振动力学两自由度系统和多自由度系统.ppt

第3章多自由度系统的振动 主讲 沈火明 单自由度系统振动问题 在我们所讨论的范围内是线性定常方程 而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组 各广义坐标间存在相互 耦合 现象 所谓耦合 就是变量之间互相联系 由于这种耦合 使微分方程的求解变得非常困难 因此 分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程 解耦 然后按单自由度的分析方法求解 两自由度是多自由度系统最简单的情况 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样 但难度更大 3 1 1运动微分方程 3 1两自由度系统的振动方程 刚度矩阵和质量矩阵 标准的m k c系统 对每一质量利用牛顿定律得 坐标原点仍取在静平衡位置 写成矩阵形式 式中 M 称为系统的质量矩阵 K 称为刚度矩阵 C 称为阻尼矩阵 x 为系统的位移列阵 F t 为外激励列阵 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵 刚度矩阵和阻尼矩阵 由于矩阵 M K C 的非对角线元素不为0 所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程 3 1 2刚度影响系数与刚度矩阵 刚度矩阵 K 中的元素称为刚度影响系数 其kij的力学意义是 仅在j坐标处产生单位广义位移 系统平衡时需在i坐标处施加的广义力 具体求解时 只假设j坐标处的位移为1 其它各坐标的位移均为0 5 2 3惯性影响系数与质量矩阵 质量矩阵 M 中的元素称为惯性 质量 影响系数 其mij的力学意义是 仅在j坐标处产生单位广义加速度 需在i坐标处施加的广义力 具体求解时 只假设j坐标处的加速度为1 其它各坐标的加速度均为0 例 用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m k c系统的刚度矩阵和质量矩阵 柔度影响系数Rij的力学意义是 在j坐标处作用单位广义力 引起i坐标处的广义位移 由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R 由材料力学的位移互等定理可知Rij Rji 即柔度矩阵是对称的 3 2两自由度系统的位移方程 柔度矩阵 3 2 1柔度影响系数与柔度矩阵 例 用柔度影响系数求标准m k c系统的柔度矩阵 以柔度矩阵表示的方程为位移方程 对标准m k c振动系统 质量m1和m2上的静位移可以表示为 xst R F 而系统的动位移为 这就是系统振动方程的位移形式 3 2 2位移方程 因为 R 为正定矩阵 于是位移方程又可写为 与力形式的方程比较知 K R 1 R K 1即对于正定系统 R 和 K 互为逆矩阵 例3 1 求系统的振动微分方程 已知梁的抗弯刚度为EI 解 用影响系数法 由材料力学挠度公式 则 而 则方程为 若写为力方程形式 则方程为 下面用影响系数法直接求 K 设x1 1 x2 0 则由材料力学公式有 同理有 求出各个刚度系数即组成刚度矩阵 K 对于非标准的m k c多自由度振动系统 用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难 更适合使用拉格郎日方程和能量的方法 拉格郎日方程为 用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程 拉格朗日方程 其中 T为系统的动能 V为势能 Qi为非有势力的广义力 drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移 实际计算广义力Qi时 通常假设与xi对应的广义虚位移不等于零 其它虚位移都等于零 i 1 2 例3 2 用拉格郎日方程推导两自由度m k c系统微振动微分方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 静平衡位置 则 计算广义力 设m1产生虚位移dx1 而dx2 0 则 同样设m2产生虚位移dx2 而dx1 0 则 代入拉格朗日方程 得 整理写成矩阵形式即可 例3 3 用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 而 则 所以 计算广义力 设只有x1处产生虚位移dx1 则 