灰色系统理论及其应用第二章.ppt

第二章序列算子与灰色序列生成 6 1序列算子 sequenceoperator 一 冲击扰动系统预测陷阱定义6 1 1设为系统真实行为序列 而观测到的系统行为数据序列为其中 为冲击扰动项 则称X为冲击扰动序列 要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X 0 的系统之变化规律的正确把握和认识 必须首先跨越障碍 如果不事先排除干扰 而用失真的数据X直接建模 预测 则会因模型所描述的并非由X 0 所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败 二 缓冲算子公理 theaxiomsofbufferoperator 定义6 1 2设系统行为数据序列为X x 1 x 2 x n 若 k 2 3 n x k x k 1 0则称X为单调增长序列 1中不等号反过来成立 则称X为单调衰减序列 存在k k1 有x k x k 1 0 x k1 x k1 1 0则称X为随机振荡序列 设M max x k k 1 2 n m min x k k 1 2 n 称M m为序列X的振幅 定义6 1 3设X为系统行为数据序列 D为作用于X的算子 X经过算子D作用后所得序列记为XD x 1 d x 2 d x n d 称D为序列算子 称XD为一阶算子作用序列 序列算子的作用可以进行多次 若D1 D2 D3皆为序列算子 我们称D1D2为二阶算子 并称XD1D2 x 1 d1d2 x 2 d1d2 x n d1d2 为二阶算子作用序列 公理6 1 1 不动点公理 AxiomofFixedPoints 设X为系统行为数据序列 D为序列算子 则D满足x n d x n 公理6 1 2 信息充分利用公理 AxiomonSuffi cientUsageofInformation 系统行为数据序列X中的每一个数据x k k 1 2 n 都应充分参与算子作用的全过程 公理6 1 3 解析化 规范化公理 AxiomofAna lyticRepresentations 任意的x k d 皆可由一个统一的x 1 x 2 x n 的初等解析式表达 定义6 1 4称上述三个公理为缓冲算子三公理 threeaxiomsofbufferoperators 满足缓冲算子三公理的序列算子 称为缓冲算子 一阶 二阶 缓冲算子作用序列称为一阶 二阶 缓冲序列 buffersequences 定义6 1 5设X为原始数据序列 D为缓冲算子 当X分别为增长序列 衰减序列或振荡序列时 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度 或衰减速度 减缓或振幅减小 我们称缓冲算子D为弱化算子 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度 或衰减速度 加快或振幅增大 则称缓冲算子D为强化算子 三 缓冲算子的性质定理6 1 1设X为单调增长序列 XD为其缓冲序列 则有D为弱化算子 x k x k dD为强化算子 x k x k d定理6 1 2设X为单调衰减序列 XD为其缓冲序列 则有D为弱化算子 x k x k dD为强化算子 x k x k d定理6 1 3设X为振荡序列 XD为其缓冲序列 则有D为弱化算子max x k max x k d min x k min x k d 2D为强化算子max x k max x k d min x k min x k d 四 实用缓冲算子的构造定理6 1 4设原始数据序列X x 1 x 2 x n 令XD x 1 d x 2 d x n d 其中则当X为单调增长序列 单调衰减序列或振荡序列时 D皆为弱化算子 weakeningoperator 推论6 1 1对于定理6 1 4中定义的弱化算子D 令XD2 x 1 d2 x 2 d2 x n d2 则D2对于单调增长 单调衰减或振荡序列 皆为二阶弱化算子 定理6 1 5设原始序列和其缓冲序列分别为X x 1 x 2 x n XD x 1 d x 2 d x n d 其中x n d x n 则当X为单调增长序列或单调衰减序列时 D皆为强化算子 strengtheningoperator 推论6 1 2设D为定理6 1 5中定义的强化算子 令XD2 x 1 d2 x 2 d2 x n d2 其中x n d2 x n d x n 则D2对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子 定理6 1 6设X x 1 x 2 x n 令XDi x 1 di x 2 di x n di 其中x 1 d1 x 1 x 1 d2 1 x 1 x n di x n i 1 2则D1对单调增长序列为强化算子 D2对单调衰减序列为强化算子 推论6 1 3对于定理6 1 6中定义的D1 D2 则 分别为单调增长 单调衰减序列的二阶强化算子 6 2均值生成 GenerationsBasedonAverage 在收集数据时 常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺 也称空穴 blank 也有一些数据序列虽然数据完整 但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据 给研究工作带来很大困难 这时如果剔除异常数据就会留下空穴 因此 如何有效的填补空穴 自然成为数据处理过程中首先遇到的问题 均值生成是常用的构造新数据 填补老序列空穴 生成新序列的方法 定义6 2 1设序列X x 1 x 2 x k x k 1 x n x k 与x k 1 为X的一对紧邻值 x k 称为前值 x k 1 称为后值 若x n 为新信息 则对任意k n 1 x k 为老信息 定义6 2 2设序列X在k处有空穴 记为 k 即X x 1 x 2 x k 1 k x k 1 x n 则称x k 1 和x k 1 为 k 的界值 x k 1 为前界 x k 1 为后界 当 k 由x k 1 与x k 1 生成时 称生成值x k 为 x k 1 x k 1 的内点 定义6 2 3设x k 和x k 1 为序列X中的一对紧邻值 若有x k 1 为老信息 x k 为新信息X k x k 1 x k 1 则称X k 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值 generatedvalue 定义6 2 4设序列X x 1 x 2 x k 1 k k 1 x n 为在k处有空穴 k 的序列 而X k 0 5x k 1 0 5x k 1 