结构力学李廉锟版-影响线及其应用.ppt

第十一章影响线及其应用 移动荷载 荷载大小 方向不变 荷载作用点随时间改变 结构所产生加速度的反应与静荷载反应相比可以忽略 这种特殊的作用荷载称移动荷载 车辆荷载 人群荷载 吊车荷载等 固定荷载 荷载的大小 方向和作用点在结构的空间位置上是固定不变的 一 移动荷载 结构在固定荷载作用下 其反力和各处的内力与位移也是不变的 11 1影响线的概念 在结构分析和设计中 必须解决以下问题 1 某量值的变化范围和变化规律 2 计算某量值的最大值 作为设计的依据 这就要先确定最不利荷载位置 即使结构某量值达到最大值的荷载位置 影响线是解决以上问题最方便的工具和手段 结构在移动荷载作用下 其反力和各处的内力与位移 统称为量值 将随着荷载位置的不同而变化 11 1影响线的概念 数字和量纲均为1 可以在实际移动荷载可到达的范围内移动 影响线定义 当一个方向不变的单位荷载在结构上移动时 表示结构某指定截面处的某一量值变化规律的函数图形 就称为该量值的影响线 二 影响线的概念 最典型的移动荷载 单位移动荷载 11 1影响线的概念 反力FR的影响线 影响线定义单位移动荷载作用下某物理量随荷载位置变化规律的图形 11 1影响线的概念 在研究移动荷载作用所产生的影响时 只要把单位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚 根据叠加原理 可求得各种实际移动荷载对该量值的影响 FB的影响线 绘制影响线的方法 静力法 静力平衡条件 机动法 虚位移原理 11 1影响线的概念 3 根据函数关系 绘制出该量值的影响线 若影响线为正值 则绘于y轴正向 反之 绘于y轴负向 一 简支梁的影响线 用静力法绘制图示简支梁AB的反力 弯矩和剪力影响线 建立坐标系 以A点为坐标原点 以x表示荷载F 1作用点的横坐标 用静力法作静定梁影响线的基本步骤 1 建立坐标系 选取坐标原点 以F 1的移动方向为x轴 x轴的指向可以任意假设 以与F 1指向相反的方向作为y轴正方向建立坐标系 2 建立静力平衡方程 将该量值表示为x的函数 11 2用静力法作静定梁的影响线 1 支座反力的影响线 1 反力FyA的影响线 取梁整体为隔离体 由 FyA的影响线方程为 FyA是x的一次函数 影响线为一直线 只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线 把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号 11 2用静力法作静定梁的影响线 2 反力FyB的影响线 由 得 此即FyB的影响线方程 由两点的纵坐标 即可绘出FyB的影响线 由于单位荷载F 1的量纲是1 所以反力影响线的纵坐标的量纲也是1 11 2用静力法作静定梁的影响线 2 弯矩的影响线 作弯矩的影响线时 首先明确要作哪一个截面的弯矩影响线 现拟作图示简支梁截面C的弯矩影响线 当荷载F 1在截面C的左方移动时 为了计算简便 取梁中CB段为隔离体 并规定以使梁下面纤维受拉的弯矩为正 由 MC 0 得 由此可知 MC的影响线在截面C以左部分为一直线 由两点的纵坐标 即可绘出AC段MC的影响线 11 2用静力法作静定梁的影响线 当荷载F 1在截面C的右方移动时 取梁中AC段为隔离体 再由 MC 0 得 由此可知 MC的影响线在截面C以右部分也为一直线 由两点的纵坐标 即可绘出BC段的MC影响线 11 2用静力法作静定梁的影响线 MC的全部影响线是由两段直线所组成 直线的相交点位于截面C处的纵坐标顶点 通常称截面以左的直线为左直线 截面以右的直线为右直线 分析弯矩影响线方程可以看出 MC的左直线为反力FyA的影响线将纵坐标乘以b而得到 右直线可由反力FyB的影响线将纵坐标乘以a而得到 因此 可以利用FyA和FyB的影响线来绘制弯矩MC的影响线 在左 右两支座处分别取纵坐标a b 将它们的顶点各与右 左两支座处的零点用直线相连 则这两根直线的交点与左 右零点相连部分就是MC的影响线 这种利用已知量值的影响线来作其他量值影响线的方法 能带来较大的方便 由于单位荷载F 1的量纲是1 故弯矩影响线的量纲为长度的量纲 11 2用静力法作静定梁的影响线 3 剪力影响线 作剪力影响线同样要先指定截面的位置 并分别考虑荷载F 1在指定截面的左方和右方移动 现拟作图示简支梁截面C的剪力影响线 当荷载F 1在截面C的左方移动时 取右边CB段为隔离体 并规定使隔离体有顺时针转动趋势的剪力为正 则 当荷载F 1在截面C的右方移动时 取左边AC段为隔离体 则 11 2用静力法作静定梁的影响线 由以上两式可知 在截面C以左 剪力的FSC影响线与FyB的影响线的各纵坐标数值相等 但符号相反 在截面C以右 剪力FSC的影响线与的FyA影响线完全相同 据此 可作出剪力FSC的影响线 显然 它的左直线与右直线相互平行 且在截面C处发生突变 