大地测量学第二章.pptVIP

1 第四章地球椭球数学投影的基本理论 2 4 1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球选择的是旋转椭球 旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数 或称元素 长半轴 短半轴 椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率通常用a 3 为简化书写 还常引入以下符号 椭球基本参数及其互相关系 4 坐标系统1 1 大地基准所谓基准是指为描述空间位置而定义的点 线 面 在大地测量中 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数 如参考椭球的长短半轴 以及参考椭球在空间中的定位及定向 还有在描述这些位置时所采用的单位长度的定义 测量常用的基准包括平面基准 高程基准 重力基准等 5 2 大地测量坐标系 天球坐标系 用于研究天体和人造卫星的定位与运动 地球坐标系 用于研究地球上物体的定位与运动 是以旋转椭球为参照体建立的坐标系统 分为大地坐标系和空间直角坐标系两种形式 基准和坐标系两方面要素构成了完整的坐标参考系统 6 天球坐标系 7 大地坐标系与空间直角坐标 8 3 高程参考系统以大地水准面为参照面的高程系统称为正高以似大地水准面为参照面的高程系统称为正常高 大地水准面相对于旋转椭球面的起伏如图所示 正常高及正高与大地高有如下关系 H H正常 H H正高 N 9 国家平面控制网是全国进行测量工作的平面位置的参考框架 国家平面控制网是按控制等级和施测精度分为一 二 三 四等网 目前提供使用的国家平面控制网含三角点 导线点共154348个 国家高程控制网是全国进行测量工作的高程参考框架 按控制等级和施测精度分为一 二 三 四等网 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041个 水准路线长度为4166191公里 大地测量参考系统的具体实现 是通过大地测量手段确定的固定在地面上的控制网 点 所构建坐标参考架 高程参考框架 重力参考框架 10 国家重力基本网是确定我国重力加速度数值的参考框架 目前提供使用的2000国家重力基本网包括21个重力基准点和126个重力基本点 2000国家GPS控制网 由国家测绘局布设的高精度GPSA B级网 总参布设的GPS一 二级网 地震局 总参测绘局 科学院 国家测绘局共建的中国地壳运动观测网组成 该控制网整合了上述三个大型的有重要影响力的GPS观测网的成果 共2609个点 通过联合处理将其归于一个坐标参考框架 可满足现代测量技术对地心坐标的需求 是我国新一代的地心坐标系统的基础框架 11 椭球定位和定向概念椭球的类型 参考椭球 具有确定参数 长半径a和扁率 经过局部定位和定向 同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球 总地球椭球 除了满足地心定位和双平行条件外 在确定椭球参数时能使它在全球范围内与大地体最密合的地球椭球 椭球定位 是指确定椭球中心的位置 可分为两类 局部定位和地心定位 12 局部定位 要求在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合 而对椭球的中心位置无特殊要求 地心定位 要求在全球范围内椭球面与大地水准面最佳的符合 同时要求椭球中心与地球质心一致 椭球的定向指确定椭球旋转轴的方向 不论是局部定位还是地心定位 都应满足两个平行条件 椭球短轴平行于地球自转轴 大地起始子午面平行于天文起始子午面 13 4 地固坐标系 地球坐标系 以参考椭球为基准的坐标系 与地球体固连在一起且与地球同步运动 参考椭球的中心为原点的坐标系 又称为参心地固坐标系 以总地球椭球为基准的坐标系 与地球体固连在一起且与地球同步运动 地心为原点的坐标系 又称为地心地固坐标系 特点 地面上点坐标在地固坐标系中不变 不考虑潮汐 板块运动 在天球坐标系中是变化的 地球自转 14 坐标系统是由坐标原点位置 坐标轴的指向和尺度所定义的 对于地固坐标系 坐标原点选在参考椭球中心或地心 坐标轴的指向具有一定的选择性 国际上通用的坐标系一般采用协议地极方向CTP 作为Z轴指向 因而称为协议 地固 坐标系 与其相对应坐标系瞬时地球坐标系称为瞬时 地固 坐标系 15 地球参心坐标系建立地球参心坐标系 需如下几个方面的工作 选择或求定椭球的几何参数 半径a和扁率 确定椭球中心的位置 椭球定位 确定椭球短轴的指向 椭球定向 建立大地原点 16 大地原点和大地起算数据大地原点也叫大地基准点或大地起算点 参考椭球参数和大地原点上的起算数据的确立是一个参心大地坐标系建成的标志 17 1954年北京坐标系1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸 它的原点不在北京 而在前苏联的普尔科沃 相应的椭球为克拉索夫斯基椭球 1954年北京坐标系的缺限 椭球参数有较大误差 参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜 