， DEF 的周长为 8故选 A 例 13 已知 ABc 与 DEF 相似且面积比为 4： 25，则 ABc与 DEF 的相似比为 分析利用相似三角形的性质求解故填 2： 5 例 14已知 ABcABc ，且 SABc ： SABc 1： 2，则 AB： AB 分析根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且 SABc ：SABc 1： 2，得 AB： AB 1： .故填 1： . XX中考真题精选 1.（ XX 广东， 3， 3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ） 11 / 33 考点：相似图形 分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案 解答：解： 图中的箭头要缩小到原来的， 箭头的长、宽都要缩小到原来的； 选项 B 箭头大小不变；选项 c 箭头扩大；选项 D 的长缩小、而宽没变故选 A 点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换 2.（ XX，台湾省， 22,5 分）某校每位学生上、下学期 各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社溜冰社魔術社 上學期 345 下學期 432 A、舞蹈社不变，溜冰社减少 B、舞蹈社不变，溜冰社不变 c、舞蹈社增加，溜冰社减少 D、舞蹈社增加，溜冰社不变 考点：比例的性质。 专题：计算题。 分析：若甲：乙：丙 =a： b： c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的 12 / 33 解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下： 舞蹈社 溜冰社魔術社 上學期 = = = 下學期 = = = 舞蹈社增加，溜冰社不变 故选 D 点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积 3.（ XX，台湾省， 33,5分）如图，梯形 ABcD中， ADBc ，E、 F 两点分别在 AB、 Dc上若 AE=4， EB=6， DF=2， Fc=3，且梯形 AEFD与梯形 EBcF相似，则 AD与 Bc的长度比为何？（ ） A、 1： 2B、 2： 3 c、 2： 5D、 4： 9 考点：相似多边形的性质。 分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等， 即可求解 解答：解： 梯形 AEFD 梯形 EBcF，且 DF： Fc=2： 3 13 / 33 AD ： EF=EF： Bc=2： 3AD： EF： Bc=4： 6： 9 AD ： Bc=4： 9 故选 D 点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键 4.（ XX 贵州毕节， 7， 3 分）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为 36cm，则较大多边形周长为 () A 48cmB 54cmc 56cmD 64cm 考点：相似多边形的性质。 分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等 于相似比的平方计算即可 解答：解：两个相似多边形的面积比是 9： 16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是 4： 3相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为 x，则有 =，解得： x=48大多边形的周长为 48cm故选 A 点评：本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方 （ XX 福建莆田， 25， 14 分）已知菱形 ABcD 的边长为 1，ADc=60 ，等边 AEF 两边分别交 Dc、 cB于点 E、 F。 （ 1）（ 4 分）特殊发现 ：如图 1，若点 E、 F 分别是 Dc、 cB的中点，求证菱形 ABcD对角母 Ac、 BD的交点 o即为等边 AEF的外心； 14 / 33 （ 2）若点 E、 F 始终分别在边 Dc、 cB上移动，记等边 AEF的外心为点 P。 （ 4 分）猜想验证：如图 2，猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； （ 5 分）拓展运用：如图 3，猜想 AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 m，交边 Dc 的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性 质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心 分析：（ 1）首先分别连接 oE、 0F，由四边形 ABcD是菱形，即可得 AcBD ， BD 平分 ADc Ao=Dc=Bc，又由 E、 F 分别为 Dc、 cB中点，即可证得 0E=oF=oA，则可得点 o 即为 AEF的外心； （ 2） 首先分别连接 PE、 PA，过点 P 分别作 PIcD 于 I，PjAD 于 j，即可求得 IPj 的度数，又由点 P 是等边 AEF的外心，易证得 PIEPjA ，可得 PI=Pj，即点 P 在 ADc的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上 当 AEDc 时 AEF 面积最小，此 时点 E、 F 分别为 Dc、cB中点连接 BD、 Ac交于点 P，由（ 1）可得点 P 即为 AEF的外心由 GBPmDP ，即可为定值 2 解答：（ 1）证明：如图 1，分别连接 oE、 0F， 15 / 33 四边形 ABcD是菱形， AcBD ， BD平分 ADc Ao=Dc=Bc， coD=coB=AoD=90 ADo=ADc=60=30 ， 又 E 、 F 分别为 Dc、 