突变值为1 11 2用静力法作静定梁的影响线 二 伸臂梁的影响线 伸臂梁影响线的作法与简支梁类似 1 反力FyA FyB的影响线 仍以A点为坐标原点 以x表示荷载F 1作用点的横坐标 向右为正 向左为负 利用整体平衡条件 可分别求得反力FyA FyB的影响线方程为 11 2用静力法作静定梁的影响线 当F 1位于A点以左时 x为负值 以上两方程与简支梁的反力影响线方程完全相同 在梁的全长范围内都是适用 因此只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长 即得伸臂梁的反力影响线 11 2用静力法作静定梁的影响线 当荷载F 1在截面C的左方移动时 弯矩MC和剪力FSC影响线方程为 2 两支座之间的截面弯矩和剪力影响线 当荷载F 1在截面C的右方移动时 弯矩MC和剪力FSC影响线方程为 由影响线方程绘出MC和FSC影响线 也可将简支梁相应截面的MC和FSC影响线的左 右直线两伸臂部分延长而得伸臂梁的MC和FSC影响线 11 2用静力法作静定梁的影响线 3 截面K的弯矩MK和剪力FSK影响线 在求伸臂部分上任一指定截面K的弯矩MK和剪力FSK影响线时 改取K点为坐标原点 并规定x以向左为正 当荷载F 1在截面K的左方移动时 取截面K以左部分为隔离体 则由平衡条件可得弯矩MK和剪力FSK影响线方程为 11 2用静力法作静定梁的影响线 当荷载F 1在截面K的右方移动时 任取截面K以左部分为隔离体 则 据此可绘出弯矩MK和剪力FSK影响线 只有当荷载作用在DA段时 才对MK FSK有影响 11 2用静力法作静定梁的影响线 4 支座处截面的剪力影响线 对于支座处截面的剪力影响线 需按支座左 右两侧截面分别考虑 绘制支座A左 右两侧的剪力影响线 支座A左侧位于伸臂部分 故剪力FSK左的影响线 可由上面剪力FSK的影响线使截面K趋于截面A左而得到 支座A右侧位于支座之间的跨中部分 故剪力FSA右的影响线 可由前面剪力FSC的影响线使截面C趋于截面A右而得到 11 2用静力法作静定梁的影响线 可见 用静力法绘制求某一量值的影响线 所用方法与在固定荷载作用下静力计算方法是完全相同的 都是取隔离体 建立平衡条件来求解 不同之处仅在于作影响线时 作用的荷载是一个移动的单位荷载 因而所求得的量值是荷载位置x的函数 即影响线方程 注意 当荷载作用在结构的不同部分上所求量值的影响线方程不相同时 应将它们分段写出 并在作图时注意各方程的适用范围 11 2用静力法作静定梁的影响线 三 影响线与内力图的比较 影响线表示当单位荷载沿结构移动时 某指定截面处的某一量值的变化情形 内力图表示在固定荷载作用下 某种量值在结构所有截面上的分布情形 由某一个内力图 不能看出当荷载在其他位置时这种内力将如何分布 由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的任何位置时 该量值的变化规律 但其不能表示其他截面处的同一量值的变化情形 11 2用静力法作静定梁的影响线 MC的影响线上 纵坐标yK代表荷载F 1作用在点K时 在截面C的弯矩MC的大小 弯矩图上 纵坐MK标代表固定荷载F作用于C点时 截面K所产生的弯矩 11 2用静力法作静定梁的影响线 荷载有时不是直接作用而是通过纵横梁系间接地作用于结构 主梁只在各横梁处 结点处 受到集中力作用 对主梁来说 这种荷载称为间接荷载或结点荷载 首先 作出直接荷载作用下主梁某量值 MC 的影响线 对于间接荷载来说 在各结点处的纵坐标都是正确的 其次 考虑荷载F 1在任意两相邻结点 D E 之间的纵梁上移动时的情况 11 3间接荷载作用下的影响线 在间接荷载作用下 主梁将在D E处分别受到结点荷载 d x d和x d的作用 设直接荷载作用下影响线在D E处的纵坐标分别为yD和yE 则根据影响线的定义和叠加原理可知 在上述两结点荷载作用下MC值应为 可见 MC在DE段内的影响线为一直线 由 在D处 x 0 MC yD 在E处 x d MC yE 可知 用直线连接纵坐标yD和yE的顶点就是MC在DE段这部分的影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 2 然后取各结点处的纵坐标 并将其顶点在每一纵梁范围内连以直线 即得到在间接荷载作用下该量值的影响线 例 求下图所示主次梁结构的主梁影响线 间接荷载作用下影响线的一般方法归纳如下 1 首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 FyB的影响线 Mk的影响线 FSk的影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 作图示梁的MD FSB影响线 MD影响线 B左FSB影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 11 