在东部地区大地水准面差距最大达 68m 18 几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一 我国在处理重力数据时采用赫尔默特1900 1909年正常重力公式 与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球 它与克拉索夫斯基椭球是不一致的 这给实际工作带来了麻烦 定向不明确 19 1980年国家大地坐标系特点 采用1975年国际大地测量与地球物理联合会IUGG第16届大会上推荐的5个椭球基本参数 长半径a 6378140m 地球的扁率为1 298 257 地心引力常数GM 3 986005 1014m3 s2 重力场二阶带球谐系数J2 1 08263 10 8 自转角速度 7 292115 10 5rad s 在1954年北京坐标系基础上建立起来的 椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合 是多点定位 20 定向明确 椭球短轴平行于地球质心指向地极原点的方向 大地原点地处我国中部 位于西安市以北60km处的泾阳县永乐镇 简称西安原点 大地高程基准采用1956年黄海高程系 21 新1954年北京坐标系 BJ54新 新1954年北京坐标系 是在GDZ80基础上 改变GDZ80相对应的IUGG1975椭球几何参数为克拉索夫斯基椭球参数 并将坐标原点 椭球中心 平移 使坐标轴保持平行而建立起来的 22 23 BJ54新的特点是 采用克拉索夫斯基椭球参数 是综合GDZ80和BJ建立起来的参心坐标系 采用多点定位 但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合 定向明确 坐标轴与GDZ80相平行 椭球短轴平行于地球质心 指向1968 0地极原点的方向 地原点与GDZ80相同 但大地起算数据不同 高程基准采用1956年黄海高程系 与BJ54相比 所采用的椭球参数相同 其定位相近 但定向不同 24 地心坐标系原点O与地球质心重合 Z轴指向地球北极 X轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点 Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系 地球北极是地心地固坐标系的基准指向点 地球北极点的变动将引起坐标轴方向的变化 基准指向点的指向不同 可分为瞬时地心坐标系与协议地心坐标系 在大地测量中采用的地心地固坐标系大多采用协议地极原点CIO为指向点 25 地心地固坐标系的建立方法 直接法 间接法 通过一定的资料 包括地心系统和参心系统的资料 求得地心和参心坐标系之间的转换参数 然后按其转换参数和参心坐标 间接求得点的地心坐标的方法 通过一定的观测资料 如天文 重力资料 卫星观测资料等 直接求得点的地心坐标的方法 如天文重力法和卫星大地测量动力法等 26 2 WGS 84世界大地坐标系WGS 84是CTS 坐标系的原点是地球的质心 Z轴指向BIH1984 0CTP方向 X轴指向BIH1984 0零子午面和CTP赤道的交点 Y轴和Z X轴构成右手坐标系 5个基本参数 a 6378137m e2 0 0066943799013 GM 3986005 108m3s 2 C2 0 484 16685 10 6 7292115 10 11rad s 27 WGS 84坐标系是目前GPS所采用的坐标系统 GPS卫星所发布的广播星历参数就是基于此坐标系统的 WGS 84坐标系统的全称是WorldGeodicalSystem 84 世界大地坐标系 84 它是一个地心地固坐标系统 WGS 84坐标系统由美国国防部制图局建立 于1987年取代了当时GPS所采用的坐标系统 WGS 72坐标系统而成为GPS的所使用的坐标系统 WGS 84坐标系的坐标原点位于地球的质心 Z轴指向BIH1984 0定义的协议地球极方向 X轴指向BIH1984 0的启始子午面和赤道的交点 Y轴与X轴和Z轴构成右手系 28 3 ITRS与ITRF国际地球自转服务IERS InternationalEarthRotationService 1988年 IUGG IAU IERS IBH IPMS IERS的任务主要有以下几个方面 维持国际天球参考系统 ICRS 和框架 ICRF 维持国际地球参考系统 ITRS 和框架 ITRF 提供及时准确的地球自转参数 EOP ICRS F InternationalCelestrialreferencesystemITRS F InternationalTerrestrialreferencesystemEOP EarthOrbitParameter 29 国际地球参考系统 ITRS ITRS是一种协议地球参考系统 CTRS 定义为CTRS的原点为地心 并且是指包括海洋和大气在内的整个地球的质心 CTRS的长度单位为米 m 并且是在广义相对论框架下的定义 CTRS的定向Z轴从地心指向BIH1984 0定义的协议地球极 CTP X轴从地心指向格林尼治平均子午面与CTP赤道的交点 