《概率统计浙大版》PPT课件.ppt

概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布2012 9 19 一 随机变量概念的产生 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 1随机变量 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 四月份哈尔滨的最高温度 每天进入一号楼的人数 昆虫的产卵数 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样 二者建立了一种对应关系 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数 e X e R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X X e 为 随 量 机 变 简记为r v 随机变量通常用大写字母X Y Z W N等表示 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达 二 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 没有收到呼叫 X1 X 0 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 我们将研究两类随机变量 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 三 随机变量的分类 这两种类型的随机变量因为都是随机变量 自然有很多相同或相似之处 但因其取值方式不同 又有其各自的特点 学习时请注意它们各自的特点和描述方法 全部可能取值无穷多 不能一一列举 充满一个区间 所有取值可以逐个一一列举 解 分析 例1一报童卖报 每份0 15元 其成本为0 10元 报馆每天给报童1000份报 并规定他不得把卖不出的报纸退回 设X为报童每天卖出的报纸份数 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示 当0 15X 1000 0 1时 报童赔钱 故 报童赔钱 X666 看一个例子 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 1 X可能取的值是0 1 2 2 取每个值的概率为 一 离散型随机变量分布律的定义 2离散型随机变量及其分布律 定义1 某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个 这种随机变量称为离散型随机变量 其中 k 1 2 满足 2 定义2 设xk k 1 2 是离散型随机变量X所取的一切可能值 称 为离散型随机变量X的分布律 用这两条性质判断一个函数是否是分布律 解 依据分布律的性质 a 0 从中解得 即 例2 设随机变量X的分布律为 k 0 1 2 试确定常数a 二 离散型随机变量表示方法 列表法 图示法 公式法 P X xk pk 例3某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解 X可取值为0 1 2 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 常常表示为 这就是X的分布律 例5一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的分布律 解 依题意 X可取值0 1 2 3 P X 0 P A1 1 2 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 即 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 三 三种常见分布 1 0 1 分布 也称两点分布 随机变量X只可能取0与1两个值 其分布律为 看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次 X的分布律是 2 伯努利试验和二项分布 令X表示3次中出现 4 点的次数 掷骰子 掷出4点 未掷出4点 抽验产品 是正品 是次品 一般地 设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果 A或 这样的试验E称为伯努利试验 重复 是指这n次试验中P A p保持不变 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 独立 是指各次试验的结果互不影响 用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 则 易证 1 称r vX服从参数为n和p的二项分布 记作 X b n p 2 例6已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是伯努利试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 则 X b 3 0 05 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 此试验就不是伯努利试验 此时 只能用古典概型求解 请注意 伯努利试验对试验结果没有等可能的要求 但有下述要求 1 每次试验条件相同 二项分布描述的是n重伯努利试验中事件A出现的次数X的分布律 2 每次试验只考虑两个互逆结果A或 3 各次试验相互独立 可以简单地说 且P A p 例7某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0 2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 解 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 X b 3 0 8 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验 使用到1000小时已坏 视为事件A 每次试验 A出现的概率为0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 3 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 且概率分布为 其中 0是常数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X 例8一家商店采用科学管理 由该商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数 