高等数学课件-导数与微分.ppt

第一节导数的概念 第二节求导法则 第三节微分及其在近似计算中的作用 导数与微分 第一节导数的概念 一两个实例 四求导举例 二导数的概念 三可导与连续 一 两个实例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二 导数的概念 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 运动质点的位置函数 在时刻的瞬时速度 曲线 在M点处的切线斜率 说明 在经济学中 边际成本率 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数 若上述极限不存在 在点不可导 若 也称 在 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 注意 就说函数 就称函数在I内可导 的导数为无穷大 在点 的某个右邻域内 2 左右导数 若极限 则称此极限值为 在处的右导数 记作 即 左 左 定义2 设函数 有定义 存在 定理函数 在点 且 存在 简写为 定理3 函数 左 左 若函数 与 都存在 则称 在开区间内可导 在闭区间上可导 可导的充分必要条件 是 且 3 导数的几何意义 若 曲线过 上升 若 曲线过 下降 若 切线与x轴平行 称为驻点 若 切线与x轴垂直 切线方程 法线方程 三 可导与连续 定理1 证 设 在点x处可导 存在 因此必有 其中 故 所以函数 在点x连续 注意 函数在点x连续未必可导 反例 在x 0处连续 但不可导 即 例3求函数y c c为常数 的导数 解因为y c为常数 所以 y 0 这就是说 常数的导数等于零 即 例如 若y 8 则 四 求导举例 解 sinx cosx cosx sinx 例4求函数y sinx的导数 即 同理可得 1 2 3步合并 解 即 ex ex 特别地 当a e时 有 ax axlna 例5求函数y ax a 0 a 1 的导数 当 x 0时 与 xlna是等价无穷小 1 2 3合并 例6求函数y lnx x 0 的导数 解 即 同理可得 1 2 3合并 y x x 3 x3 3x2 x 3x x 2 x 3 解 3x2 3x x x 2 即 例8求函数y x3的导数 同理可得幂函数求导公式 a为任意实数 例9求下列函数在指定点处的导数 1 2 解 1 因为 所以 2 因为 所以 思考题 3 函数在某点处的导数 区别 是函数 是数值 联系 注意 有什么区别与联系 与导函数 小结 1 导数的概念 2 可导与连续 3 求导举例 可导必定连续 连续不一定可导 4 已学过的导数公式 sinx cosx cosx sinx ex ex ax axlna 作业P602 3 6 7 谢谢同学们 一 函数的和 差 积 商的求导法则 二 复合函数的求导法则 四 初等函数的求导公式 三 反函数的求导法则 五 三个求导方法 六 高阶导数 第二节求导法则 第二节求导法则 一 函数的和 差 积 商的求导法则 例2 求证 证 类似可证 二 复合函数求导法则 证 在点u可导 故 当时 故有 例如 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 推广 此法则可推广到多个中间变量的情形 解 对于复合函数的分解比较熟悉后 就不必再写出中间变量 而可以采用下列例题的方式来计算 例5 求下列导数 解 1 2 3 说明 类似可得 例6 设 求 解 思考 若 存在 如何求 的导数 练习 设 例7 设 解 记 则 反双曲正弦 的反函数 三 反函数的求导法则 三 反函数的求导法则 定理2 y的某邻域内单调可导 证 在x处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 例9 求反三角函数及指数函数的导数 解 1 设 则 类似可求得 利用 则 2 设 则 小结 解 1 基本初等函数的导数公式 四 初等函数的求导公式 3 复合函数的求导法则 2 函数的和 差 积 商的求导法则 小结 和 差 积 商求导法则 复合函数求导法则 反函数求导法则 初等函数的求导公式 练习1 电流 电路中某点处的电流i是通过该点处的 求其电流函数i t 2 t 3时的电流是多少 3 什么时候电流为28 电量q关于时间的瞬时变化率 如果一电路中的电量为 解 1 2 即当 练习2 速度 已知某物体做直线运动 路程 单位 m 解 物体运动的速度为 乘积的求导法则 时的速度 R为的电路中的电压由下式给出 解 电压V关于可变电阻R的变化率为 商的求导法则 练习4 制冷效果 某电器厂在对冰箱制冷后断电 问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少 解 冰箱温度T关于时间t的变化率为 测试其制冷效果 t小时后冰箱的温度为 练习5 并联电阻 当电流通过两个并联电阻r1 r2时 总电阻由下式给出 求R关于r1的变化率 假定r2是常量 解 由知 因为r2是常数 所以 练习6 放射物的衰减 放射性元素碳 14 1g 的衰减由下式给出 其中Q是t年后碳 14存余的数量 单位 g 问碳 14的衰减速度 单位 g 年 是多少 解 碳 14的衰减速度v为 g 年 复合函数的求导法则 案例7 电阻中电流与电压的关系 解 因为 由 复合函数的求导法则 求电流i 在电容器两端加正弦电流电压 从而可知 电容器上电流与电压有下列关系 1 电流i与电压U是同频率的正弦波 2 电流i比电压Uc相位提前 3 电压峰值与电流峰值之比为 作业P6 2 3 5 6 9 10 15 2 7 11 谢谢同学们 五 三个求导方法 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 含导数的方程 例12 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 例13 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 例14 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 2 对数求导法 1 对幂指函数 可用对数求导法求导 说明 注意 例14求 对x求导 两边取对数 的导数 3 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 不要求掌握 切线方程为 例17 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 即轨迹的切线方向 设 为切线倾角 则 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 即t 0 时 倾角为 达到最高点的时刻 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 六 高阶导数的概念 速度 即 加速度 即 引例 变速直线运动 定义 若函数 的导数 可导 或 即 或 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 阶导数的导数称为n阶导数 或 的二阶导数 记作 的导数为 依次类推 分别记作 则称 sinx cosx cosx sinx 设 求 解 依次类推 例19 思考 设 问 可得 例20 设 求 解 特别有 解 规定0 1 思考 例21 设 求 例22 设 求 解 一般地 类似可证 作业P6221 1 24 2 25 2 27 谢谢同学们 一 微分的概念 二 微分的几何意义 三 微分的运算法则 四 微分在近似计算中的应用 第三节微分及其在近似计算中的作用 一 微分的概念 例1 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 问此薄片面积改变了多少 设薄片边长为x 面积为A 则 面积的增量为 关于 x的线性主部 故 当x在 取 变到 边长由 其 的微分 定义 若函数 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 即 在点 可微 说明 时 所以 时 很小时 有近似公式 与 是等价无穷小 当 故当 二微分的几何意义 当很小时 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分 记作 记 三 微分的运算法则 设u x v x 均可微 则 C为常数 分别可微 的微分为 微分形式不变 5 复合函数的微分 则复合函数 基本初等函数的微分公式 见P57表 例9 求 解 例10 设 求 解 利用一阶微分形式不变性 有 例11 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 注意 数学中的反问题往往出现多值性 数学中的反问题往往出现多值性 例如 四 微分在近似计算中的应用 当 很小时 使用原则 得近似等式 特别当 很小时 常用近似公式 很小