Y轴与XOZ平面垂直而构成右手坐标系 CTRS的定向的随时演变满足地壳无整体旋转NNR条件的板块运动模型 坐标系统 续 国际地球参系统ITRS 30 ITRF是ITRS的具体实现 是由IERS InternationalEarthRotationService 中心局IERSCB利用VLBI LLR SLR GPS和DORIS等空间大地测量技术的观测数据分析得到的一组全球站坐标和速度 自1988年起 IERS已经发布ITRF88 ITRF89 ITRF90 ITRF91 ITRF92 ITRF93 ITRF94 ITRF96 ITRF2000等全球参考框架 ITRF是通过框架的定向 原点 尺度和框架时间演变基准的明确定义来实现的 http lareg ensg ign fr ITRF solutions html 31 5 站心坐标系以测站为原点 测站上的法线 垂线 为Z轴方向的坐标系就称为法线 或垂线 站心坐标系垂线站心坐标系法线站心坐标系 32 按坐标原点的不同分类地心坐标系统 地心空间直角坐标系 地心大地直角坐标系 参心坐标系统 参心空间直角坐标系 参心大地直角坐标系 站心坐标系统 站心直角坐标系 站心极坐标系 33 坐标系换算1 欧勒角与旋转矩阵两个直角坐标系进行相互变换的旋转角称为欧勒角 二维直角坐标系旋转 坐标系换算 34 三维空间直角坐标系的旋转O X1Y1Z1和O X2Y2Z2 通过三次旋转 可实现O X1Y1Z1到O X2Y2Z2的变换 35 36 37 不同空间直角坐标系转换 38 39 40 注意 由于公共点的坐标存在误差 求得的转换参数将受其影响 公共点坐标误差对转换参数的影响与点位的几何分布及点数的多少有关 为了求得较好的转换参数 应选择一定数量 精度较高 分布较均匀公共点 当利用3个以上的公共点求解转换参数时存在多余观测 由于公共点误差的影响而使得转换的公共点的坐标值与已知值不完全相同 而实际工作中又往往要求所有的已知点的坐标值保持固定不变 为了解决这一矛盾 可采用配置法 将公共点的转换值改正为已知值 对非公共点的转换值进行相应的配置 41 计算公共点转换值的改正数V 已知值 转换值 公共点的坐标采用已知值 采用配置法计算非公共点转换值的改正数 42 不同大地坐标系换算 43 44 45 46 47 称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式 在新旧坐标变换时 通常采用最小二乘法求 48 4 2椭球面上常用坐标系及其关系4 2 1各种坐标系的建立1 大地坐标系大地经度L大地纬度B大地高H 49 优点 是整个椭球体上统一的坐标系 是全世界公用的最方便的坐标系统 应用在测图和制图中可以确定该点的垂线偏差的大小作用 用于大地测量计算地球形状研究地图编制 50 2 空间直角坐标系坐标原点位于总地球椭球 或参考椭球 质心 Z轴与地球平均自转轴相重合 亦即指向某一时刻的平均北极点 X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G Y轴与此平面垂直 且指向东为正 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分 常用坐标系及其关关系 51 3 子午面直角坐标系设P点的大地经度为L 在过P点的子午面上 以子午圈椭圆中心为原点 建立x y平面直角坐标系 在该坐标系中 P点的位置用L x y表示 常用坐标系及其关系 52 4 地心纬度坐标系及归化纬度坐标系设椭球面上P点的大地经度L 在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系 以椭球长半径a为半径作辅助圆 延长 与辅助圆相交 点 则OP 与x轴夹角称为P点的归化纬度u 常用坐标系及其关系 53 常用坐标系及其关系 5 大地极坐标系M是椭球面上一点 MN是过M的子午线 S为连接MP的大地线长 A为大地线在M点的方位角 以M为极点 MN为极轴 P点极坐标为 S A 54 常用坐标系及其关系 4 2 2坐标系之间的相互关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系 55 常用坐标系及其关系 令 pn N 图示 56 常用坐标系及其关系 空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系 57 常用坐标系及其关系 空间直角坐标系同大地坐标系 在椭球面上的点 不在椭球面上的点 58 常用坐标系及其关系 由空间直角坐标计算相应大地坐标 59 B u 之间的关系B和u之间的关系 常用坐标系及其关系 60 常用坐标系及其关系 U 之间的关系 之间的关系 大地纬度 地心纬度 归化纬度之间的差异很小 经过计算 当B 45 时 61 4 3椭球面上的几种曲率半径过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线 包含这条法线的平面叫作法截面 法截面与椭球面的交线叫法截线 子午圈曲率半径 62 椭球面上几种曲率半径 63 椭球面上几种曲率半径 64 卯酉圈曲率半径 N 卯酉圈 过椭球面上一点的法线 