3间接荷载作用下的影响线 B右FSB影响线 机动法作影响线是以虚功原理为基础 把作内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题 机动法有一个优点 不需经过计算就能很快绘出影响线的轮廓 因此对于某些问题 用机动法处理特别方便 用静力法做出的影响线也可用机动法来校核 以简支梁支座反力影响线为例 来说明机动法作影响线的原理和步骤 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 一 求梁的支座B反力FyB的影响线 给体系以虚位移 列出虚功方程如下 将与FyB相应的约束支杆B撤去 代以未知量FyB 不论 B为何值 比值 P B的变化规律恒为一定 令 B 1 则得 P是与F相应的位移 以与F正方向一致者为正 B是与FyB相应的位移 以与FyB正方向一致者为正 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 注意到 P是以与力F方向一致 向下 为正 当 P向下时 FyB为负 当 P向上时 FyB为正 这就恰好与在影响线中正值的纵坐标绘在基线的上方相一致 使 B 1的虚位移曲线 P就代表了的FyB影响线 只是符号相反 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 1 撤去与Z相应的约束代以未知力Z 机动法作量值Z的影响线的步骤如下 2 使体系沿Z的正方向发生位移 作出荷载作用点的竖向位移图 P图 由此可定出Z的影响线的轮廓 3 令 Z 1 可进一步定出影响线各竖距的数值 4 横坐标以上的图形 影响线系数取正号 横坐标以下的图形 影响线系数取正号 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 撤去与弯矩MC相应的约束 即在截面C处改为铰结 代以一对等值反向的力偶MC 下侧受拉为正 给体系以虚位移 求得影响系数的数值 令 Z 1 即得到MC影响线 二 内力的影响线 1 弯矩MC的影响线 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 2 剪力影响线 注意 由于截面C左右两侧不能发生相对角位移 故其虚位移图中两直线应为平行直线 亦即FSC影响线的左右两直线是互相平行的 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 例11 1试用机动法作图示静定多跨梁的MK FSK MC FSE和FyD的影响线 解 1 撤去与Z相应的约束代以未知力Z 使体系沿Z的正方向发生位移 由此可定出Z的影响线的轮廓 2 令 Z 1 可定出影响线各竖距的数值 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 可见 基本部分的内力 或支座反力 的影响线是布满全梁的 附属部分内力 或支座反力 的影响线只在附属部分不为零 基本部分上的线段恒等于零 用机动法作连续梁的影响线和用机动法作静定多跨梁的影响线的原理一样 与量值对应的单位虚位移图即为该量值的影响线 三 机动法作连续粱的影响线 机动法作影响线是一个普遍适用的方法 不论结构的形式如何 也不论静定或超静定结构都可应用 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 注意 对静定结构为刚体虚位移图 由直线段组成 对超静定结构为变形体虚位移图 一般为曲线图形 FyD的影响线 MC的影响线 MK的影响线 FSK的影响线 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 用机动法作连续梁某一量值Z影响线的具体步骤可归纳如下 1 去掉与所求量值Z相应的联系 代以所要求的量值Z的作用 2 使体系沿Z的正方向发生单位虚位移 得到竖向虚位移图 3 在虚位移图上 标明正负号和各控制点的纵坐标值 即得所求量值的影响线 定性分析时 一般不计算各控制点的纵坐标值 11 4用机动法作单跨静定梁的影响线 多跨静定梁具有基本部分和附属部分 当基本部分受力时 附属部分不受力当附属部分受力时 基本部分必受力 作影响线的步骤 1 先作量值所在杆段影响线 它与相应单跨静定梁影响线相同 2 相对于量值所在杆段为基本部分的杆段 竖标为0 3 相对于量值所在杆段为附属部分的杆段 其影响线为斜直线 11 5多跨静定梁的影响线 FyA影响线 例 作FyA M1 M2 FS2 MB FS3 FyC FS4 FSC左 FSC右影响线 1 FyA M1影响线 11 5多跨静定梁的影响线 M2影响线 1 1 1 FS2影响线 2 MB影响线 1 11 5多跨静定梁的影响线 FS3影响线 1 FCy影响线 FS4影响线 1 11 5多跨静定梁的影响线 1 FSC左影响线 