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文档简介

第四节随机变量的独立性 两事件A B独立的定义是 若 则称事件A B独立 将事件的独立性推广到随机变量 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两个随机变量独立的定义是 它表明 两个随机变量相互独立时 它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 若 X Y 是离散型随机变量 则上述独立性的定义等价于 则称X和Y相互独立 对 X Y 的所有可能取值 xi yj 有 即 则称X Y相互独立 对任意的x y 有 若 X Y 是连续型随机变量则上述独立性的定义等价于 分别是X和Y的边缘密度 例1袋中有二个白球 三个黑球 从中取两次球 求 X Y 的联合分布及边缘分布 分有放回和无放回讨论 解 有放回 不放回 有放回时 X和Y相互独立 不放回时则不是 设 X Y N X Y相互独立吗 证明 X Y相互独立 证 因为 所以 易见 由x y的任意性知 上式对一切x y成立 故X和Y相互独立 已知X和Y相互独立 解 x 0 即 对一切x y 均有 故X Y独立 y 0 解 0 x 1 0 y 1 故X和Y不独立 随机变量独立性的概念不难推广到两个以上随机变量的情形 定理1X1 Xn相互独立 区别于两两独立 则 最后我们给出有关独立性的两个结果 1 其中任意k 1 k n 个随机变量相互独立 2 g1 X1 gn Xn 也相互独立 定理2若X1 Xn相互独立 而Y1 g1 X1 Xm Y2 g2 Xm 1 Xn 则Y1与Y2独立 这一讲 我们由两个事件相互独立的概念引入
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