可作无限个法截面 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈 麦尼尔定理 假设通过曲面上一点引两条截弧 一为法截弧 一为斜截弧 且在该点上这两条截弧具有公共切线 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦 椭球面上几种曲率半径 65 椭球面上几种曲率半径 66 卯酉圈曲率半径的特点 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度 亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上 椭球面上几种曲率半径 67 主曲率半径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N 是两个互相垂直的法截弧的曲率半径 这在微分几何中统称为主曲率半径 椭球面上几种曲率半径 68 椭球面上几种曲率半径 69 椭球面上几种曲率半径 70 71 任意法截弧的曲率半径 椭球面上几种曲率半径 顾及 72 任意法截弧的曲率半径的变化规律 不仅与点的纬度B有关 而且还与过该点的法截弧的方位角A有关 当 时 变为计算子午圈曲率半径的 即 当 90 时 为卯酉圈曲率半径 即 主曲率半径M及N分别是 的极小值和极大值 当A由0 90 时 之值由 当A由90 180 时 值由N 可见 值的变化是以90 为周期且与子午圈和卯酉圈对称的 椭球面上几种曲率半径 73 平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值 椭球面上几种曲率半径 74 M N R的关系 椭球面上几种曲率半径 75 对于克拉索夫斯基椭球 椭球面上几种曲率半径 76 4 4椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式 77 椭球面上的弧长计算 78 椭球面上几种曲率半径 79 如果以B 90 代入 则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m 旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008549 995m 即一象限子午线弧长约为10000km 地球周长约为40000km 为求子午线上两个纬度B 及 间的弧长 只需按弧长公式分别算出相应的X 及X 而后取差 该 即为所求的弧长 当弧长甚短 例如X 40km 计算精度到0 001m 可视子午弧为圆弧 而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M 椭球面上的弧长计算 80 由子午弧长求大地纬度迭代解法 平行圈弧长公式 椭球面上的弧长计算 81 椭球面上的弧长计算 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 82 4 5大地线两点间的最短距离 在平面上是两点间的直线 在球面上是两点间的大圆弧 那么在椭球面上又是怎样的一条线呢 它应是大地线 相对法截线 83 相对法截线 大地线 84 相对法截线的特点 当A B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时 正反法截线则合二为一 在通常情况下 正反法截线是不重合的 因此在椭球面上A B C三个点处所测得的角度 各点上正法截线之夹角 将不能构成闭合三角形 为了克服这个矛盾 在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线 从而得到由大地线构成的单一的三角形 大地线 85 大地线 大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线 86 大地线的性质 大地线是两点间惟一最短线 而且位于相对法截线之间 并靠近正法截线 它与正法截线间的夹角在椭球面上进行测量计算时 应当以两点间的大地线为依据 在地面上测得的方向 距离等 应当归算成相应大地线的方向 距离 长度差异可忽略 方向差异需改化 大地线 87 大地线的微分方程和克莱劳方程 大地线的微分方程 88 大地线的微分方程 89 大地线的微分方程 大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上 大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数 式中常数C也叫大地线常数 90 当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出 91 4 6将地面观测值归算至椭球面观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线 而是各点的垂线 各点的垂线与法线存在着垂线偏差 归算的两条基本要求 以椭球面的法线为基准 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素 