数制与码制逻辑代数基础.ppt

讲授者 徐新民Email xuxm 数字电路 教材 1 数字电子技术基础 阎石主编2 脉冲电路 何小艇主编3 FPGA原理 设计和应用 赵雅兴主编4 数字系统设计和VerilogHDL 王金明主编 2020 3 26 第2页 第2页 第一章逻辑代数基础 数字信号和模拟信号模拟信号 表示模拟量的信号 如 热电偶的电压信号 温度变化时 电压随之改变 数字信号 表示数字量的电信号 1 1概述 1 1 1数字量和模拟量 模拟量 在时间上和数量上都是连续的物理量 如 温度 压力 距离和时间等 数字量 在时间上和数量上都是离散的物理量 如 自动生产线上的零件记录量 台阶的阶数 2020 3 26 第4页 第4页 1 1 2数制和编码 1 十进制 日常生活和工作最常使用的进位计数制 在十进制中 每一位有0 9十个数码 所以计数的基数是十 超过9的数必须用多位表示 其中低位与相邻高位的关系是 逢十进一 例 十进制数的一般形式 同样可得 N进制数的一般形式 Ni为第i位的权 ki为第i位的系数 N为计数基数 一 数制 143 75 1 102 4 101 3 100 7 10 1 5 10 2 2020 3 26 第5页 第5页 十六进制中有16个数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 每位的权为16的幂 二进制中有2个数字 0 1 每位的权为2的幂101 11 1 22 0 21 1 20 1 2 1 1 2 2 2 二进制 同一个数值的二进制表示比十进制位数多 故常采用八进制和十六进制 3 二进制的缩写形式 八进制和十六进制 八进制中有8个数字 0 1 2 3 4 5 6 7 每位的权为8的幂 2020 3 26 第6页 第6页 1 非十进制换成十进制方法 展开相加即可 2 十进制换成其他进制方法 整数部分采用基数除法 小数部分采用基数乘法 例1 1011 01 2 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 11 25 10 二 数制转换 例2 463 8 4 82 6 81 3 80 307 10 例3 2FA 2 16 2 162 15 161 10 160 2 16 1 762 125 10 2020 3 26 第7页 第7页 173 1 2 86 低位 高位 余数 0 8125 2 1 6250 2 1 2500 2 0 5000 2 1 0000 高位 低位 173 10 10101101 2 0 8125 10 0 1101 2 例4 173 8125 10 2 2 43 21 10 5 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 1 1 0 1 0 1 10101101 1101 2 2020 3 26 第8页 第8页 54 3 3 6 16 16 0 低位 高位 余数 0 39 16 6 24 16 3 84 16 13 44 16 7 04 高位 低位 54 10 36 16 0 39 10 0 63D7 16 例5 54 39 10 16 36 63D7 16 2020 3 26 第9页 第9页 3 二进制 八进制之间的转换方法 3位二进制数刚好等于1位八进制数 一 二进制转换成八进制例6二进制 110011101 011 2 110011101 011 2 635 3 8 例7二进制 10011101 01 2 010011101 010 2 235 2 8 二 八进制转换成二进制 例8八进制 345 1 8 011100101 001 2 2020 3 26 第10页 第10页 4 二进制 十六进制相互转换方法 4位二进制数刚好等于1位十六进制数 例9二进制 111101000 011 2 000111101000 0110 2 1E8 6 16 二 十六进制转换成二进制 例10十六进制 AF 26 16 10101111 00100110 2 一 二进制转换成十六进制 2020 3 26 第11页 第11页 三 编码 3 编码方法 方法很多 常用如下表所示 1 定义 用二进制数表示文字 符号等信息的过程 2 BCD码 二 十进制编码 用4位二进制数码表示十进制数的0 9十个数字的编码方法 2020 3 26 第12页 第12页 1 8421BCD码 各位权值依次为8 4 2 1 特点 1010 1011 1100 1101 1110和1111为禁用码组 每个码组的二进制值与所表示的十进制一致 直观 2020 3 26 第13页 第13页 2 2421BCD码 特点 各位权值依次为2 4 2 1 2020 3 26 第14页 第14页 3 余3码 特点 例11 5 8 便于加法 自动进位 无权码 每个码组的二进制值与所表示的十进制大3 结论 用电路实现时 余3码加法速度快 进位快 2020 3 26 第15页 第15页 4 余3循环码 