FSC右影响线 1 在直角坐标系中 静定结构的影响线是否一定是由直线段构成 除了梁可用机动法作影响线 其它结构 如桁架 刚架 三角拱等 是否也可用机动法 11 5多跨静定梁的影响线 4 对于斜杆 为计算方便 可先绘出其水平或竖向分力的影响线 然后按比例关系求得其内力影响线 3 桁架某杆件内力的影响线表示荷载沿承重弦移动时 该杆件内力变化规律的曲线 其影响线方程 需通过计算单位移动荷载作用下该杆件的内力来获得 因此 静止荷载作用时桁架内力的计算方法 结点法和截面法 截面法又包括力矩法和投影法 在此仍可应用 2 作用在桁架上的荷载一般是通过纵梁和横梁而作用到桁架结点上的 故上一节所讨论的关于间接荷载作用下影响线的性质 对桁架都是适用的 1 对于单跨静定梁式桁架 其支座反力的计算与相应单跨梁相同 故二者的支座反力影响线也完全一样 平面桁架的受力特点 11 6桁架的影响线 图示简支桁架 设荷载F 1沿下弦AG移动 荷载的传递方式与梁相同 1 支座反力FyA和FyG的影响线与简支梁的相同 2 作上弦杆轴力的FNbc影响线 作截面 以C为力矩中心 如单位荷载在的右方 取截面 左边为隔离体 由 MC 0 得 11 6桁架的影响线 如单位荷载在截面 以左 取截面以右部分为隔离体 由 MC 0 利用支座反力FyA和FyG的影响线作FNbc的影响线 将FyA的影响线竖距乘以2d h 画于基线以下 取C以右一段 将FyG的影响线的竖距乘以4d h 画于基线以下 取C以左一段 得 11 6桁架的影响线 3 下弦杆轴力FNCD的影响线 作截面 以结点c为力矩中心 用力矩方程 MC 0 得 FNCD的影响线可由相应梁结点C的弯矩影响线得到 将M0C的竖距除以h 11 6桁架的影响线 用截面 分三段考虑 单位荷载在C点以左 右 时 考虑截面 以右 左 部分的平衡 得 5 竖杆轴力FNcC的影响线作截面 利用投影方程 Fy 0 单位荷载在B C之间 影响线为直线 4 斜杆bC轴力的竖向分力FybC的影响线 左直线 右直线 左直线 右直线 11 6桁架的影响线 6 竖杆轴力FNdD的影响线 假设单位荷载沿下弦移动 由上弦结点的平衡 FNdD 0 FNdD的影响线与基线重合 Dd永远是零杆 如果假设单位荷载沿桁架的上弦移动 则由结点d的平衡 可知 当F 1在结点d时 FNdD 1 当F 1在其它结点时 FNdD 0 由于结点之间是直线 因此的FNdD影响线是一个三角形 11 6桁架的影响线 注意 作平面桁架的影响线时 要注意区分桁架是下弦承载 简称下承 还是上弦承载 简称上承 11 6桁架的影响线 一 求位置已定的荷载作用下的量值 先绘制出截面C的剪力影响线 由叠加原理求出截面C的剪力FSC 求图示简支梁截面C的剪力 1 集中荷载作用 注意 yi应带正负符号 11 7利用影响线求量值 推广到一般情况 设有一组位置固定的集中荷载F1 F2 Fn作用于结构 结构的某一量值Z的影响线在各集中荷载作用点的纵坐标依次为y1 y2 yn 则该量值Z为 11 7利用影响线求量值 将分布荷载沿其长度分为许多无限小的微段dx 微段dx的荷载qxdx可作为一集中荷载 它引起的FSC的量值为 qxdx y 在mn区段内的分布荷载对量值FSC的影响为 2 分布荷载作用 利用FSC影响线求该分布荷载作用下FSC的数值 11 7利用影响线求量值 推广到一般情况 利用某量值Z的影响线求均布荷载q作用下的Z的影响量值的计算公式为 若qx q 即对应均布荷载情况 则上式变为 A为该均布荷载对应的影响线的面积的代数值 A表示影响线在荷载分布范围在mn区段内的面积 注意 计算面积A时 应考虑影响线的正 负号 图示情况A A2 A1 11 7利用影响线求量值 例11 2试利用影响线 求图示梁截面C的弯矩MC和剪力FSC 解先绘出双伸臂梁截面C的弯矩MC和剪力FSC的影响线 由上述公式求弯矩MC和剪力FSC 11 7利用影响线求量值 11 7利用影响线求量值 11 8铁路和公路的标准荷载制 在移动荷载和可动荷载作用下 结构上各种量值均将随着荷载位置的不同而变化 必须先确定最不利荷载位置 二 求最不利荷载的位置 最不利荷载位置 使某一量值发生最大 或最小 值的荷载位置 11 9最不利荷载位置 1 当将均布荷载布满对应于影响线所有正号面积的范围时 则产生最大正值Zmax 2 当将均布荷载布满对应于影响线所有负号面积的范围时 则产生最小值Zmin 1 可动均布荷载 可动均布荷载是可以任意断续布置的均布荷载 其最不利荷载位置 11 9最不利荷载位置 2 移动集中荷载作用 1 单个集中荷载 由Z F y可知 其最不利荷载位置是这个集中荷载作用在影响线的最大纵坐标处 求最大值Zmax 或作用在影响线的最小纵坐标处 求最大负值Zmix 11 9最不利荷载位置 2 从荷载的临界位置中确定最不利荷载位置 也就是从Z的若干个极大值中选出最大值 从若干个极小值中选出最小值 2 一组集中荷载 当荷载是一组间距不变的移动集中荷载 