将地面观测的水平方向归算至椭球面将水平方向归算至椭球面上 包括垂线偏差改正 标高差改正及截面差改正 习惯上称此三项改正为三差改正 92 垂线偏差改正以测站A为中心作出单位半径的辅助球 u是垂线偏差 它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以 表示 M是地面观测目标m在球面上的投影 垂线偏差对水平方向的影响是 R R1 地面观测值归算至椭球面 93 标高差改正 地面观测值归算至椭球面 94 截面差改正 地面观测值归算至椭球面 95 96 高程对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面 97 电磁波测距的归算 地面观测值归算至椭球面 98 地面观测值归算至椭球面 99 地面观测值归算至椭球面 D 地面倾斜距离 S 椭球面大地线长度 H1 H2 大地高 RA 沿观测方向的曲率半径 已知数值 D 34884 181m B1 30 33 A12 129 35 H1 3930 35m H2 3879 54m 常数值 a 6378245m e2 0 00669342 e 2 0 00673852解 RA 6371440m S 34862 821m 100 地面观测值归算至椭球面 101 大地测量主题解算 4 7 1大地主题解算的一般说明主题解算分为 短距离 400km 中距离 1000km 长距离 1000km以上 102 1 以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础 直接在地球椭球面上进行积分运算 主要特点 解算精度与距离有关 距离越长 收敛越慢 因此只适用于较短的距离典型解法 高斯平均引数法 大地测量主题解算 103 2 以白塞尔大地投影为基础1 按椭球面上的已知值计算球面相应值 即实现椭球面向球面的过渡 2 在球面上解算大地问题 3 按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值 即实现从圆球向椭球的过渡 典型解法 白塞尔大地主题解算 特点 解算精度与距离长短无关 它既适用于短距离解算 也适用于长距离解算 可适应20000km或更长的距离 这对于国际联测 精密导航 远程导弹发射等都具有重要意义 大地测量主题解算 104 4 7 2勒让德级数式为了计算的级数展开式 关键问题是推求各阶导数 大地测量主题解算 105 一阶导数 二阶导数 大地测量主题解算 106 三阶导数 大地测量主题解算 107 大地测量主题解算 108 大地测量主题解算 109 大地测量主题解算 110 4 7 3高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式推导的基本思想 首先把勒让德级数在P 点展开改在大地线长度中点M展开 以使级数公式项数减少 收敛快 精度高 其次 考虑到求定中点M的复杂性 将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替 并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解 大地测量主题解算 111 1 建立级数展开式 大地测量主题解算 112 同理可得 2 大地测量主题解算 113 大地测量主题解算 114 大地测量主题解算 3 由大地线微分方程依次求偏导数 115 大地测量主题解算 116 大地测量主题解算 117 同理可得 大地测量主题解算 118 注意 从公式可知 欲求 及 必先有 及 但由于 2和 21未知 故精确值尚不知 为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算 除此之外 此方法适合与200公里以下的大地问题解算 其计算经纬计算精度可达到0 0001 方位角计算精度可达到0 001 119 4 7 4高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出 上述两式的主式为 120 121 已知 求得 122 123 4 7 5白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想 以辅助球面为基础 将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形 由三角形对应元素关系 将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上 然后在球面上进行大地主题解算 最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上 这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式 同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法 124 在球面上进行大地主题解算球面上大地主题正算 已知求解球面上大地主题反算 已知求解 125 1 球面三角元素间的相互关系 126 球面上大地主题正解 