无权码 每个码组的循环码值与所表示的十进制 循环码 大3 例12 分别用各种BCD码表示 11011001 2 11011001 2 13 16 9 217 1000010111 8421BCD 1000011101 2421BCD 010101001010 余3码 011101101111 余3循环码 特点 相邻码组 包括0与9 只有一个码元发生变化 2020 3 26 第16页 第16页 四 格雷码 循环码 四位格雷码如右表 1 特点 相邻码组 包括0与15 只有一个码元发生变化 2 构成方法 镜像法 1位格雷码01 2位格雷码 01 镜面 10 00 11 0 1 2 3 3位格雷码 00011110 镜面 10110100 0000 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 2020 3 26 第17页 第17页 3 二进制与格雷码的转换 二进制Bn 1Bn 2 B0 格雷码Rn 1Rn 2 R0 1 二进制 格雷码 例13 1011 2 G 1011 1 1 1 0 1011 2 1110 G 2 格雷码 二进制 例14 1110 G 2 1110 1 0 1 1 1110 G 1011 2 2020 3 26 第18页 第18页 1 2逻辑代数中的三种基本运算 变量取值 命题正确1 命题错误0 二 逻辑函数 定义 复杂的逻辑命题 逻辑函数取值受 多输入 逻辑变量控制 即Y F A B C 一 逻辑变量 定义 简单的逻辑命题 内容可对可错 但不能模棱两可 设定变量 逻辑代数定义的变量 并用字母A B C 表示 例 开关S断开 为逻辑命题 开关S可能断开 就不是逻辑命题 2020 3 26 第19页 第19页 三 逻辑代数中的三种基本运算 与 或 非 1 逻辑与 逻辑乘 定义 定义 只有决定事物结果的全部条件同时具备时 结果才发生 条件 开关A合上 变量A 开关B合上 变量B 结果 灯Y亮 Y是A B的函数 真值表 表达式 与 运算规律 与门 2020 3 26 第20页 第20页 2 逻辑或 逻辑加 定义 定义 在决定事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上满足 结果就会发生 条件 开关A合上 变量A 开关B合上 变量B 结果 灯Y亮 Y是A B的函数 真值表 表达式 或 运算规律 或门 2020 3 26 第21页 第21页 3 逻辑非 定义 定义 只要条件具备了 结果便不会发生 而此条件不具备时 结果一定发生 条件 开关A合上 变量A 结果 灯Y亮 Y是A的函数 真值表 表达式 非 运算规律 非门 2020 3 26 第22页 第22页 四 几种常用的逻辑运算 2 或非 运算 1 与非 运算 3 与或非 运算 2020 3 26 第23页 第23页 2020 3 26 第24页 第24页 4 异或 运算 表达式 真值表 逻辑符号 特性 1 奇校验 变量值是1的变量个数为奇数 2020 3 26 第25页 第25页 5 同或 运算 表达式 真值表 逻辑符号 特性 1 0 的偶校验变量值是0的变量个数为偶数 Y A B Y A B C 2020 3 26 第26页 第26页 1 3基本公式和常用公式 1 3 1基本公式 返回 2020 3 26 第27页 2020 3 26 第27页 基本公式验证方法 真值表 例 证明反演律 结论 变量A B的任意取值组合 等式两边均相等 所以等式成立 2020 3 26 第28页 第28页 1 3 2若干常用公式 公式证明 一 式21 A 二 式22 A B 分配律 三 式24 返回 2020 3 26 第29页 第29页 1 4逻辑代数的基本定理 1 4 1代入定理 1 含有变量A的等式 所有变量A 用函数Y代替 新的等式成立 2 应用 反演律的扩展 用Y B C代替 结论 2020 3 26 第30页 第30页 1 4 2反演定理 求反函数 函数Y 反函数 用反演律 用反演定理 注意运算次序 如上例 若不注意 会得到错误结果 避免方法 加括号 2020 3 26 第31页 第31页 1 4 2对偶定理 函数Y 变量名不变 新函数 等式的对偶等式成立 注意运算次序 一 对偶函数 例 Y A BC A B C 二 对偶定理 乘对加分配律 加对乘分配律 前面介绍的基本公式和常用公式都是成双成对 对偶 2020 3 26 第32页 第32页 四种表示方法 真值表 函数式 逻辑图 卡诺图 1 5逻辑函数及其表示方法 1 5 1逻辑函数 例举重裁判电路 规则 在一名主裁判和两名副裁判中 必须有两人以上 而且必须包括主裁判 认定运动员动作合格 试举才算成功 逻辑抽象 输出 指示灯Y Y 1表示灯亮 Y 0表示灯亮 输入 主裁判开关A 两名副裁判开关分别B C 开关闭合变量取1 开关断开变量取0 显然 Y是A B C的函数 Y F A B C 2020 3 26 第33页 第33页 逻辑函数式 Y A B C 三 