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文档简介

借助向量解立体几何问题 天马行空官方博客 知识要点 一 求点到平面的距离 定义 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离 即过这个点到平面垂线段的长度 一般方法 利用定义先做出过这个点到平面的垂线段 再计算这个垂线段的长度 向量法 例1 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离 D A B C G F E 练习 S B C D A 2 直线到它平行平面的距离 定义 直线上任一点到与它平行的平面的距离 叫做这条直线到平面的距离 由定义可知 求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决 3 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段都相等 公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 求两平行平面的距离 只要求一个平面上一点到另一个平面的距离 也就是求点到平面的距离 二 求异面直线的距离 求异面直线距离的常用方法 1 找出 或作出 公垂线 计算公垂线段的长度 2 转化为求线面间的距离 3 转化为求平行平面间的距离 2 3 可进一步转化为点到平面的距离 4 用模型公式 5 向量方法 先求两异面直线的公共法向量 再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长 例2 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 求异面直线DA1与AC的距离 A B D C A1 B1 C1 D1 x y z 练习 如图 A S C D B 练习 正方体ABCD A1B1C1D1中 P为AB中点 Q为BC中点 AA1 a O为正方形ABCD的中心 求PQ与C1O间的距离 A B C D A1 B1 C1 D1 O P Q 三 用向量法求二面角的大小 x y z 例3 四棱锥P ABCD的底面是边长为a的正方形 PB 平面ABCD 求证 无论四棱锥的高怎样变化 面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90 x y z 1 求异面直线A1B和C1D所成的角的大小 2 求二面角D AC
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