大学数学(高数微积分)第一章多项式第二节(课堂讲义).ppt

主要内容 定义 多项式的运算 第二节一元多项式 多项式的运算规律 一 定义 在对多项式的讨论中 我们总是以一个预先给 定的数域P作为基础 设x是一个符号 或称文字 我们有 定义2设n是一非负整数 形式表达式 anxn an 1xn 1 a1x a0 1 其中a0 a1 an 1 an全属于数域P 称为系数 在数域P中的一元多项式 或者简称为数域P 上的一元多项式 中 aixi称为i次项 ai称为 i次项的系数 以后我们用f x g x 或f g 等来代表多项式 注意 我们这儿定义的多项式是符号或文字 的形式表达式 当这符号是未知数时 它是中学所 学代数中的多项式 看应用需要 这个符号还可以 代表其他待定事物 为了能统一研究未知数和其他 在多项式 待定事物的多项式 我们才抽象地定义上述形式表 达式 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事 物所满足的运算规律 统一研究以得到它们普遍的 公共的性质 定义3如果在多项式f x 与g x 中 除去 系数为零的项外 同次项的系数全相等 那么f x 与g x 就称为相等 记为 f x g x 系数全为零的多项式称为零多项式 记为0 在 中 如果an 0 那么anxn称为多项 式 1 的首项 an称为首项系数 n称为多项式 1 的次数 零多项式是唯一不定义次数的多项式 多项式f x 的次数记为 f x 二 多项式的运算 为便于计算和讨论 我们常常用和号来表达多 项式 设 f x anxn an 1xn 1 a1x a0 g x bmxm bm 1xm 1 b1x b0 是数域P上两个多项式 那么它们可以写成 2 加法 在表示多项式f x 与g x 的和时 如n m 为了方便起见 在g x 中令bn bn 1 bm 1 0 那么f x 与g x 的和为 f x g x an bn xn an 1 bn 1 xn 1 a1 b1 x a0 b0 3 乘法 f x g x anbmxn m anbm 1 an 1bm xn m 1 a1b0 a0b1 x a0b0 其中s次项的系数是 所以f x g x 可表成 显然 数域P上的两个多项式经过加 减 乘 等运算后 所得结果仍然是数域P上的多项式 对于多项式的加减法 不难看出 f x g x max f x g x 对于多项式的乘法 可以证明 如果f x 0 g x 0 那么f x g x 0 并且 f x g x f x g x 由以上证明还看出 多项式乘积的首项系数就 等于因子首项系数的乘积 显然 上面得出的结果都可以推广到多个多项 式的情形 下面来讨论多项式的运算所满足的规律 三 多项式的运算规律 1 加法交换律 f x g x g x f x 2 加法结合律 f x g x h x f x g x h x 3 乘法交换律 f x g x g x f x 4 乘法结合律 f x g x h x f x g x h x 5 乘法对加法的分配律 f x g x h x f x g x f x h x 6 乘法消去律 如果f x g x f x h x 且f x 0 那么 g x h x 定义4所有系数在数域P中的一元多项式的 全体 称为数域P上的一元多项式环 记为P x P称为P x 的系数域 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按