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第二章随机变量及其分布 5随机变量函数的分布 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 例如 已知圆轴截面直径d的分布 已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 Y的可能值为 即0 1 4 解 例1 一离散型随机变量函数的分布 故Y的分布律为 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般 若X是离散型r v X的概率函数为 X 则Y g X 设r v X的分布律为 Y g X 的概率分布为 例2已知X的概率分布为 其中p q 1 0 p 1 求Y SinX的概率分布 解 故Y的概率分布为 二 连续型随机变量函数的分布 解 第一步先求Y 2X 8的分布函数 设Y的分布函数为FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 第二步由分布函数求概率密度 于是Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 Y 2X 8 例4已知X的概率密度为 为常数 且a 0 求fY y 解 当a 0时 当a 0时 故 例如设X N 2 Y aX b 则 Y N a b a2 2 特别地 若X N 2 则 例5已知X N 0 1 Y X2 求fY y 解先求分布函数 y 当y 0时 注意到Y X20 故当y0时 故 从上述例子中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 用代替 X2 y 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 特殊方法当y g x 是单调函数 定理若随机变量X具有概率密度fX x 其在 a b 上取非零值 又y g x 是严格单调的可导函数 则Y g X 是连续型随机变量 其概率密度为 其中x h y 是y g x 的反函数 是y g x a x b的值域 推广定理 例6设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 解 在区间 0 1 上 函数lnx 0 故y 2lnx 0 于是y在区间 0 1 上单调下降 有反函数 由前述定理得 注意取绝对值 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 即Y服从参数为1 2的指数分布 解 例7 例8设X的概率密度为 解
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