也包括均布荷 根据最不利荷载位置的定义可知 当荷载移动到该位置时 所求量值Z为最大 分两步进行 1 求出使Z达到极值的荷载位置 此位置称为荷载的临界位置 以折线形影响线为例 说明荷载临界位置的特点及其判定原则 11 9最不利荷载位置 若每一直线段内各荷载的合力FR1 FR2 FRn对应的影响线纵坐标分别为 由叠加原理可得 设Z的影响线各段直线的倾角为 1 2 n 取基线坐标轴x向右为正 纵坐标y向上为正 影响线的倾角 以逆时针方向为正 11 9最不利荷载位置 Z的增量为 当整个荷载组向右移动一微小距离 x时 相应的量值Z变为 11 9最不利荷载位置 使Z成为极大值的临界位置必须满足荷载自临界位置向右或向左时 Z值均应减少或等于零 即 注意 荷载左移时 x0 Z为极大时应有 使Z成为极小值的荷载临界位置的条件 若只考虑 FRitan i 0的情形 可得Z为极大 或极小 值条件 荷载稍向左 右移动时 FRitan i必须变号 当荷载稍向左移时 当荷载稍向左移时 当荷载稍向右移时 当荷载稍向右移时 11 9最不利荷载位置 tan i是常数 欲使荷载向左 右移动微小距离时 FRitan i变号 只有当某一个集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处才有可能 不一定每个集中荷载位于顶点时都能使 FRitan i变号 能使 FRitan i变号的集中荷载称为临界荷载 记为Fcr 此时的荷载位置称为临界荷载位置 11 9最不利荷载位置 2 当Fcr在该点稍左或稍右时 分别求 FRitan i的数值 如果 FRitan i变号 或者由零变为非零 则此荷载位置称为临界位置 而荷载Fcr称为临界荷载 如果 FRitan i不变号 则此荷载位置不是临界位置 确定荷载最不利位置的步骤如下 1 从荷载中选定一个集中力Fcr 使它位于影响线的一个顶点上 3 对每个临界位置可求出Z的一个极值 然后从各种极值中选出最大值或最小值 同时 也就确定了荷载的最不利位置 11 9最不利荷载位置 当影响线为三角形时 临界位置的判别可进一步简化 左直线的倾角为 1 且tan h a 右直线的倾角为 2 且tan h b 11 9最不利荷载位置 临界荷载Fcr处于三角形的顶点 Fcr以左的荷载合力用FRL表示 Fcr以右的荷载合力用FRR表示 根据荷载稍向左 右移动时 FRitan i必须变号 可写出三角影响线临界荷载条件 代入 得 不等式左 右两侧的表达式可视为a b两段梁上的 平均荷载 11 9最不利荷载位置 必须有一个力作用在影响线的顶点处 把这个力归到顶点的哪一边 哪一边的 平均荷载 就大一些 具有这样特性的力就称为临界力Fcr 在一组集中力系中 哪一个力是临界力则需要试算才能确定 三角形影响线荷载临界位置的特点是 11 9最不利荷载位置 当F1位于影响线顶点时 有 例11 3试求图示简支梁在移动荷载作用下截面K的最大弯矩 已知 F1 3kN F2 7kN F3 2kN F4 4 5kN 可见 F1不满足条件 故不是临界荷载 解 绘出截面K的弯矩MK的影响线 再判别临界荷载位置 11 9最不利荷载位置 当位F2于影响线顶点时 有 F2是临界荷载 同理可得 F3不是临界荷载 F4是临界荷载 11 9最不利荷载位置 分别计算与临界荷载F2 F4对应的MK值 则 截面K的最大弯矩为 11 9最不利荷载位置 11 10换算荷载 所有截面最大弯矩中的最大者称为简支梁的绝对最大弯矩 当梁上作用的移动荷载由集中荷载构成时 问题可以简化 三 简支梁的绝对最大弯矩 需要注意 在确定绝对最大弯矩时 绝对最大弯矩发生在哪一截面是未知的 x1 哪一个荷载位于该截面处也是未知的 x2 这里有两个未知数 11 11简支梁的绝对最大弯矩 简支梁在集中荷载组作用下 可以断定绝对最大弯矩必定是发生在某一集中荷载作用点处的截面上 这样两个未知数x1 x2就重合为一个未知数x了 11 11简支梁的绝对最大弯矩 Fk作用点的弯矩为 MkL表示Fk以左的梁上荷载对Fk作用点的力矩之和 它是一个与x无关的常数 Mk x 为极大的条件为 得 11 11简支梁的绝对最大弯矩 注意 当将集中荷载Fk和合力FR对称作用于梁中点的两侧时 如果有力移入或移出梁作用范围 则合力FR及它和集中荷载Fk之间的距离a要重新计算 表明 当Fk作用点的截面弯矩达到最大时 Fk与合力FR正好对称作用于梁中点的两侧 此时最大弯矩为 按上式依次计算其他各荷载作用点处截面的最大弯矩 再在这些最大弯矩中通过比较选出最大值 就得到绝对最大弯矩 11 11简支梁的绝对最大弯矩 经验表明 绝对最大弯矩总是发生在跨中截面附近 因此可用跨中截面弯矩影响线近似判断移动荷载中哪些荷载是临界荷载 实际计算时可按下述步骤进行 1 求出能使跨中截面发生最大值的全部临界荷载 2 对每一临界荷载确定梁上合力R和相应的a 然后用最大弯矩计算式计算可能的绝对最大弯矩 