为非紧邻均值生成数 用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列 generatedmeansequenceofnonconsecutiveneighbors 定义6 2 5设序列X x 1 x 2 x n 若X k 0 5x k 0 5x k 1 则称X k 为紧邻均值生成数 由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列 generatedmeansequenceofconsecutiveneighbors 在GM建模中 常用紧邻信息的均值生成 它是以原始序列为基础构造新序列的方法 6 3级比与光滑比 StepwiseandSmoothRatios 当序列的起点和终点为空穴 这时 就无法采用均值生成填补空缺 只有转而考虑别的方法 级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法 定义6 3 1设序列X x 1 x 2 x n 我们称 为序列的级比 stepwiseratio 称 为序列的光滑比 smoothratio 定义6 3 2设X为端点是空穴的序列 X 1 x 2 x n 1 n 若用 1 右邻的级比 或光滑比 生成x 1 用 n 左邻的级比 或光滑比 生成x n 则称x 1 和x n 为级比 或光滑比 生成 按级比生成 或光滑比生成 填补空穴所得的序列成为级比生成 或光滑比生成 序列 命题6 3 1设X是端点为空穴的序列 那么若采取级比生成 则x 1 x 2 3 x n x n 1 n 1 2若采取光滑比生成 则 命题6 3 2级比与光滑比有下述关系 命题6 3 3若X x 1 x 2 x n 为递增序列 且有对于k 2 3 n k 2对于k 2 3 n 即光滑比递减 则对指定的实数 0 1 和k 2 3 n 当 k 0 时 必有 k 1 0 1 23 0 5则称X为准光滑序列 quasi smoothsequence 定义6 3 4设X为有空穴的序列 若新序列生成满足准光滑条件 则称此生成为准光滑生成 定义6 3 3若序列X满足1 6 4累加生成算子 AccumulatingGenerationOperator 与累减生成算子 InverseAccumulatingGenerationOperator 累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法 它在灰色系统理论中占有极其重要的地位 通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势 使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来 累减生成是在获取增量信息时常用的生成 累减生成对累加生成起还原作用 累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子 则称D为X 0 的一次累加生成算子 记为1 AGO 称r阶算子Dr为X 0 的r次累加生成算子 记为r AGO 定义6 4 2设X 0 为原始序列X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n D为序列算子 X 0 D x 0 1 d x 0 2 d x 0 n d 其中x 0 k d x 0 k x 0 k 1 则称D为X 0 的一次累减生成算子 称r阶算子Dr为X 0 的r次累减生成算子 定义6 4 1设X 0 为原始序列X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n D为序列算子 X 0 D x 0 1 d x 0 2 d x 0 n d 其中 定理6 4 1累减算子是累加算子的逆算子 即 r X r x 0 鉴于累减与累加互逆 我们将累减生成算子记为IAGO 命题6 4 1设X 0 为非负序列 X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n 其中 x 0 k 0 且x 0 k a b X r x r 1 x r 2 x r n 为X 0 的r次累加生成序列 则当r充分大时 对于 0 存在N 使 k N k n 有下式成立 这就是说 对于有界非负序列 经过多次累加生成后 所得序列可充分光滑 且光滑比 k 0 命题6 4 2设X 0 为非负序列X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n 其中 x 0 k 0 且x 0 k a b X 1 x 1 1 x 1 2 x 1 n 为X 0 的1次累加生成序列z 1 z 1 1 z 1 2 z 1 n 为X 1 的紧邻均值生成序列 则对于 0 存在N 使 k N k n 有下式成立 6 5累加生成的灰指数律 GreyExponen tialityofAccumulatingGenerations 一般的非负准光滑序列经过累加生成后 都会减少随机性 呈现出近似的指数增长规律 原始序列越光滑 生成后指数规律也越明显 定义6 5 1设原始序列X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n 1 X 0 1 x 0 1 1 x 0 2 1 x 0 n 为X 0 的一次累减生成序列 若1有k 使 1 x 0 k x 0 k x 0 k 1 0 则称序列X 0 在第k步是增长的 反之 称X 0 在第k步是衰减的对于k 1 2 n 恒有 1 x 0 k 0 则称序列X 0 为非波动增长序列对于k 1 2 n 恒有 1 x 0 k 0 1 x 0 k2 0则称X 0 为随机序列 定义6 5 2若X 0 为非波动序列 1 X 0 为随机序列 则称X 0 为一阶弱随机序列 对于i 0 1 2 r 1 i X 0 皆为非波动序列 而 r X 0 为随机序列 则称X 0 为r阶弱随机序列 对于 r r r X 0 为非波动序列 则称X 0 为非随机序列 定理6 5 1设X 0 为正序列 即X 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n x 0 k 0而x r 为X 0 的r次累加生成序列 则X 0 必为r阶弱随机序列 则当b 0时 称X t 为齐 homogeneous 指数函数 b 0时 称X t 为非齐次 non homogeneous 指数函数定义6 5 4设序列X x 1 x 2 x n 若对于任意的k x 0 1 定义6 5 3设连续函数为 则称X为齐次指数序列