同样设x2处产生虚位移dx2 则 代入拉格朗日方程即可 只给出公式 不作严格推导 1 质量矩阵的形成系统的动能可以表示为 用能量法确定振动系统的 M K C 记 则 M 即为所求的质量矩阵 显然为对称阵 2 刚度矩阵的形成势能可写为 K 即为所求的刚度矩阵 也是对称阵 3 阻尼矩阵的形成线性阻尼 黏滞阻尼 的耗能函数可写为 C 即为所求的阻尼矩阵 也是对称阵 例3 4 求 M 和 K 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 能量法 将余弦函数用级数展开 表示为 则 所以 无阻尼自由振动系统的运动方程为 3 3 1固有频率与固有振型 3 3两个自由度系统的自由振动 假设方程解的形式为 这里 X1 X2为振动幅值 w为固有频率 a为初相位 代入振动方程可得 这是广义的特征值问题 K w2 M 称为特征矩阵 要使上式有解 必须使其系数行列式为零 若 M 为对角阵 K 为对称阵 则有 上式称为频率方程或特征方程 由此可求出w2的两个正实根 且规定w1 w2 将这两个根代入广义特征值问题 K w2 M X 0 可得到相应的振幅比值 式中X i 表示对应于第i个固有频率的振幅 i 1 2 由数学概念知道 只能求出振幅的比值 而不能确定各振幅大小 和单自由度一样 由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性 而与外部激励和初始条件无关 这表明它们都是系统的固有属性 因此把wi称为系统的固有频率或主频率 ui称为系统的固有振型或主振型 将振幅写成矩阵形式 称为振型向量或模态向量 组成的矩阵称为振型矩阵 式中的X1可以取任意值 显然两个主振动的叠加也是方程的解 即 3 4系统对初始激励的响应 5 4两个自由度系统的自由振动 由解的形式可看出 系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动 这种运动称为固有振动或主振动 每一个主振动称为一个模态 wi和对应的ui组成第i阶模态参数 系统在主振动中 各质点同时达到平衡位置或最大位移 而在整个振动过程中 各质点位移的比值将始终保持不变 也就是说 在主振动中 系统振动的形式保持不变 这就是振型的物理意义 式中的各个X a和C均为任意常数 由初始条件确定 或写为下面的形式 将初始条件代入可得 设初始条件为t 0时 综上所述 系统对初始激励的响应求解步骤为 1 建立运动微分方程 求出质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 2 确定固有频率wi和振幅比ui 3 利用初始条件求响应 3 5 求系统的频率方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 将余弦函数表示为 则 所以 T5 26 求系统的固有频率 解 用牛顿定律 而 解得 则方程为 频率方程为 即 展开得 频率方程为 解得 3 5 质量为m2的物块从高h处自由落下 然后与弹簧质量系统一起做自由振动 已知m1 m2 m k1 k2 k h 100mg k 求系统的振动响应 解 1 用牛顿定律建立方程 2 频率方程为 解得 3 求振型 利用 则 同理 4 求响应 初始条件 代入得 解得 响应为 在二阶振动微分方程中 如果质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的各个元素都不为零 则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项 这种情形称为坐标耦合 把 M 为对角阵 K 不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合 刚性耦合 把 K 为对角阵 M 不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合 3 5广义坐标与坐标耦合 方程是否耦合与广义坐标的选取有关 前面分析的标准m k c系统就是静力耦合 对于下面的振动系统 设杆的质量为m 绕质心的转动惯量为JC 若取质心位移x和转角q为广义坐标 则自由振动方程是静力耦合的 若坐标x不取在质心 而是选在满足k1a1 k2b2的O点位置 利用平面运动微分方程可得到 其中e为O点距质心的距离 这时运动方程是动力耦合的 O C 同样 若将坐标x取在最左端A 利用平面运动微分方程得到运动方程为 这里的a和b如原图所标的位置 方程既是静力耦合又是动力耦合 