3 从这些可能的最大值中找出最大的 即为绝对最大弯矩 11 11简支梁的绝对最大弯矩 例11 4求图示简支梁在移动荷载作用下的绝对最大弯矩 几何尺寸如图 集中荷载的大小F1 F2 F3 F4 280kN 将F1 F2 F3 F4分别代入临界荷载判别式 可知它们都是截面C的临界荷载 但只有F2 F3在截面C才可能产生MCmax 当F2作用在截面C时 有 F3在截面C时产生的最大弯矩值与其相同 解 1 绘出跨中截面C的弯矩MC影响线 求使跨中截面发生最大值的临界荷载 11 11简支梁的绝对最大弯矩 由对称性 只讨论F2作为临界荷载的情况 使F2与梁上荷载的合力FR对称于梁的中点布置 则当F2在合力的左方时梁上有四个荷载 合力为FR 4 280 1120kN 2 求全梁的绝对最大弯矩 由此求得 F2作用点截面上的最大弯矩为 M2max MCmax 1646 4kN m 显然不是绝对最大弯矩 11 11简支梁的绝对最大弯矩 当F2在合力的右方时 梁上只有三个荷载 合力为 FR 3 280 830kN 11 11简支梁的绝对最大弯矩 比两结果 得全梁的绝对最大弯矩为1668 35kN m 它发生在距梁跨中点右方0 56m的截面上 从这个例子可以看出 把所有荷载都置于梁上并不是最危险的荷载位置 而且梁的跨中截面也不一定是最危险的截面 分析时切不可被不正确的 感觉 所误导 11 11简支梁的绝对最大弯矩 内力包络图是指结构在移动荷载或可动荷载作用下 引起的每一截面同一内力的最大 最小值的变化范围图 作梁的弯矩 剪力 包络图时 常将梁沿跨度分成若干等份 利用影响线求出各等分点的最大弯矩 剪力 和最小弯矩 剪力 以截面位置作横坐标 求得的值作为纵坐标 用光滑曲线连接各点即可获得包络图 下面以简支梁和连续梁的内力包络图的绘制为例说明 从包络图上可以滑楚地看出各截面同一内力的最大 最小值的变化规律 而且可以找出该内力的绝对最大值以及它所在的截面 因此它是钢筋混凝土梁设计截面和布置钢筋的依据 11 12简支梁的包络图 一 简支梁的内力包络图 1 受单个集中移动荷载作用的简支梁包络图 如在截面3处 a 0 4l b 0 6l M3 Fab l 0 24Fl 将梁分成若干等分 通常分为十等分 对每一等分点所在截面利用右图所示影响线求出其最大值并用纵坐标标出 将它们连成曲线 即为简支梁的包络图 11 12简支梁的包络图 将梁分成十等分 依次绘出这些分点截面上的弯矩影响线 利用影响线求出它们的最大弯矩 还要求得包络图最大纵坐标 在梁上用纵坐标标出并连成曲线 就得到该梁的弯矩包络图 同理还可绘出该梁的剪力包络图 故剪力包络图有两根曲线 2 受一组集中荷载作用的简支梁包络图 11 12简支梁的包络图 1 不同情况的活载 将有不同的内力包络图 2 上述的内力包络图仅在某种活载作用下所得 设计时还须将其与恒载作用下相应的内力图叠加 作恒载和活载共同作用下的内力包络图才能作为设计的依据 注意 11 12简支梁的包络图 二 连续梁的内力包络图 求出活载作用下某一截面的最大和最小弯矩 再加上恒载作用下该截面的弯矩 就可求得该截面的最大和最小弯矩 连续梁是工程中常用的一种结构 其所受的荷载通常包括恒载和活载两部分 求截面的最大和最小弯矩的主要问题在于确定活载的影响 11 12简支梁的包络图 如果连续梁是受可以任意断续布置的可动均布荷载 则最大和最小弯矩的计算将可以简化 连续梁在可动均布荷载作用下 截面内力的最不利荷载位置是在若干跨内布满活载 11 12简支梁的包络图 对连续梁来说 一般情况下 其弯矩影响线在每一跨内均不变号 因此具体计算最大值 或最小值 时常采用叠加原理 将每一跨单独布满活载的情况逐一绘出其弯矩图 然后对于任一截面 将这些弯矩图中的对应的所有正弯矩值相加 便得到该截面在活载作用下的最大正弯矩 同样 将对应的所有的负弯矩值相加 便得到该截面在活载作用下的最大负弯矩值 11 12简支梁的包络图 绘制弯矩包络图的步骤如下 3 将各跨分为若干等份 对每一分点处的截面 将恒载弯矩图中各截面上的纵坐标值与所有各个活载弯矩图中对应的正 负 纵坐标值叠加 便得到各截面上的最大 小 弯矩值 4 将上述各最大 小 弯矩值按同一比例用纵坐标表示 并以曲线相连 即得到弯矩包络图 1 绘出恒载作用下的弯矩图 2 依次按每一跨上单独布满活载的情况 逐一绘出其弯矩图 11 12简支梁的包络图 连续梁的剪力包络图绘制步骤与弯矩包络图相同 由于在均布活载作用下剪力的最大值 包括正 负最大值 发生在支座两侧截而上 因此通常只将各跨两端靠近支座处截面上的最大剪力值相最小剪力值求出 在跨中以直线相连 得到近似剪力包络图 11 12简支梁的包络图 例11 5试绘制如图所示的三跨等截面连续梁的弯矩包络图 几何尺寸如图 设梁上承受的恒载为q 20kN m 均布活载为p 30kN m 解 1 绘出恒载作用下的弯矩图 11 12简支梁的包络图 2 给出各跨分别承受活载时的弯矩图 11 