5的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底至少应进某种商品多少件 解 设该商品每月的销售数为X 已知X服从参数 5的泊松分布 设商店在月底应进某种商品m件 进货数 销售数 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 m 9件 或 泊松定理 设 0是常数 n是正整数 则有 定理的条件意味着当n很大时 pn必定很小 因此 泊松定理表明 以n p为参数的二项分布当n很大 p很小时趋于参数 np的泊松分布 即 二 有甲 乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯 如果从中挑4杯 能将甲种酒全部挑出 算是试验成功一次 1 某人随机地去猜 他成功一次的概率是多少 2 某人声称他能通过品尝能区分两种酒 他连续试验10次 成功3次 试推断他是猜对的还是确有区分能力 设各次试验是相互独立的 解 设A表示 成功一次 由题意可得 设X表示 某人随机地去猜10次 成功区分两种酒的次数 则 所以 一 分布函数的定义 第三节随机变量的分布函数 1 在分布函数的定义中 X是随机变量 x是参变量 2 F x 是r vX取值不大于x的概率 3 对任意实数x1 x2 随机点落在区间 x1 x2 内的概率为 P x1 Xx2 因此 只要知道了随机变量X的分布函数 它的统计特性就可以得到全面的描述 P Xx2 P Xx1 F x2 F x1 请注意 分布函数是一个普通的函数 正是通过它 我们可以用高等数学的工具来研究随机变量 当x 0时 Xx 故F x 0 例1 设随机变量X的分布律为 当0 x 1时 F x P Xx P X 0 求X的分布函数F x 当1x 2时 F x P X 0 P X 1 当x2时 F x P X 0 P X 1 P X 2 1 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下 的分布函数图 设离散型r vX的分布律是 P X xk pk k 1 2 3 F x P Xx 即F x 是X取的诸值xk的概率之和 一般地 则其分布函数 二 分布函数的性质 1 如果一个函数具有上述性质 则一定是某个r vX的分布函数 也就是说 性质 1 3 是鉴别一个函数是否是某r v的分布函数的充分必要条件 3 F x 右连续 即 2 试说明F x 能否是某个r v的分布函数 例2设有函数F x 解注意到函数F x 在上下降 不满足性质 1 故F x 不能是分布函数 不满足性质 2 可见F x 也不能是r v的分布函数 或者 例 以下几个函数那些是分布函数 解设F x 为X的分布函数 当x 0时 F x P Xx 0 当x a时 F x 1 例3在区间 0 a 上任意投掷一个质点 以X表示这个质点的坐标 设这个质点落在 0 a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比 试求X的分布函数 当0 xa时 P 0Xx kx k为常数 F x P Xx P X 0 P 0Xx x a 故 这就是在区间 0 a 上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数 F x P Xx 故 第四节连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 如果X为连续型随机变量 称f x 为X的概率密度函数 简称为概率密度 一 连续型随机变量及其概率密度的定义 有 连续型随机变量的分布函数在上连续 二 概率密度的性质 1o 2o 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率 对于任意实数x1 x2 x1 x2 若f x 在点x处连续 则有 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 若x是f x 的连续点 则 对f x 的进一步理解 若不计高阶无穷小 有 表示随机变量X取值于的概率近似等于 要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 a 1 连续型r v取任一指定实数值a的概率均为0 即 这是因为 请注意 当时 得到 2 对连续型r vX 有 由P B 1 不能推出B S 由P A 0 不能推出 1 均匀分布 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 X U a b 三 三种重要的连续型随机变量 若r vX的概率密度为 记作 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间 即乘客的候车时间等 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 例2某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命 2 指数分布 若r vX具有概率密度 为常数 则称X服从参数为的指数分布 若X服从参数为的指数分布 则其分布函数为 事实上 当时 当时 3 正态分布 若连续型r vX的概率密度为 记作 其中和 0 都是常数 则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布 事实上 则有 曲线关于轴对称 x 为f x 的两个拐点的横坐标 当x 时 f x 0 f x 以x轴为渐近线 根据对密度函数的分析 也可初步画出正态分布的概率密度曲线图 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 正态分布的分布函数 正态分布由它的两个参数 和 唯一确定 当 和 不同时 是不同的正态分布 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 标准正态分布 的性质 事实上 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 定理1 证 Z的分布函数为 则有 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 于是 书末附有标准正态分布函数数值表 有了它 可以解决一般正态分布的概率计算查表 正态分布表 当x 0时 表中给的是x 0时 x 的值 若 若X N 0 1 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 3准则 将上述结论推广到一般的正态分布 这在统计学上称作 3准则 N 0 1 时 标准正态分布的上分位点 设 若数满足条件 解 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 看一个应用正态分