127 球面上大地主题反解方法 128 2 椭球面和球面上坐标关系式 129 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为 130 白塞尔提出如下三个投影条件 1 椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2 大地线和大圆弧上相应点的方位角相等 3 球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度 131 132 以上为白塞尔微分方程 133 3 白塞尔微分方程的积分 134 135 积分得到下式 136 反算 正算 迭代法 直接法 137 适合于反算 适合于正算 迭代法 直接法 138 139 将三角函数幂级数用倍角函数代替 合并同类项 积分 截去4倍角项 其值小于0 0001秒 140 正算 反算 141 4白塞尔法大地主题正算步骤 1 计算起点的归化纬度2 计算辅助函数值 解球面三角形可得 3 按公式计算相关系数A B C以及 142 4 计算球面长度迭代法 直接法 143 5 计算经度差改正数6 计算终点大地坐标及大地方位角 144 145 5白塞尔法大地主题反算步骤 1 辅助计算 146 2 用逐次趋近法同时计算起点大地方位角 球面长度及经差 第一次趋近时 取 147 计算下式 重复上述计算过程2 3 计算大地线长度S4 计算反方位角 148 149 150 4 8地图数学投影变换的基本概念 1 地图数学投影变换的意义和投影方程 所谓地图数学投影 简略地说来就是将椭球面上元素 包括坐标 方位和距离 按一定的数学法则投影到平面上 研究这个问题的专门学科叫地图投影学 投影变换的基本概念 151 2 地图投影的变形1 长度比 长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds 与椭球面上相应的微分线段dS二者之比 不同点上的长度比不相同 而且同一点上不同方向的长度比也不相同 投影变换的基本概念 152 2 主方向和变形椭圆投影后一点的长度比依方向不同而变化 其中最大及最小长度比的方向 称为主方向 在椭球面的任意点上 必定有一对相互垂直的方向 它在平面上的投影也必是相互垂直的 这两个方向就是长度比的极值方向 也就是主方向 投影变换的基本概念 153 投影变换的基本概念 以定点为中心 以长度比的数值为向径 构成以两个长度比的极值为长 短半轴的椭圆 称为变形椭圆 154 3 投影变形1 长度变形 投影变换的基本概念 155 2 方向变形 投影变换的基本概念 156 3 角度变形 角度变形就是投影前的角度u与投影后对应角度u 之差 投影变换的基本概念 157 4 面积变形 P 14 8 3地图投影的分类1 按变形性质分类1 等角投影 投影前后的角度不变形 投影的长度比与方向无关 即某点的长度比是一个常数 又把等角投影称为正形投影 2 等积投影 投影前后的面积不变形 3 任意投影 既不等角 又不等积 投影变换的基本概念 158 2 按经纬网投影形状分类1 方位投影取一平面与椭球极点相切 将极点附近区域投影在该平面上 纬线投影后为以极点为圆心的同心圆 而经线则为它的向径 且经线交角不变 LightSource 投影变换的基本概念 159 2 圆锥投影 取一圆锥面与椭球某条纬线相切 将纬圈附近的区域投影于圆锥面上 再将圆锥面沿某条经线剪开成平面 投影变换的基本概念 160 3 圆柱 或椭圆柱 投影取圆柱 或椭圆柱 与椭球赤道相切 将赤道附近区域投影到圆柱面 或椭圆柱面 上 然后将圆柱或椭圆柱展开成平面 投影变换的基本概念 161 3 按投影面和原面的相对位置关系分类1 正轴投影 圆锥轴 圆柱轴 与地球自转轴相重合的投影 称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影 2 斜轴投影 投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影 3 横轴投影 投影面的轴线与地球自转轴相垂直 且与某一条经线相切所得的投影 比如横轴椭圆柱投影等 除此之外 投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线 这就是所谓割圆锥 割圆柱投影等 投影变换的基本概念 162 4 9高斯平面直角坐标系1 高斯投影概述 控制测量对地图投影的要求 1 采用等角投影 又称为正形投影 2 长度和面积变形不大 3 能按高精度的 简单的 同样的计算公式把各区域联成整体高斯投影描述 高斯平面直角坐标系 163 高斯平面直角坐标系 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面 并与某一条子午线 此子午线称为中央子午线或轴子午线 相切 椭圆柱的中心轴通过椭球体中心 然后用一定投影方法 将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上 再将此柱面展开即成为投影面 164 投影带 以中央子午线为轴 两边对称划出一定区域作为投影范围 1 分带原则 1 