第二章一、有理数的意义

1 / 10第二章一、有理数的意 义第二章 一、有理数的意义 21 正数和负数 一、知识点 1、像 5；8；等大于 0 的数叫正数。 像1；7； 等在正数前面加上“”号的数叫负数。 2、0 既不是正数，也不是负数。 自然数（也叫非负整数）3、正整数 整数 0 负整数 有理数零 有限小数和无限循环小数是分数，如：是分数 正分数 分数 负分数 正整数 非负有理数正有理数 正分数 非正整数有理数零 负整数 2 / 10负有理数 负分数 负整数和零也叫非正整数；正数中含有正有理数；但正数不一定都是有理数；如 是正数，但不是有理数，当然也就不是分数。 区分正数和整数的概念。 二、例题： 例 1、把下列各数填在相应的集合中： 5；2；0；1；102；78；104。 属于正数集合的有：_ 属于整数集合的有：_ 属于分数集合的有：_ 属于负数集合的有：_ 属于正整数集合的有：_ 属于非正整数集合的有：_ 属于有理数集合的有：_ 既不是正数，又不是负数的有：_ 例 2、填空： 1、如果温度上升 6记作 6，那么下降 3记作_。 3 / 102、如果向南走 8 米，记作8 米，那么向北走 15 米应记作_；那么向北走6 米表示向_走_米。 3、最小的正整数是_；最大的负整数是_；最小的非负整数是_；最大的非正整数是_。 2、2 数轴 一、知识点： 1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2、画数轴时，要注意数轴的三要素缺一不可。 3、数轴的作用：（1）是能形象地表示数，所有的有理数都可在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定是有理数；如：。 （2）通过数轴从图形上直观的解释相反数；帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小。 4、有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。得到：正数大于 0；0 大于负数；正数大于负数。 二、例题： 例 1、填空： 1、比4 大的负整数有_； 2、大于而不大于 3 的整数有_个； 3、比较下列数的大小（用“” “” “”填空） 5_0；_；1111_ 4 / 10_；_；_ 例 2、如果 a0，1b0。试比较 a、ab、ab2 的大小。 例 3、在数轴上把数、0、|3|、（1） 、|2|表示出来，并用“”号把它们连接起来。 2、3 相反数 一、知识点 1、像 2 和2，和这样只有符号不同的两个数，那么其中一个就是另一个的相反数。一般地，数 a 的相反数是a。 2、规定：0 的相反数是 0。 3、在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两边，并到原点的距离相等 4、多重符号的化简： 二、例题： 例 1、填空： 1、简化（1） ；+（）=_;(2)(+5)=_ (3)(+)=_;(4)|()|=_ 2、_的相反数是它本身。_的倒数等于它本身。 3、如果x=7,那么 x=_。 4、如果 a 是负数，那么a_0;如果a 是负数，那5 / 10么 a_0 例 2、数 a、b 在数轴上表示的点如图，比较a、b、a、b 的大小 0ba2、4 绝对值 一、知识点 1、一个数的绝对值就是在数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作|a|. 2、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 3、去绝对值符号，要先考虑绝对值中的数的正负性。 二、例题： 例 1、填空： 1、已知|a|=2,则 a=_；如果|x|=5，则x=_。 2、如果 a0，则|2a|=_；如果 a0,则|2a|=_。 3、_的绝对值等于它本身。 4、绝对值不大于 3 的整数有_ 5、|x|=x；则 x 是_数。 例 2、分类讨论的值的情况； 例 3、有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简 6 / 10c0ba|c-b|+|a-c|-|b-c| 例 4、已知：a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求代数式cd+|m|的值。 二、有理数的运算 一、知识点 2、5 有理数的加法 1、有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加得 0；（4）一个数和 0 相加，仍得这个数。 2、加法交换律：a+b=b+a 3、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 4、运算时要注意：（1）结果的符号；（2）区分结果的绝对值是把两数的绝对值相加还是相减。 2、6 有理数的减法 1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+(-b)。 2、在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换。对减法来讲，没有交换律。7 / 103、在有理数的减法中，当被减数和减数都是正数，而且被减数大于减数时，即为小学学过的算术减法。 4、一个数减去 0 时等于这个数，但 0 减去一个数时，要按减法法则，写成加上这个数的相反数。 2、7 有理数的加减混合运算 1、一个式子中，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法都转化为加法，式子就成为几个正数或负数的和。几个正数和负数的和，有时也叫做代数和。 2、 “” 、 “” 、 “”、 “”（加减乘除）叫做运算符号，而“” （正） 、 “” （负）又叫做性质符号。 3、代数和里因为所有的运算都是加法，所以通常把加号省略不写，因此有理数a+bc 有两种读法：（1） “+”“”当作性质符号，读作“a、b、c 的和” （2） “+”“”号当作运算符号，读作“a 加 b 减 c”。 4、有理数的和可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数，也可能是负数或 0。 2、8 有理数的乘法 1、理数的乘法法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘，任何数同 0 相乘，都得 0。 2、几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 8 / 103、几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0。 4、乘法的交换律：ab=ba 5、乘法的结合律：（ab）c=a(bc) 6、乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac 2、9 有理数的除法 1、乘积是 1 的两数互为倒数，即 a=1（a0） ，也就是说，a(a0)的倒数是。 2、有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即 ab=a，注意 0 不能作除数。 3、有理数的除法有与乘法相类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 n 个 2、10 有理数的乘方 1、一般地，有几个相同的因数 a 相乘，即 aaaa 记作 an,这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作“a 的 n 次方” ，或“a 的 n 次幂” 。 2、根据乘方的意义，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 3、把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记法叫做科学记数法。 4、区分（2）2 和22；32 和 32；32 和 23； 9 / 10232 和（23）2；（）2 和。 2、11 有理数的混合运算 1、对于有理数的混合运算，要正确掌握运算顺序：（1）有括号的要先算括号内的；（2）不同级的要先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （3）同一级运算，要从左往右依次计算。 2、能用运算律时，可不按上面的常规顺序，达到简化计算的目的。 二、例题： 例 1、计算： 1、（）（）+（+）（23） 2、71（8） 3、（） 4、23（）2 5、3（）+（）1（8）6 6、 （12）（+38）+（+5）（38）（17）（+38） 2、12 近似数与有效数字 一、知识点： 1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个10 / 10近