从前面的分析可知 只要广义坐标形式选择合适 就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程 这时的广义坐标称为主坐标 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外 其余元素均为零 各个运动方程的坐标之间不存在耦合 3 6主坐标 其中 u 是前面得到的振型矩阵 令 将 x 代入原振动方程 化简后就可得到解耦的运动方程 下章证明 显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得 将其代入 x u P 即可得到用原始坐标 x 表示的一般解 主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义 利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为 1 求出原振动方程的固有频率和振幅比 得到振型矩阵 u 2 求出主坐标下的响应 3 利用式 x u P 得出原广义坐标下的响应 4 利用初始条件确定常系数 例3 7 标准m k c系统中 设m1 m m2 2m k1 k2 k k3 2k c 0 求系统的固有频率和固有振型 利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应 设初始条件为 解 1 求固有频率和振幅比 得到振型矩阵 u 3 利用式 x u P 得出 2 主坐标下的响应 4 确定常系数 将初始条件代入得 联立解得 所以 两自由度振动微分方程为 复数解法 3 7两自由度系统的强迫振动 设干扰力为谐和函数 并表示为复数形式 令方程的解为 其中X1和X2为复振幅 将上式代入方程得 其中 i j 1 2 若为无阻尼系统 则 振幅为 若干扰力为正弦函数或余弦函数 则前面分析中相关的eiwt变为sinwt或coswt即可 即 由此可看出 1 当激励频率与系统的固有频率接近时 系统出现共振现象 即无阻尼振幅将达到无穷大 所不同的是 两自由度系统有两个共振峰 2 阻尼的存在使共振振幅减小 在相同的阻尼下 频率高的共振峰降低的程度比频率低的大 因此实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模态的影响 和单自由度的概念类似 可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线 幅频响应曲线 频率响应曲线共振现象 例3 8 在两自由度标准m k系统中 设m1 m2 m k1 k2 k3 k 在第一个质量上作用有干扰力F1 t F0coswt 求系统的响应 解 设解为 代入振动方程得 即 解得 因此系统的响应为 3 9 图示系统 xs asinwt 当w为基频的0 707倍时 车体W2的振幅为a的多少倍 已知W1 44100N W2 441000N k1 1 683 107N m k2 3 136 108N m 解 振动方程为 即 代入数据 求得固有频率为w1 18 04 w2 282 97机车振动频率为w 0 707w1 0 707 18 04 12 76 利用前面的方法求得振幅为 当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动 由单自由度系统振动理论知道 可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解 动力吸振器的原理是在原系统上附加一个新的m k或m c系统 使其变成两自由度的振动系统 利用前面研究的理论 使原振动系统的振幅趋于零 动力吸振器 m1 k1为原来的基本振动系统 m2 k2为附加的吸振系统 这两个系统组成了两自由度振动系统 运动微分方程为 无阻尼动力吸振器 利用前面的方法求得振幅为 引入记号 基本系统的固有频率 吸振系统的固有频率 基本系统的静位移 吸振质量与基本质量之比 一般动力吸振器设计成wn wa 引入频率比r 则振幅可写为 由此可看出 1 r 1即激振频率w等于吸振系统固有频率wa时 X1 0 即达到最佳吸振效果 2 吸振器设计时一般只要求wa wn 因此吸振系统的参数有广泛的选择余地 通常 实际的设计选择是要求适当限制吸振系统运动的振幅X2 由X2 xst的式子可知 质量比m越大 在r 1时X2越小 因此我们取m值不能太小 3 9 机器质量m1 90kg 减振器质量m2 2 25kg 机器上偏心块质量为m 0 