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一道课本习题的开发利用 天马行空官方博客 一 复习基本公式 天马行空官方博客 二 高一立体几何课本第97页习题 我国第一颗人造地球卫星的远地点距地面2384km 在这时约有多少平方千米上的人能看到这颗卫星 见图1 S球冠DAB 2 OA CD OA HA AC HO OA2 OC OH 即63702 OC 6370 2384 OC 4635 CD 1735 S球冠DAB 2 6370 1735 6 944 107 平方千米 答 这时在地球上能看到这颗卫星的地方约有6 944 107平方千米 解答过程 见下图 三新问题有一种卫星叫做地球同步卫星 即卫星相对于地球静止不动 与地球一起同步自转并围绕太阳旋转 在全球卫星定位系统 导航系统 通信系统和卫星电视等系统中都会遇到这样一个问题 必须让卫星传播的电磁波信号能覆盖整个地球 那么 要让卫星信号覆盖整个地球 至少需要在太空中布置几颗地球同步卫星 请同学们思考 此题较难 但我们可先从简单的平面图形入手思考一个类似的问题 这是一种 从简单入手 从特殊到一般 的解决问题的科学思维方法 问 在一个圆所在平面内至少放置几盏灯 才可使光线照亮整个圆周 此问题有以下两种情况 1 当有两盏灯时 我们把两盏灯放置在圆心所在直线的两端 此时所能照到的部分显然最多 但不论灯泡离圆心多远 圆周上总有两个部分不能被光线照亮 图 2 如图 2 将灯泡移动 使其离圆渐远和渐近 此时圆周上被光线照亮的部分也在增加和减少 2 由1易知 只要再加一盏灯 整个圆周就能被全部照亮 那么 这三盏灯怎样放置才能充分发挥其效率呢 光线最强 即灯离圆周最近 答 应将三盏灯放置在此圆外切正三角形的三个顶点上 如图 3 将图 2中的圆周换为地球 图 4 我们已能容易看出 不管卫星离开地球多远 地球上总有一条球带部分 图中较暗部分 不能被卫星信号所覆盖 但若增加一颗卫星呢 此时结论能成立吗 下面 我们将问题回到空间考虑 见图 5 我们将卫星放置于地球大圆所在平面的一个正三角形的三个顶点上 显然此时信号覆盖率最高 此时每颗卫星所覆盖的部分分别就是图中的一个球冠 但结合屏幕演示和空间想象可知 不管卫星离开地球多远 地球上总有两个部分 图中阴影部分 及其相对于地心的另一个部分 是覆盖不了的 因此 仅用三颗卫星 无论如何其信号也不能覆盖整个地球 显然 只要再放置两颗卫星 让其信号分别覆盖图 5中余下的两个阴影部分 则整个地球就可被卫星信号所覆盖了 那么 少于五颗卫星可不可以呢 结论 只须四颗卫星就足够了 见图 6 将四颗卫星放置在一个四面体的四个顶点上 并使地球包含在这个四面体内 则整个地球就可被卫星信号所覆盖 又问 这四颗卫星应怎样放置 其使用效率才能最高 信号能覆盖全球 同时卫星离地球最近 答 应把四颗卫星放置在地球的一个外切正四面体的四个顶点上 图 7 解答 图 8 H F是切点 请同学们计算出图 7中卫星到地球的距离 卫星 A点 到地球的距离是AO R 2R 2 6370 12740千米 OH O