限制长度变形使其不大于测图误差 2 带数不应过多以减少换带计算工作 我国规定按经差6 和3 进行投影分带 高斯平面直角坐标系 2 分带方法 165 高斯平面直角坐标系 6 带 自0 子午线起每隔经差6 自西向东分带 依次编号1 2 3 60 我国6 带中央子午线的经度 由73 起每隔6 而至135 共计11带 带号用n表示 中央子午线的经度用 表示 带号及中央子午线经度的关系 3 带 自东经1 5 子午线起 每隔3 设立一个投影带 依次编号为1 2 3 120带 中央子午线经度依次为3 6 9 360 带号及中央子午线经度的关系 166 5 带或任意带 工程测量控制网也可采用 5 带或任意带 但为了测量成果的通用 需同国家6 或3 带相联系 n L 3 四舍五入 3 高斯平面直角坐标系 167 高斯平面直角坐标系 例 某控制点P点 按3 带 按6 带 168 在投影面上 中央子午线和赤道的投影都是直线 并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点 以中央子午线的投影为纵坐标轴 以赤道的投影为横坐标轴 高斯平面直角坐标系 169 6 带与3 带的区别与联系区别6 带 从0 子午线起划分 带宽6 用于中小比例尺 1 25000以下 测图 3 带 从1 5 子午线起划分 带宽3 用于大比例尺 如1 10000 测图 3 带是在6 带的基础上划分的 6 带的中央子午线及分带子午线均作为3 带的中央子午线 其奇数带的中央子午线与6 带中央子午线重合 偶数带与分带子午线重合 高斯平面直角坐标系 170 高斯平面直角坐标系 国家统一坐标 在我国x坐标都是正的 y坐标的最大值 在赤道上 约为330km 为了避免出现负的横坐标 规定在横坐标上加上500000m 此外还应在坐标前面再冠以带号 这种坐标称为国家统一坐标 例如 Y 19123456 789m该点位在19带内 横坐标的真值 首先去掉带号 再减去500000m 最后得y 376543 211 m 171 高斯平面直角坐标系 分带存在的问题 边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内 使得地形图不能正确拼接 采用带重叠的方法解决此问题 172 高斯投影特点 正形投影 保证了投影的角度的不变性 图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性 由于采用了同样法则的分带投影 这既限制了长度变形 又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算 并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行 高斯平面直角坐标系 173 2 椭球面元素化算到高斯投影面 174 3 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角 这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的 椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1 将起始点P的大地坐标 L B 归算为高斯平面直角坐标x y 为了检核还应进行反算 亦即根据x y反算B L 这项工作统称为高斯投影坐标计算 2 将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边P K 的坐标方位角 这是通过计算该点的子午线收敛角 及方向改化 实现的 175 因此将椭球面三角系归算到平面上 包括坐标 曲率改化 距离改化和子午线收敛角等项计算工作 当控制网跨越两个相邻投影带 以及为将各投影带联成统一的整体 还需要进行平面坐标的邻带换算 4 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s 这是通过计算距离改化 实现的 176 正形投影的一般条件 4 9 2正形投影的一般条件1 长度比的通用公式 177 正形投影的一般条件 178 正形投影的一般条件 将上述两式代入 4 334 式 整理 令 179 正形投影的一般条件 180 正形投影的一般条件 2 柯西 黎曼条件 181 正形投影的一般条件 正形条件m与A无关 即满足 182 正形投影的一般条件 则有 柯西 黎曼条件 183 正形投影的一般条件 考虑到F 0 E G 长度比公式简化为 184 把代入 4 347 考虑下式 正形投影的一般条件 185 柯西 黎曼条件的另一种解释方法 正形投影的一般条件 186 正形投影的一般条件 如果点在子午线上 L 常数 dl 0 如果点在平行圈上 B 常数dB 0 187 正形投影的一般条件 三角形ABB 与ACC 相似 188 高斯投影坐标正算 4 9 3高斯投影坐标正反算公式 1 高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件 1 中央子午线投影后为直线 2 中央子午线投影后长度不变 3 投影具有正形性质 即正形投影条件 高斯投影坐标正算公式推导如下 189 