12简支梁的包络图 3 将梁的每一跨分为四等份 求得各弯矩图中各等分点处的纵坐标值 将对应的正 负纵坐标值分别与恒载弯矩图相应纵坐标叠加 即得最大 最小弯矩值 例如在截面1和支座B处 其弯矩值分别为 11 12简支梁的包络图 4 把各个最大弯矩值和最小弯矩值分别用曲线相连 即得弯矩包络图 11 12简支梁的包络图 用同样的方法可以绘制剪力包络图 即先绘出恒载作用下的剪力图 再作出各跨单独作用活载时的剪力图 然后将恒载剪力图中各支座左 右两截面的纵坐标值与各活载作用的剪力图中对应正 负 纵坐标值叠加 便得到各支座左 右两截面上剪力最大 最小 值 将各跨两端截面上的最大剪力值和最小剪力值分别按比例标出 用直线相连 使得到近似剪力包络图 11 12简支梁的包络图 本章作业 11 6 11 711 8 11 911 10 11 1111 22 11 28选作6 8题 小结 本章讨论了两方面的问题 影响线的作法和影响线的应用 前者是主要的 在影响线的作法中 又以静力法作静定梁的影响线为重点 需要注意的是这影响方程是有适用范围的的 必须掌握影响线的物理意义 才能掌握影响线的作法 从而能正确地区分影响线和内力图 影响线必须与某确定的截面中某量值联系在一起 当只需要定性地了解影响线的形状时 机动法作影响线是最方便的 在影响线的应用方面 最重要的概念是最不利荷载位置的概念 并不是把所有的荷载加到梁上 梁就处于最危险状态 要针对该截面该量值确定其最不利荷载位置或最不利荷载布置才能求出 本章总结 一 基本概念 1 影响线的概念及性质 概念 影响线表示单位移动荷载作用下某一量值 即某确定截面的内力 反力或位移 变化规律的图形 它在某点的竖标表示单位荷载作用于该点时 该量值的大小 其绘制范围是从荷载移动的起点画至终点 荷载不经过处 不绘制影响线 影响线竖标的量纲 反力 轴力 剪力量纲是1 弯矩量纲是长度单位 性质 静定结构的内力 或反力 影响线是直线或折线 静定结构的位移影响线是曲线 超静定结构的内力和位移影响线都是曲线 二 几个值得注意的问题 1 移动荷载与动力荷载的区别 本章总结 移动荷载 有些活载 如吊车梁上的吊车荷载 公路桥梁上的汽车荷载 在结构上的位置是移动的 这种荷载称为移动荷载 由于移动荷载的位置随时间变化极为缓慢 不使结构产生显著的加速度 因而惯性力的影响可以忽略 故移动荷载属于静力荷载 静力荷载包括固定荷载和移动荷载 动力荷载 是随时间快速变化或在短暂时间段内突然作用或消失的荷载 使结构产生显著的加速度 因而惯性力影响不能忽略 如 地震荷载 特殊情况下的风荷载 2 影响线与内力图的区别 1 内力图的作图范围是整个结构 其基线就表示该结构 而影响线的作图范围是荷载移动的范围 其基线表示的是单位荷载的移动路线 荷载不经过处 不绘制影响线 本章总结 2 内力图表示的是当外荷载不动时 各个截面的内力值 而影响线表示的是当外荷载移动时 某一个截面的内力值 例如下图所示刚架 单位荷载从B点移动到D点 用机动法求MCA的影响线时 整个结构都有虚位移图 而影响线却只是虚位移图的一部分 即单位荷载经过的部分 单位荷载不经过处 即便有虚位移图 也不绘制影响线 本章总结 1 如何建立坐标系 绘制影响线时应先建立坐标系 为使静力法和机动法所作的影响线正负号相一致 应以F 1的移动方向为x轴 以与F 1指向相反的方向作为y轴正方向否则会得出错误的结果 用静力法时 建立静力平衡方程 求出影响系数方程 绘制影响线 若影响线为正值 则绘于y轴正向 反之 绘于y轴负向 用机动法时 令虚位移方向与力的方向一致 若位移图在y轴正向 则影响线为正 反之 影响线为负 2 力的方向如何假设 假设力的方向时 剪力和轴力应假设为正方向 弯矩和支座反力由于没有固定的正方向 故可以随意假设 但应在图中标明 3 影响线正负号的含义 在影响线的图形中 必须标明正负号 影响线为正值 表示实际的内力或反力与假设方向相同 若为负值则表示实际的内力或反力与假设方 3 与影响线的正负号有关的问题 本章总结 向相反 因此 不同的假设方向 可能求出的影响线符号恰恰相反 但都可以是正确的结果 4 求作影响线的方法 由于影响线的实质是内力或反力 故求解静定结构内力或反力的平衡方程法和虚功原理法也可以用于求作影响线 与这两种方法相对应 在影响线中分别称为静力法和机动法 静力法和机动法适用于各种静定结构 但两者各有其优越性 机动法可以快速作出影响线 因此对位移图容易判断的结构 如多跨梁 某些刚架 某些组合结构等 宜用机动法 但对一些复杂结构 如桁架等 位移图不易正确判断 此时宜用静力法 静力法是求作影响线的基本方法 5 用机动法求作影响线时 如何绘制体系的虚位移图 用机动法求作影响线时 正确绘制体系的虚位移图是解题的关键 应遵循以下原则 本章总结 1 由于体系的位移为微小位移 因此可以假设位移后杆件不伸长 有关几何问题的计算都采用杆件的原长 例如图中的机动体系 发生位移时杆件上各点都沿垂直于杆轴线的方向运动 