cB中点， oE=cD ， oF=Bc， Ao=AD， 0E=oF=oA ， 点 o 即为 AEF 的外心 （ 2） 猜想：外心 P 一定落 在直线 DB上 证明：如图 2，分别连接 PE、 PA，过点 P 分别作 PIcD 于I， PjAD 于 j， PIE=PjD=90 ， ADc=60 ， IPj=360 -PIE -PjD -jDI=120 ， 点 P 是等边 AEF 的外心， EPA=120 ， PE=PA， IPj=EPA ， IPE=jPA ， PIEPjA ， PI=Pj ， 点 P 在 ADc 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上 16 / 33 为定值 2 当 AEDc 时 AEF 面积最小， 此时点 E、 F 分 别为 Dc、 cB中点 连接 BD、 Ac交于点 P，由（ 1） 可得点 P 即为 AEF 的外心 如图 3设 mN交 Bc于点 G， 设 Dm=x， DN=y（ x0 yo ），则 cN=y-1， BcDA ， GBPmDP BG=Dm=x cG=1 -x BcDA ， GBPNDm ， ， ， x+y=2xy ， +=2 ， 即 =2 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思 想与数形结合思想的应 17 / 33 （ XX 甘肃兰州， 27， 12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABcD（ ADAB），将纸片折叠一次，使点 A 与点 c 重合，再展开，折痕 EF 交 AD边于点 E，交 Bc边于点 F，分别连结AF和 cE。 （ 1）求证：四边形 AFcE是菱形； （ 2）若 AE=10cm， ABF 的面积为 24cm2，求 ABF 的周长； （ 3）在线段 Ac上是否存在一点 P，使得 2AE2=AcAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由 . 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的 判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） . 分析：（ 1）通过证明 AoEcoF ，可得四边形 AFcE 是平行四边形；由折叠的性质，可得 AE=Ec，即可证明；（ 2）由勾股定理得 AB2+FB2=100， ABF 的面积为 24cm2 可得，ABBF=48 ；变换成完全平方式，即可解答；（ 3）过点 E 作AD 的垂线，交 Ac 于点 P，通过证明 AoEAEP ，即可证明； 解答：（ 1）证明：由题意可知 oA=oc， EFAo ， ADBc ， AEo=cFo ， EAo=Fco ， AoEcoF ，A E=cF，又 AEcF ， 四边形 AEcF是平行四边形， 18 / 33 AcEF ， 四边形 AEcF是菱形； （ 2） 四边形 AEcF 是菱形， AF=AE=10cm ， 设 AB=a， BF=b， ABF 的面积为 24cm2， a2+b2=100 ， ab=48， （ a+b） 2=196， a+b=14 或 a+b= 14（不合题意，舍去）， ABF 的周长为 14+10=24cm； （ 3）存在，过点 E 作 AD 的垂线，交 Ac 于点 P，点 P 就是符合条件的点； 证明： AEP=AoE=90 ， EAo=EAP ， AoEAEP ， = ， AE2=AoAP ， 四边形 AEcF 是菱形， Ao=Ac ， AE2=AcAP ，2AE2=AcAP 点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力 （ XX 湖南益阳 ,21,12 分）如图是小红设计的钻石形商标，ABc 是边长为 2 的等边三角形，四边形 AcDE是等腰梯形，AcED ， EAc=60 ， AE=1 （ 1）证明： ABE cBD； （ 2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，19 / 33 并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （ 3）小红发现 Am=mN=Nc，请证明此结论； （ 4）求线段 BD的长 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质 专题：证明题 分 析 ：（ 1 ）由 ABc 是 等 边 三 角 形 ， 得 AB=Bc ，BAc=BcA=60 ，由四边形 AcDE 是等腰梯形，得 AE=cD，AcD=cAE=60 ，利用 “SAS” 判定 ABEcBD ； （ 2）存在可利用 ABcD 或 AEBc 得出相似三角形； （ 3）由（ 2）的结论得 =2，即 cN=Ac，同理，得 Am=Ac，可证 Am=mN=Nc； （ 4）作 DFBc 交 Bc 的延长线于 F，在 RtcDF 中，由cDF=30 ， cD=AE=1，可求 cF， DF，在 RtBDF 中，由勾股定理求 BD 解答：（ 1）证明： ABc 是等边三角形， AB=Bc ， BAc=BcA=60 （ 1 分） 四边形 AcDE是等腰梯形， EAc=60 ， AE=cD ， AcD=cAE=60 ， BAc +cAE=120=BcA+AcD ， 即 BAE=BcD （ 2 分） 20 / 33 在 ABE 和 BcD 中， AB=Bc， BAE=BcD ， AE=cD， ABEcBD （ 3 分） （ 2）存在答案不唯一如 ABNcDN 证明： BAN=60=DcN ， ANB=DNc ， ANBcND （ 5 分） 其相似比为： =2；（ 6 分） （ 3）由（ 2）得 =2， cN=AN=Ac ，（ 8 分） 同理 Am=Ac， Am=mN=Nc （ 9 分） （ 4）作 DF Bc交 Bc的延长线于 F， BcD=120 ， DcF=60 （ 1o分） 在 RtcDF 中， cDF=30 ， cF=cD= ， DF= ； （ 11 分） 在 RtBDF 中， BF=Bc+cF=2+= ， DF=， BD= （ 12分） 