逻辑图 1 5 2逻辑函数及其表示方法 一 真值表 二 表达式 灯亮两个条件 1 B和C至少有一个合上 B C 2 A合上 A 2020 3 26 第34页 第34页 四 各种方法间的相互转换 1 从真值表写出函数式 方法 找出真值表中使Y 1的变量输入组合 Y 1的条件 写出表达式 上述条件只要一个满足 Y 1 或 关系 A 1 B 0 C 1 A 1 B 1 C 0 A 1 B 1 C 1 其它的方式的转换呢 2020 3 26 第35页 第35页 1 5 3逻辑函数的两种标准形式 最小项之和与最大项之积 1 定义 一 最小项与最大项 1 最小项 设有n个逻辑变量 由它们组成具有n个变量的与项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次 则称这个与项为最小项 例 三变量A B C 八个与项为三变量的八个最小项 2 表示方法 最小项记作mi 其中i 0 2n 1 i取值 最小项取值为1时 各输入变量的取值看成二进制数 其对应的十进制数i作为最小项的编号 对于n个变量来说 可有2n个最小项 ABC取值为101 2020 3 26 第36页 第36页 任意两个最小项之积为0 即 3 真值表 以三变量为例 4 性质 只有一种变量取值使mi 1 全体最小项之和为1 2020 3 26 第37页 第37页 5 用最小项表示逻辑函数 逻辑函数的标准形式 6 逻辑函数的通式 n个输入变量 X i时的函数值 最小项 例对应左边的真值表 最小项之和与真值表关系 2020 3 26 第38页 第38页 2 最大项 1 定义 设有n个逻辑变量 由它们组成具有n个变量的或项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次 则称这个或项为最大项 例 三变量A B C 共有 2 表示方法 最大项记作Mi 其中i 0 2n 1 i取值 最大项取值为0时 各输入变量的取值看成二进制数 其对应的十进制数i作为最大项的编号 对于n个变量来说 可有2n个最大项 八个与项为最大项 2020 3 26 第39页 第39页 任意两个最大项之和为1 即 3 真值表 以三变量为例 4 性质 只有一种变量取值使Mi 0 全体最大项之积为0 2020 3 26 第40页 第40页 5 用最大项表示逻辑函数 逻辑函数的标准形式 6 逻辑函数的通式 n个输入变量 X i时的函数值 最大项 例对应左边的真值表 最大项之积与真值表关系 2020 3 26 第41页 第41页 例2 3 最大项与最小项的关系 Mi与mi互补关系 4 逻辑函数的两种标准形式的相互转换 例3 例1 2020 3 26 第42页 第42页 1 6逻辑函数的公式化简法 1 6 1逻辑函数的最简形式 一 化简目的 简化电路 例 与 是同一逻辑函数 显然实现后者电器简单得多 二 逻辑函数的最简 与或 形式 与项最少 而且与项中的因子最少 三 逻辑函数的最简 或与 形式 或项最少 而且或项中的因子最少 2020 3 26 第43页 第43页 1 6 2常用的公式化简方法 例1 6 7 例1 6 9 公式法化简的缺点 1 难 2 难以判断是否最简 解决方法 卡诺图法 2020 3 26 第44页 第44页 图2三变量的卡诺图 图3四变量的卡诺图 图1二变量的卡诺图 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 1 7 1逻辑函数的卡诺图表示法 一 卡诺图 1 结构 正方形或矩形 格雷码坐标 每个小方格代表1个mi或Mi 2020 3 26 第45页 第45页 2 卡诺图特点 1 优点 几何相邻 逻辑相邻 逻辑相邻 两个mi或Mi只有一个变量发生变化 发生变化的变量是互补 因此逻辑相邻的mi或Mi是可合并 例 ABC与是逻辑相邻 可合并AC 几何相邻 相接 相对 相重 五变量和六变量卡诺图时介绍 2 缺点 最多只能适用六变量 2020 3 26 第46页 第46页 二 用卡诺图表示逻辑函数 例 最小项卡诺图 最大项卡诺图 2020 3 26 第47页 第47页 1 7 2用卡诺图化简逻辑函数 一 合并最小项的规则 1 若两个最小项相邻 则可合并为一项并消去一个因子 2 若四个最小项相邻并排成矩形组 则可合并为一项并消去二个因子 2020 3 26 第48页 第48页 3 若八个最小项相邻并排成矩形组 则可合并为一项并消去三个因子 1 总结 若2n个最小项相邻并排成矩形组 则可合并为一项并消去n个因子 二 卡诺图化简逻辑函数 步骤 函数的标准形式 卡诺图 合并最小项 最简式 合并最小项 画圈 原则 1 乘积项个数最少 圈的个数最少 检查方法 每个圈应包含1个新的最小项 2 乘积项包含的因子最少 最小项可重复使用 圈尽量大 3 这些乘积项应包含所有最小项 例 最简式不是唯一 或 2020 3 26 第49页 第49页 圈法次序 先圈大圈 检查 发现大圈为冗余 6个圈 没有冗余 最简 不是 但无