概率与数理统计第四章.ppt

第四章数理统计的基本概念 4 1总体与样本 4 2统计量与抽样分布 4 3抽样分布定理 4 1总体与样本 1 总体 2 个体 研究对象的全体 组成总体的每个基本单元 有限总体 无限总体 集合与元素的关系 例如 研究某大学一年级新生的体重情况 总体 该大学的全体新生的体重 个体 每个新生的体重 数量指标 可用随机变量描述 第i个新生体重用描述 4 1总体与样本 3 了解总体分布的方法 4 我们把从总体中随机抽取的n个个体称为样本 n为样本容量 全面观测 抽样观测 1 代表性 样本与总体同分布 5 简单随机样本 2 独立性 是相互独立的随机变量 4 1总体与样本 6 设总体X的分布函数为F x 是取自总体的样本 称上式为样本分布函数 7 若总体X为连续型随机变量 其概率密度为 则称 为样本概率密度 为样本概率分布 8 若总体X为离散型随机变量 其概率分布为 则称 4 2统计量与抽样分布 4 2 1统计量 4 2 2抽样分布 1 样本均值的分布 2 分布 3 分布 4 分布 4 2 1统计量 定义 设是来自总体的样本 是一个样本函数 若g中不含有总体分布中的未知参数 则g称为统计量 例如 设总体 已知 未知 为样本 统计量 未知 U不是该样本的统计量 4 2 1统计量 常见统计量 设为总体X的样本 是样本观测值 1 样本均值 2 样本方差 修正样本方差 3 样本标准差 4 样本k阶原点距 5 样本k阶中心距 4 2 1统计量 样本均值 样本方差 当抽样结果确定后 我们把样本观测值代入统计量 反映样本平均取值的情况 反映样本取值的分散程度 例4 1某老师为调查大学生对数学的学习情况 随机抽取了30名学生的高等数学的期末成绩 数据如下 849072738575506986785672866681908785868786869157698575848587 这是一个容量为30的样本观测值 反映了学生高等数学成绩的平均水平 反映了学生高等数学成绩的分散程度 4 2 2抽样分布 1 样本均值的分布 设总体 为来自总体的样本 则 记 满足条件 上侧临界值 满足条件 双侧临界值 由对称性 当时 可由查得 可由查得 4 2 2抽样分布 定义 设为来自总体的样本 则 2 分布 服从自由度为n的分布 记作 密度函数为 分布的性质 1 若 则 2 若 且相互独立 则 3 若 满足条件的称为上侧临界值 上侧临界值 4 2 2抽样分布 例如 查表可得 其意义为 例4 2 设为来自总体的样本 令 试求常数C 使服从分布 解 且它们是相互独立 即 所以C 18 4 2 2抽样分布 服从自由度为n的分布 记作 密度函数为 t分布的性质 2 当n充分大时 t分布近似于标准正态分布 3 分布 定义 设 且X Y相互独立 则称 1 t分布密度函数图像关于y轴对称 且 3 若 满足条件的称为上侧临界值 上侧临界值 满足条件的称为双侧临界值 当时 4 2 2抽样分布 F分布的性质 定义 设 且X Y相互独立 则称 4 若 满足条件的称为上侧临界值 4 分布 服从第一自由度为 第二自由度为的F分布 记作 1 若 则 2 若 则 3 上侧临界值 例如 查表可得 其意义为 4 3抽样分布定理 定理1 设总体 是来自总体的样本 和分别为样本均值和 修正 样本方差 则 1 2 4 4 3抽样分布定理 1 证明 由于正态随机变量的线性组合也服从正态分布 可知 服从正态分布 样本与总体同分布 样本相互独立 4