点评：本题考查了相似三角形全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题 21 / 33 （ XX江西， 25， 10）某课题学习小组在一次活 动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨： 定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形 结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果： 甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形 乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大 丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小 任务：（ 1）填充甲同学结论中的数据； （ 2）乙同学的结果正确吗 ？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明； （ 3）请你结合（ 2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析：（ 1）分别画一下即可得出答案； （ 2）先判断，再举一个例子；例如：在 RtABc 中， B=90 ，AB=Bc=1，则 （ 3）先判断，再举一个例子：设 ABc 的三条边分别为 a，22 / 33 b， c，不妨设 a b c，三条边上的对应高分别为 ha， hb，hc，内接正方形的边长分别为 xa， xb， xc 解答：解：（ 1） 1， 2， 3 （ 3 分） （ 2）乙同学的结果不正确（ 4 分） 例如：在 RtABc 中， B=90 ， AB=Bc=1，则 如图 ，四边形 DEFB 是只有一个顶点在斜边上的内接正方形 设它的边长为 a，则依题意可得：， ， 如图 ，四边形 DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形 设它的边长为 b，则依题意可得：， a b（ 7 分） （ 3）丙同学的结论正确 设 ABc 的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为 . 依题意可得：， . 同理 . = = = 又 ， ， ，即 . 在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正23 / 33 方形的面积反而较小 .(10分 ) 点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键 （ XX 年江西省， 25， 10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设 BAc= （ 0 90 ）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上 活动一： 如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， A1A2为第 1 根小棒 数学思考： （ 1）小棒能 无限摆下去吗？答：能（填 “ 能 “ 或 “ 不能 ” ） （ 2）设 AA1=A1A2=A2A3=1 = 度； 若记小棒 A2n-1A2n的长度为 an（ n为正整数，如 A1A2=a1，A3A4=a2， ），求出此时 a2， a3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示） 活动二： 如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第 1 根小棒，且 A1A2=AA1 数学思考： 24 / 33 （ 3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 1=2 ， 2=3 ，3=4 （用含 的式子表示）； （ 4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围 考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 专题：规律型 分析：（ 1）本题需先根据已知条件 BAc= （ 0 90 ）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去 （ 2）本题需先根据已知条件 AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3 ，得出 A2A3 和 AA3 的值，判断出 A1A2A3A4 、 A3A4A5A6 ，即可求出 A=AA2A1=AA4A3=AA6A ，从而此时 a2， a3的值和出 an （ 3）本题需先根 据 A1A2=AA1，得出 A1AA2 和 AA2A1 相等，即可得出 1 的值，同样道理得出 2 、 3 的值 （ 4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出 的取值范围，即可得出正确答案 解答：解：（ 1） 根据已知条件 BAc= （ 0 90 ）小棒两端能分别落在两射线上， 小棒能继续摆下去 （ 2） A1A2=A2A3 ， A1A2A2A3 ， A2A1A3=45 25 / 33 AA2A1+=45 AA2A1= = AA1=A1A2=A2A3=1 ， A1A2A2A3 A2A3= ， AA3=1+ 又 A2A3A3A4 A1A2A3A4 同理； A3A4A5A6 A=AA2A1=AA4A3=AA6A5 AA3A3A4 ， AA5=A5A6 a2=A3A4=AA3=1+ a3AA3+A3A5=a2+A3A5 A3A5= a3=A5A6=AA5=a2+a2= an= （ 3） A1A2=AA1 A1AA2=AA2A1= A2A1A3=1=+ 1=2 同理可得： 2=33=4 （ 4）由题意得： 26 / 33 15 18 。 