高斯投影坐标正算 1 由第一个条件可知 由于地球椭球体是一个旋转椭球体 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线 x为l的偶函数 而y则为l的奇函数 2 由第三个条件正形投影条件 190 由恒等式两边对应系数相等 建立求解待定系数的递推公式 高斯投影坐标正算 191 高斯投影坐标正算 m0 由第二条件可知 位于中央子午线上的点 投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长 即当l 0时 192 高斯投影坐标正算 193 高斯投影坐标正算 将各系数代入 略去高次项 精度为0 001m 194 高斯投影坐标反算 2 高斯投影坐标反算公式在高斯投影坐标反算时 原面是高斯平面 投影面是椭球面 已知的是平面坐标 x y 要求的是大地坐标 B L 相应地有如下投影方程 同正算一样 对投影函数提出三个条件 195 高斯投影坐标反算 1 由第一个条件可知 2 由第三个条件 正形条件 196 高斯投影坐标反算 197 高斯投影坐标反算 3 由第二条件 依次求各系数 因为 所以 198 高斯投影坐标反算 199 高斯投影坐标反算 200 高斯投影几何解释 3 高斯投影正反算公式的几何解释 201 高斯投影几何解释 202 高斯投影的特点 高斯投影的特点 1 当l等于常数时 随着B的增加x值增大 y值减小 无论B值为正或负 y值不变 这就是说 椭球面上除中央子午线外 其他子午线投影后 均向中央子午线弯曲 并向两极收敛 同时还对称于中央子午线和赤道 203 高斯投影的特点 2 当B等于常数时 随着l的增加 x值和y值都增大 所以在椭球面上对称于赤道的纬圈 投影后仍成为对称的曲线 同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极 3 距中央子午线愈远的子午线 投影后弯曲愈厉害 长度变形也愈大 204 4 9 4高斯投影坐标计算算例 1 WGS84 6378137 298 257223563 A0012463376 650249592 07212 GDZ80 6378140 298 257 A0012463377 797349592 09553 BJ54 6378245 298 3 A0012463420 565749592 9084 A001 205 平面子午线收敛角 4 9 5平面子午线收敛角公式1 平面子午线收敛角的定义 206 2 公式推导1 由大地坐标L B计算平面子午线收敛角 的公式 平面子午线收敛角 沿平行圈纬度不变 求微分得 高斯投影公式求便导数 207 平面子午线收敛角 代入上式 得 将 展开成tg 的级数 得 208 1 为l的奇函数 而且l愈大 也愈大 2 有正负 当描写点在中央子午线以东时 为正 在西时 为负 3 当l不变时 则 随纬度增加而增大 平面子午线收敛角 209 平面子午线收敛角 2 平面坐标x y计算平面子午线收敛角 的公式 P点沿与y轴平行方向微分变动到P 点 子午线收敛角可表示为 沿y坐标的微分 得 210 代入子午线收敛角公式 得 由高斯投影反算公式求出偏导数 得 211 代入上式子午线收敛角计算公式 得 将 展开成tg 的级数 得 212 方向改化公式 4 9 6方向改化公式 213 方向改化公式 1 方向改化近似公式的推导在球面上四边形ABED的内角之和等于360 由于是等角投影 所以这两个四边形内角之和应该相等 即 214 方向改化公式 上式具有0 1 的计算精度 适用于三 四等控制网的方向改化计算 改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km 215 4 9 7距离改化公式 216 1 s与D的关系 217 当 取最大40 s 50km时 代入上式得 因此 用D代替s在最不利情况下 误差也不会超过1mm 而实际上 边长要比50km短得多 此时误差将会更小 所以在应用上 完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D 218 2 长度比和长度变形 1 用大地坐标 B l 表示的长度比m的公式 219 2 用平面坐标 x y 表示的长度比m的公式 220 1 长度比m只与点的位置 B l 或 x y 有关 2 中央子午线投影后长度不变 3 当y 0 或l 时 m恒大于1 4 长度变形 m 1 与y 或l 成比例地增大 而对某一条子午线来说 在赤道处有最大的变形 221 3 距离改化公式将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上 变为平面长度D 222 4 9 8高斯投影的邻带坐标换算 1 位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带 东 西带 的控制网 223 2 在分界子午线附近地区测图时 往往需要用到另一带的三角点作为控制 因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 3 当大比例尺 1 10000或更大 测图时 特别是在工程