虚线为其位移图 以杆件AB为例 位移后移至AB 根据上述原则有AB AB 而求BB 时 采用原长AB 即BB AB 2 当体系的杆件数较多时 应先找出对位移起决定作用的杆件 其余杆件的位移都依赖于该杆件 如上图中 由几何构造分析可知 杆CE和BC均为AB杆的附属部分 因此对位移起决定作用的是AB杆 易知AB杆只能绕A点转动 由此其余杆件的位移也可以快速判断 本章总结 三 几种特殊情况下如何求作静定结构的影响线 1 简支斜梁的影响线 例 求作图a所示斜梁MC FSC FNC的影响线 本章总结 解 用静力法 设坐标原点在A 水平荷载F 1至A的水平距离为x y轴方向如图 1 先求支座反力 2 求MC 当F 1在AC段上时 取CB为隔离体 图b 当F 1在CB段上时 取AC为隔离体 FyB x l FyA l x l 影响线如图c所示 本章总结 同理FNC的影响线如图e所示 可见 在竖向单位荷载作用下简支斜梁的竖向支座反力影响线和弯矩影响线与相应水平简支梁的影响线相同 而剪力和轴力影响线与相应水平简支梁的影响线不同 3 求FSC 当F 1在AC段上时 取CB为隔离体 图b 当F 1在CB段上时 取AC为隔离体 影响线如图d所示 本章总结 例 求作图a斜梁MC FSC的影响线 解 建立坐标系如图所示 求解方法同上题 影响线分别见图b c 本章总结 2 单位力偶作用下的影响线 例 求图a所示简支梁在单位移动力偶作用下FRB的影响线 解 方法1 静力法 方法2 机动法 去掉支座B的约束 未知反力为FRB 机动体系沿FRB正方向的位移图如图b所示 该位移图的斜率就是反力FRB的影响线 位移图的斜率为1 l 故FRB的影响线是一水平直线 注意 该位移图若与力偶转向一致取负号 否则取正号 本章总结 例 求图a所示静定多跨梁的MG和FSG的影响线 解 机动法作MG影响线 在G处加铰 代以MG 沿MG正方向给单位虚位移 图b 虚位移图的斜率就是MG的影响系数 影响线如图c 同理可以求出FSG的影响线如图e所示 本章总结 四 举例 本章总结 例 用静力法和机动法作图a所示梁的FRB MA MC FS的影响线 解 解法1 静力法 先求FRB的影响线 取整体研究 设FRB方向向上 由 Fy 0 得FRB 1 FRB的影响线如图b 所示 同理 根据静力平衡方程可得MA MC FSC的影响线方程分别为 本章总结 解法2 机动法 建立坐标系 分别解除与量值FRB MA MC FSC相应的约束 体系沿量值假设的方向虚单位位移图 图b e 就是影响线的图形 沿y轴正方向的图形加上正号 沿y轴负方向的图形加上负号 最后的图形就是FRB MA MC FSC的影响线 本章总结 例 如图a所示梁 F 1在ACD上移动 试作结构中MF FSF ME及FSE的影响线 本章总结 解 解法1 静力法 当F 1在AC段移动时 影响线与直接荷载作用下的影响线相同 当F 1在CD段移动时 支座C的反力为 1 MF的影响线 所以 根据上式可作出CD段的影响线 AC段与直接荷载作用下简支梁的影响线相同 图b AC段与直接荷载作用下简支梁影响线相同 CD段 2 FSF的影响线 据此可得FSF的影响线如图c 本章总结 同样可作出ME及FSE影响线如图d e所示 ME及FSE在CD段的影响线方程为 解法2 机动法 1 MF的影响线 先作出在直接荷载作用下MF的影响线 当F 1在AC段移动时 MF的影响线与直接荷载作用下的影响线相同 当F 1在CD段移动时 找到C点和D点在直接荷载影响线上的投影点 再连成直线 就得到F 1在CD段移动时的影响线 最后的影响线见图b 同理可作出FSF ME FSE的影响线 如图c d e所示 本章总结 例 用机动法作图a所示结构的Mm FSm FRA 及FSFL的影响线 F 1在ABCD上移动 解 撤去m截面的弯矩所对应的约束 用一对力偶Mm来代 令体系沿Mm的正方向发生单位位移 图b 则杆ABCD的位移图就是Mm的影响线 图b 同理 FSm FRA及FSFL的影响线如图c f 所示 本章总结 本章总结 本章总结 本章总结 本章总结 五 影响线的应用 1 求结构在固定荷载作用下的内力 2 求移动荷载的最不利位置 3 求绝对最大弯矩 4 绘制包络图 定义 在给定荷载作用下 连接各截面最大内力的曲线称为内力包络图 它表示各截面的内力可能的变化范围 作内力包络图的方法 当荷载在梁上移动时 只要逐个算出各截面的最大内力 连成曲线就得到荷载作用下简支梁的内力包络图 通常为减少计算量 可将梁分成几等份 求出每个等分点的最大和最小内力 连成曲线 可得近似的内力包络图 但应注意弯矩包络图中要给出绝对最大弯矩及其作用位置 本章总结 例 试利用影响线求作图a所示简支梁在固定均布荷载和集中力系作用下截面C的剪力值 解 1 绘FSC影响线如图b所示 2 计算FSC 在固定集中力系作用下 截面C处FSC发生突变 计算FSCR值时 F2所对应的竖标是左侧的 1 3