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键 综合验收评估测试题 (时间： 120分钟满分： 120分 ) 一、选择题 1要做甲、乙两个形状相同 (相似 )的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为 50cm， 60cm， 80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有 () A 1 种 B 2 种 c 3 种 D 4 种 2如图 27 107 所示，在 ABc 中，已知 AED B ， DE 6， AB 10， AE 8，则 Bc的长为 () 7c D. 3如图 27 108所示，在 ABc 中， D， E 分别为 AB， Ac的中点，若 ABc 的面积为 12cm2，则 ADE 的面积为 () A 2cm2B 3cm2c 4cm2D 6cm2 4厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图 27 109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为27 / 33 () A 1： 4B 4： 1c 1： 3D 3： 4 5如图 27 110 所示， D 是 ABc 的边 AB 上一点，过 D 作DEBc 交 Ac 于 E，若 AD： DB 2： 3，则 SADE ： S 四边形BcED等于 () A 2： 3B 4： 9c 4； 5D 4： 21 6如图 27 111所示， DE是 ABc 的中位线， F 是 DE的中点， BF的延长线交 Ac于点 H，则 AH： HE等于 () A 1： 1B 2： 1c 1： D 3： 2 7 ABc 的三边长分别为， 2， ABc 的两边长分别为 1 和，如果 ABcABc ，那么 ABc 的第三边长应为 () 8如图 27 112所示，在 ABc 中， DEBc ，且 SADE S四边形 BDEc，则 DE： Bc等于 () A 1:2B： 2c 1： 4D 2： 3 9如图 27 113所示，在 ABcD中， cE是 DcB 的平分线，F 是 AB的中点， AB 6， Bc 4，则 AE： EF： FB等于 () A 1： 2： 3B 2： 1： 3c 3： 2： 1D 3： 1： 2 10点 P 是 ABc 中 AB边上的一点，过点 P 作直线 (不与直线 AB 重合 )截 ABc ，使截得的三角形与原三角形相似，则28 / 33 满足这样条件的直线最多有 () A 2 条 B 3 条 c 4 条 D 5 条 二、填空题 11如图 27 114 所示，在 ABc 中， DEBc 交 AB 于 D，交 Ac于 E，若 AD， DB， AE，则 Ac 12一根 2 米长的竹竿直立在操场上，影长为米，在同一时刻，测得旗杆的影长为 17 6 米，则旗杆高米 13若 ABcABc ， Ac 5， Ac 8，则 SABc ：SABc = 14已知两个相似多边形的一组对应边长分别为 3cm和 4cm，如果它们的面积和为 50cm2，则较大多边形的面积为 cm2 15若一个多边形在图上的面积为 4cm2，比例尺为 1： 1000，则该多边形的实际面积为 m2 16已 知 ABcDEF ，相似比为 3， ABc 的周长为 54cm，若 DEF 的三边长之比为 2： 3： 4，则 DEF 的最短边长为cm 三、解答题 17如图 27 115 所示，在 ABc 中， AB 8， Ac 6，点 D在 Ac上，且 AD 2，在 AB上找一点 E，使得 ADE 与原三角形相似，这样的点 E 有几个 ?求出 AE的长 18如图 27 116 所示，已知在矩形 ABcD 中， AB 5， AD29 / 33 20，点 m 分 Bc为 Bm： mc 1： 2， DEAm 于点 E，求 DE的长 19如图 27 117 所示，在矩形 ABcD 中， AB 4， Bc 6， m是 Bc的中点， DEAm ，垂足为 E，求 DE的长 20如图 27 118 所示，在 ABc 中，已知 AB Ac 8， Bc 6， BDAc 于 D， AEBc 于 E，求 cD的长 21如图 27 119 所示，已知 cD是 RtABc 的斜边 AB上的高，若 AD 10， BD 5，求 cD的长 22如图 27 120所示，在 ABc 中， DEBc ，且 SADE ：S 四边形 BcED 1： 3，求 AD： DB 23在 RtABc 中， cD为斜边上的高，试确定 Ac 是哪两条线段的比例中项，用比例式或等积式写出你的结论， 并加以证明 24如图 27 121所示，在正方形 ABcD中， E 是 AB上一点，EFcE 交 AD于 F (1)求证 AEFBcE ； (2)求证 . 25如图 27 122所示，已知 ABc cDB 90 ， Ac a，Bc b 30 / 33 (1)当 BD与 a， b 之间满足怎样的关系时， ABccDB ； (2)过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若ABccDB ，试判断四边形 AEDc 是什么四边形 26如图 27 123 所示，在 ABc 中， AB 5， Bc 3， Ac4， PQAB ，点 P 在 Ac上，点 Q 在 Bc上 (1)当 PQc 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 cP 的长； (2)当 PQc 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 cP 的长； (3)在 AB上是否存在点 m，使 PQm 为等腰直角三角形 ?若存在，求出 PQ的长；若不存在，请说明理由 参考答案 1 c提示：由题意知两个三角形相似，三角形乙中 20cm的边可以和三角形甲中的三边任何一边是对应边，所以符合条件的三角形共有 3 种 2 c提示： A A ， AED B ， ADEAcB ， ， ， Bc .故选 c 3 B提示： D ， E 分别为 AB， Ac 的中点， DEBc ，AEDAcB ， ， SADE 3故选 B. 4 c提示：由题意得被分割成的 4 个小三角形的面积相等，所以黑色大理石与白色大理石的面积比为 1： 3 31 / 33 5 D提示： DEBc