5kg 偏心距e 1cm 机器转速n 1800r min 求 1 减振器刚度k2多大才能使机器振幅为0 2 此时减振器的振幅为多大 3 若使减振器的振幅不超过2mm 应如何改变减振器的参数 解 振动方程为 其中 1 利用前面求得的振幅公式 代入数据 令X1 0求得 k2 79943 8N m 代入公式求得减震器振幅为 3 设减震器振幅X2 0 002 同时设w1 w2求得k2 2 设求得 k1 3215517 1N m 多自由度系统指的是可以用有限个自由度描述的振动系统 一般来说 一个n自由度的振动系统 其广义位移可以用n个独立坐标来描述 其运动规律通常可用n个二阶常微分方程来确定 多自由度振动系统的很多概念和研究方法在两自由度系统中已经讨论 3 8多自由度系统的振动 建立振动系统运动微分方程的方法和两自由度系统一样 包括一般的动力学方法 影响系数法 刚度影响系数和柔度影响系数 拉格朗日方程和能量方法等 3 8 1运动微分方程式 3 10 求系统的微振动微分方程 无阻尼自由振动的运动方程为 3 8 2 1主振型方程式特征值和特征向量 3 8 2无阻尼自由振动的特征值问题 利用两自由度系统的分析结果 假设方程解的形式为 式中 X 为振幅向量 w为固有频率 a为初相位 代入振动方程可得 K w2 M 称为特征矩阵 要使上式有解 必须使其系数行列式为零 上式称为频率方程或特征方程 由此可求出n个特征根w2 将每个特征根wi 固有频率 代入广义特征值问题 K w2 M X 0 可得到相应的非零向量 X i 称为特征矢量 或称特征向量 固有振型 固有向量 模态向量等 显然 和两自由度一样 由上式只能求出振幅的比值 而不能确定各振幅大小 固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理特性 而与外部激励和初始条件无关 它们都是系统的固有属性 例3 10中 设m1 m3 1 m2 2 r 1 k1 k2 k3 1 求固有频率和振型 解 代入数值得 代入 K w2 M 0得 理论求解很困难 一般通过试算或利用工具软件 如Excel MATLAB Mathematica等 利用Excel计算固有频率步骤 1 定义变量 如在A1格 插入 名称 定义 w 2 输入公式 如在A2格输入 w 3 5 w 2 6 w 1 3 工具 单变量求解 只能求第一固有频率 4 高阶特征值的求解要用 工具 规划求解 固有频率为 3 8 2 2振型的基准化和标准化 1 振型的基准化由于固有振型 X i 只是振幅的比例关系 各阶振型均有一个未确定的常数比例因子 通常假设振型的某个元素为1 则其它元素就可以表示为此元素的倍数 这种方法或过程就是振型的基准化 一般假设振型的第一个元素为1 分别代入 K w2 M X 0得 2 振型的标准化另外一种确定振型各元素数值的方法是以某个限制条件来确定振型中的常数因子 通常规定 XN i 满足条件 满足这个限制条件的振型 XN i 称为标准化 或正规化 归一化 的振型 对方程 K w2 M XN 0 两边左乘 XN i T可得到 注意 这里的 XN i 均为正规化后的振型 而不是求解的原始主振型 X i 3 标准化振型与主振型的关系将主振型 X i 进行如下运算 Mi称为广义质量 主质量 模态质量 设 X i ci XN i 代入上式有 所以 3 8 3自由振动的运动规律 求出特征方程的n个特征值和对应的特征向量后 即得到振动方程的n个线性无关的特解 系统按任意一个固有频率作自由振动 称之为主振动 则第i阶主振动为 i 1 2 n 因而方程的通解应是上述特解的线性组合 或写为 其中常数ci ai Ai Bi i 1 2 n 由初始条件确定 例如给出t 0时的位移向量 x0 和速度向量 v0 则得到含有2n个方程的方程组 或 3 11 图示系统中 m1 m2 m3 m k1 k2 k3 k 设初始位移为1 初始速度为0 求初始激励的自由振动响应 解 则响应为 将振型代入并展开 前面的例题已经求得 解出各系数即可 代入初始条件得 由广义特征值问题 K w2 M X 0 知 3 8 4主振型的正交性 两边分别左乘 X j T和 X i T得到 与第一式相减得 由于 K 和 M 都是对称阵 上面第二式可写为 显然也有 i j 结论 当刚度矩阵 K 和质量矩阵 M 都是对称阵时 n个固有频率对应的固有振型之间关于 K 和 M 都是正交的 所以 i j 这里的Mi和Ki是两个实常数 分别称为系统的主质量和主刚度 或称模态质量和模态刚度 由此可得到 当i j时 变换矩阵即振型矩阵 