概率论与数理统计 第三章.ppt

第三章随机变量的数学特征 分赌本问题 17世纪 甲乙两赌徒赌技相同 各出赌注50元 无平局 谁先赢3局 则获全部赌注 当甲嬴2局 乙羸1局时 中止了赌博 问如何分赌本 两种分法 1 按已赌局数分 则甲分总赌本的2 3 乙分总赌本的1 32 按已赌局数和再赌下去的 期望 分 因为再赌二局必分胜负 共四种情况 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙所以甲分总赌本的3 4 乙分总赌本的1 4 期望 所得 若按已赌局数和再赌下去的 期望 分 则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量 其分布列为 X0100 P1 43 4 甲的 期望 所得是 0 1 4 100 3 4 75 3 1数学期望 定义3 1设离散随机变量X的分布列为P X xn pn n 1 2 若级数 绝对收敛 则称该级数为X的 数学期望 记为 连续随机变量的数学期望 定义3 2设连续随机变量X的密度函数为p x 若积分 绝对收敛 则称该积分为X的 数学期望 记为 例 则 E X 1 0 2 0 0 1 1 0 4 2 0 3 0 8 X 1012 P0 20 10 40 3 注意点 数学期望简称为期望 数学期望又称为均值 数学期望是一种加权平均 3 2数学期望的性质 P64 1 E c c 2 E X b E X b 3 E aX aE X 4 E aX b aE X b 5 E X Y E X E Y 6 若X与Y独立 则E XY E X E Y 数学期望的性质 定理 P66 设Y g X 是随机变量X的函数 若E g X 存在 则 例设随机变量X的概率分布为 求E X2 2 02 2 1 2 12 2 1 4 22 2 1 4 1 3 4 6 4 13 4 解 E X2 2 X012 P1 21 41 4 例 设X p x 2x 0 x 12 求下列X的函数的数学期望 1 2X 1 2 X 2 2 解 1 E 2X 1 1 3 2 E X 2 2 11 6 课堂练习 P756 习题 P754 6 7 3 4随机变量的方差 数学期望反映了X取值的中心 方差反映了X取值的离散程度 方差的定义 定义3 3 P70 若E X E X 2存在 则称E X E X 2为X的方差 记为 Var X D X E X E X 2 注意点 2 称 X X 1 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 方差越大 则随机变量的取值越分散 为X的标准差 标准差的量纲与随机变量的量纲相同 方差的性质 P71 1 D c 0 2 D X b D X 3 D aX a2D X 方差的性质 P71 4 如X与Y独立 则D X Y D X D Y 5 D X E X2 E X 2 例设X 求E X D X 解 1 E X 1 2 E X2 7 6 所以 D X E X2 E X 2 7 6 1 1 6 课堂练习 问题 D X 1 6 为什么 随机变量的标准化 设D X 0 令 则有E Y 0 D Y 1 称Y为X的标准化 常用离散分布的数学期望 0 1分布的数学期望 p 二项分布b n p 的数学期望 np 泊松分布P 的数学期望 常用离散分布的方差 0 1分布的方差 p 1 p 二项分布b n p 的方差 np 1 p 泊松分布P 的方差 常用连续分布的数学期望 均匀分布U a b E X a b 2 指数分布Exp E X 1 正态分布N 2 E X 常用连续分布的方差 均匀分布U a b 的方差 b a 2 12 指数分布Exp 的方差 1 2 正态分布N 2 的方差 2 例已知随机变量X服从二项分布 且E X 2 4 D X 1 44 则参数n p的值为多少 例设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为0 4 则E X2 的值为多少 解 从2 4 np 1 44 np 1 p 中解得 解 因为E X np 4 Var X 2 4 所以 n 6 p 0 4 E X2 D X E X 2 2 4 16 18 4 三 多维随机变量的特征数 本节主要给出X与Y的相关系数 数学期望与方差的运算性质 1 E X Y E X E Y 当X与Y独立时 E XY E X E Y 讨论X Y的方差 1 D X Y D X D Y 2E X E X Y E Y 3 当X与Y独立时 E X E X Y E Y 0 4 当X与Y独立时 D X Y D X D Y 2 E X E X Y E Y E XY E X E Y 协方差 定义3 5称Cov X Y E X E X Y E Y 为X与Y的协方差 协方差的性质 若X与Y独立 则Cov X Y 0 Cov X Y E XY E X E Y D X Y D X D Y 2Cov X Y 课堂练习 1 X与Y独立 Var X 6 Var Y 3 则Var 2X Y 27 课堂练习 2 X P 2 Y N 2 4 X Y独立 则E X Y E X Y 2 4 22 相关系数 定义3 6称 为X与Y的相关系数 相关系数的性质 1 1 Corr X Y 1 2 Corr X Y 1 X与Y几乎处处有线性关系 P Y aX b 1 注意点