文科数学第三章第五节.ppt

第五节三角函数的图象与性质 第三章三角函数与解三角形 考纲要求 1 能画出y sinx y cosx y tanx的图象 2 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 上的性质 如单调性 最大值和最小值以及与x轴交点等 理解正切函数在区间上的单调性 了解三角函数的周期性 课前自修 知识梳理 一 正弦函数 余弦函数 正切函数的性质 表格中各式的k Z 续上表 续上表 x k 无 k 0 续上表 二 研究函数y Asin x 性质的方法类比于研究y sinx的性质 只需将y Asin x 中的 x 看成y sinx中的x 但在求y Asin x 的单调区间时 要特别注意A和 的符号 通过诱导公式先将 化为正数 研究函数y Acos x y Atan x 的性质的方法与其类似 也是类比 转化 三 求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成 y Asin x y Acos x y Atan x 的形式 再利用周期公式 如 函数y Asin x y Acos x 的最小正周期都是 函数y Atan x 的最小正周期是 另外还有图象法和定义法 基础自测 3 2012 浙江名校新高考联盟二联 若函数f x sin x 2cos x 是奇函数 则sin cos 考点探究 考点一 求与三角函数有关的函数的定义域 点评 函数的定义域就是使函数解析式各部分有意义的自变量的取值范围 因此转化为求不等式 组 的解集问题来解决 要解三角不等式 常用的方法有二 一是利用图象 二是利用三角函数线 变式探究 考点二 求三角函数的单调区间 点评 1 熟练掌握正 余弦函数y sinx y cosx的单调区间是迅速正确求解正 余弦型函数的单调区间的关键 特别提醒 当单调区间有无穷多个时 别忘了注明k Z 2 在求y Asin x 的单调区间时 要特别注意A和 的符号 若 0 则通过诱导公式先将 化为正数再求 变式探究 考点三 求三角函数的最小正周期 最值 值域 变式探究 考点四 三角函数的零点 奇偶性 对称性的应用 变式探究 考点五 三角函数与二次函数的综合 例5 1 求函数f x cos2x 2asinx a a为常数 的最大值g a 2 求函数y sinx cosx 3sinxcosx的最大值 思路点拨 1 将余弦转化为正弦 再将表达式转化为关于sinx的二次三项式 用二次函数方法求解 2 通过 sinx cosx 2 1 2sinxcosx 利用换元法 将问题转化为二次函数的问题来解决 解析 1 f x 1 sin2x 2asinx a sinx a 2 a2 a 1 故当 sinx a 最小时 f x 最大 若a 1 则当sinx 1时 sinx a 最小 所以g a a 若 1 a 0 则当sinx a时 sinx a 最小 此时g a 1 a a2 若a 1 则当sinx 1时 sinx a 最小 此时g a 3a 综上可知 g a 点评 1 三角函数式中含有sinx cosx 并且其中一个是二次 处理方式是应用sin2x cos2x 1 使函数式只含有一种三角函数 再应用换元法 转化成二次函数来求解 2 对于含有sinx cosx的齐次式的三角函数 则采取 sinx cosx 2 1 2sinxcosx换元 转化为二次函数 变式探究 课时升华 1 正 余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是 1 1 因此对于 x R 恒有 1 sinx 1 1 cosx 1 所以1叫做y sinx y cosx的上确界 1叫做y sinx y cosx的下确界 因此在解含有正余弦函数的问题时 要注意深入挖掘正 余弦函数的有界性 2 对函数周期性概念的理解 1 周期性是函数的整体性质 要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f x T f x 其中T是不为零的常数 如果只有个别的x值满足f x T f x 或找到那怕只有一个x值不满足f x T f x 都不能说T是函数f x 的周期 4 研究函数y Asin x 性质的方法 类比于研究y sinx的性质 只需将y Asin x 中的 x 看成y sinx中的x 但在求y Asin x 的单调区间时 要特别注意A和 的符号 若 0 则通过诱导公式先将 化正 研究函数y Acos x y Atan x 的性质的方法与其类似 也是类比 转化 5 绝对值或平方对三角函数周期性的影响 一般说来 某一周期函