就是各阶振型组成的方阵 变换矩阵 3 8 5主坐标 广义质量 主质量 模态质量 矩阵 Mp 和广义刚度 主刚度 模态刚度 矩阵 Kp 主对角线元素为相应的主质量和主刚度 其它元素为零 即 由主质量矩阵 Mp 和主刚度矩阵 Kp 可得到如下关系 对振动方程用振型矩阵进行变换 用主坐标表示的运动方程 代入方程后左乘 Q T得 或 i 1 2 n 这样原方程就变成了n个独立的 解耦的 固有频率为wi的简谐振动 这组广义坐标 Z 称为主坐标 1 标准振型矩阵即由标准振型构成的方阵 标准振型 正则振型 为 标准坐标 则有如下关系 同理有 由于 还有如下关系 2 标准坐标 正则坐标 下的方程对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换 代入方程得到 i 1 2 n 这组广义坐标 ZN 称为标准坐标 正则坐标 设振动方程的初始条件为 x0 和 3 9多自由度系统对初始激励的响应 对其进行正则坐标变换 转换为标准坐标 正则坐标 下的初始条件 利用单自由度的响应公式可得到初始激励下的正则坐标响应 i 1 2 n 再变换到广义坐标 x 下的响应 上述过程也可以在主坐标下进行 无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤 1 建立振动方程 确定质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 2 求固有频率和振型 3 确定标准 正则 振型矩阵 4 对初始条件标准 正则 化 5 计算标准 正则 坐标初始激励响应 6 计算广义坐标初始激励响应 3 12 m1 m2 m3 m k1 k2 k3 k 设初始位移为1 初始速度为0 用标准坐标变换方法求初始激励下的自由振动响应 解 1 2 3 求正则振型矩阵 4 对初始条件正则化 5 正则坐标下的初始激励响应 6 广义坐标下的初始激励响应 3 10无阻尼系统的强迫振动 求解强迫振动响应的方法是振型迭加法或称模态分析方法 其基本思想是 利用振型矩阵 把描述系统运动的广义坐标变换到模态坐标 主坐标或正则坐标 把运动方程变换成n个独立的方程 求得系统在每个模态坐标下的响应 然后再得到系统在一般广义坐标下的响应 这种坐标变换过程 实际上是将振型进行组合迭加的过程和方法 对方程进行标准坐标变换 x QN ZN 并左乘 QN T 利用其正交关系可得到 i 1 2 n 或写为 n自由度无阻尼强迫振动的运动方程为 再考虑前面给出的初始条件的响应 上述方程已经解耦 所以可以利用单自由度的概念和方法计算标准坐标下的响应 稳态响应为 i 1 2 n 再变换到广义坐标 x 下 上述过程也可以在主坐标下进行 则标准坐标下的总响应为 无阻尼系统响应分析步骤 1 建立振动方程 确定质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 2 求固有频率和振型 3 确定标准振型矩阵 4 对初始条件标准化 5 对激励标准化 6 计算标准坐标响应 7 计算广义坐标响应 3 12 弹簧支撑的两个刚性均质杆 质量均为m 在B点用铰链连接 l 3m 若C点下面弹簧支撑点沿y轴方向按谐波函数yg dsinwt运动 选B点的铅垂位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标 求系统的稳态响应 代入拉格朗日方程得 解 1 用拉格朗日方程 则 2 求固有频率和振型 求得 w1代入 求得 同理 3 求标准振型矩阵 同理 5 标准坐标下的响应 利用单自由度系统正弦激励下的响应得 4 对激励标准化 同理 6 广义坐标下的响应 这里 展开代入数据即可 3 11有黏滞阻尼系统的强迫振动 n自由度系统的振动微分方程为 其中的质量矩阵 M 刚度矩阵 K 和阻尼矩阵 C 通常为实对称矩阵 阻尼矩阵通过上节的坐标变换一般不能化为对角阵 即方程不能解耦 因此多自由度有阻尼振动系统的求解非常困难 如果阻尼矩阵 C 是质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的线性组合 则称之为比例阻尼 其中a和b为常数 则对阻尼矩阵进行正则变换后得 这样 对振动方程进行正则变换后得到 i 1 2 n 由于方程已经解耦 则可直接利用单自由度的理论求解正则坐标下的稳态响应为 i 1 2 n 其中 广义坐标下的稳态响应为 3 12固有频率相等或为零的情况 振动系统的广义特征值问题为 固有频率相等的情况 这里 H K w2 M 为