《概率论与数理统计》PPT课件.ppt

第六章参数估计 点估计估计量的评选区间估计 6 1点估计 总体X的分布函数F x 的形状是已知的 但其中 为未知参数 为参数空间 设X1 Xn是总体X的一个样本 若统计量g X1 Xn 可作为 的一个估计 则称其为 的一个估计量 记为 若x1 xn是样本的一个观测值 由于g x1 xn 是实数域上的一个点 现用它来估计 故称这种估计为点估计 eg1 已知每包打印纸的重量X N 2 其中 未知 现对其中9包打印纸称重 试估计 解 设Xi 第i包打印纸重 Xi N 2 2 设 X1 X2 Xn 是总体X的样本 1 X的k阶原点矩 k E Xk 样本的k阶原点矩 一 矩估计法 1 矩估计法 1 用样本矩作为总体同阶矩的估计 2 若是未知参数 的矩估计 则g 的矩估计为g 2 X的K阶中心矩 k E X E X k 样本的k阶中心矩 eg2 设X1 Xn为取自总体U a b 的样本 求a b的矩估计 解 eg3 设总体X的概率密度为X1 Xn为样本 求参数 的矩估计 解 eg4 已知每包打印纸的重量X N 2 其中 未知 现对其中9包打印纸称重 试估计 2 解 设Xi 第i包打印纸重 Xi N 2 二 极大似然估计法 eg1 有两个射手 甲的命中率为0 9 乙的命中率为0 1 现在他们各向目标射击了一发 结果一个人命中了 估计是谁命中了的 一般说 事件A发生的概率与参数 有关 取值不同 则P A 也不同 因而应记事件A发生的概率为P A 若A发生了 则认为此时的 值应是在 中使P A 达到最大的那一个 这就是极大似然思想 1 极大似然估计 根据样本值选取参数 使样本值发生的概率最大 eg1 有两个射手 甲的命中率为p1 乙的命中率为p2 现在他们各向目标射击了一发 结果甲命中了 估计是谁的命中率高 eg2 一个盒子中有黑球和白球 比例是3 1 但不知道那种球多 设记p P X 1 现有放回地从中取了三个球得到样本值为 x1 x2 x3 根据这个值应该如何确定p 解 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 p 1 4或3 4 作L x1 x2 x3 p P X x1 X x2 X x3 2 离散型随机变量 设总体X的分布律为 设 X1 X2 Xn 是X的样本 有样本观察值x1 x2 xn 则 L 称为似然函数 极大似然估计是在 中选取适当的 使L 达到最大值 即 eg3 设X1 Xn为取自参数为p的两点分布总体的样本 求p的极大似然估计 解 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 似然函数为 2 连续型随机变量 设总体X的概率密度函数为f x 设 X1 X2 Xn 是X的样本 有样本观察值x1 x2 xn 则 作样本的似然函数为 极大似然估计是在 中选取适当的 使L 达到最大值 即 eg4 设X1 Xn为取自总体的样本 求参数的极大似然估计 解 似然函数为 令 3 求极大似然估计的步骤 1 做似然函数 2 做对数似然函数 3 列似然方程 若该方程有解 则其解就是 注1 若概率函数中含有多个未知参数 则可解方程组 注2 极大似然估计具有下述性质 若是未知参数 的极大似然估计 g 是 的严格单调函数 则g 的矩极大似然估计为g 注3 由似然方程解不出 的似然估计时 可由定义通过分析直接推求 事实上满足 eg5 设X1 Xn为取自参数为 的指数分布总体的样本 a 0为一给定实数 求p P X a 的极大似然估计 解 似然函数为 eg6 设X1 Xn为取自U 0 总体的样本 0未知 求参数 的极大似然估计 解 似然函数为 用微分法不能求 的极大似然估计 eg6 设X1 Xn为取自U 0 总体的样本 0未知 求参数 的极大似然估计 解 记 因为X U 0 似然函数为 当时 才有可能是L 取的最大值 又 是 的减函数 则当时取到最大值 6 2估计量的评选标准 一 无偏性D1 设为 的估计量 若 则称是 的无偏估计量 eg1 设随机变量X的k阶原点矩 k E Xk k 1 2 n 存在 求证 样本的k阶原点矩是 k的无偏估计量 证明 Xi与X同分布 E Xik E Xk k k 1 2 n eg2 设随机变量X的期望 和方差 2都存在 则不论X的分布如何 讨论 2的矩估计量的无偏性 解 M2是 2的有偏估计量 S2是 2的无偏估计量 eg3 设X1 Xn为取自U 0 总体的样本 0未知 考察 的矩估计和极大似然估计的无偏性 解 的矩估计量为是 的无偏估计量 的极大似然估计量是 的有偏估计量 二 有效性 eg4 设X1 Xn为取自U 0 总体的样本 0未知 比较和的有效性 解 三 相合性设是参数 的估计量 若 当n 时 称为 的相合估计量 一致估计量 D1 设总体X的分布函数F x 含有未知参数 对于给定值 0 1 若由样本X1 Xn可以确定两个统计量使 6 3参数的区间估计一 概念eg1 对上海地区的明天的平均气温T进行预测 则假定T a b 则称随机区间为 的置信度为1 的双侧置信区间 分别称为置信度为1 的双侧置信下限和双侧置信上限 D2 上述定义中若为则称为 的单侧置信下限 若为则称为 的单侧置信上限 eg1 设某车间生产滚珠 其直径X N 2 其中 2 0 04 未知 现对其中6个滚珠测得 在置信度0 95下求 的双侧置信区间 解 的置信度为0 95的双侧置信区间 即 的置信度为0 95的双侧置信区间 1 求正态总体参数置信区间的解题步骤 1 根据实际问题构造样本的函数 要求仅含待估参数且分布已知 2 令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1 要求区间按几何对称或概率对称 3 解不等式得随机的置信区间 4 由样本观测值及 查分布表计算所求置信区间 二 正态总体参数的区间估计 一 单个正态总体 eg2 设有一批糖果 其净重X N 2 现对其中16包测得 在置信度0 95下求 的双侧置信区间 解 的置信度为0 95的双侧置信区间 eg3 设有一批糖果 其净重X N 2 现对其中16包测得 在置信度0 95下求 2的双侧置信区间 解 2的置信度为0 95的双侧置信区间