随机过程第三章课件.ppt

第3章马尔可夫过程 II 泊松过程 3 2 泊松过程 3 3 有关泊松过程的几个问题 3 4 非齐次泊松过程 3 5 复合泊松过程 3 7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 3 6 过滤的泊松过程 3 2泊松过程 一 计数过程 定义一 计数过程在内出现事件的总数所组成的过程称为计数过程 任何一个计数过程过程满足下列条件 1 2 是一个非负整数 3 如果有两时刻 且 则 4 对于 代表在时间间隔内出现事件的次数在计数过程中 如果在不相交叠的时间间隔内出现事件的次数是相互统计独立的 则该过程为独立增量过程 定义二 平稳增量计数过程在计数过程中如果在内出现事件的次数仅与时间差有关而与起始时间无关 则称该过程为平稳增量计数过程 就是说 对于任意 任意 随机变量与有相同的分布 3 2泊松过程 二 泊松过程 定义一 泊松过程设为计数过程 其状态取非负整数 并满足下列假设 1 从起开始观察事件 即 2 该过程是独立增量过程 即当时 和是相互统计独立的 3 该过程为平稳增量过程 4 在内出现一个事件的概率为 当时 为一常数 在内出现事件二次以及二次以上的概率为 即则称该计数过程为泊松过程 定理 泊松过程在时间间隔内出现事件为次的概率为 3 2泊松过程 三 泊松过程分析 分析步骤一 设则有下述关系在内出现个事件可以等价于下列几个不相容事件之和 1 在内出现事件次 在内出现事件零次 2 在内出现事件次 在内出现事件一次 3 在内出现事件次或以下 在内出现事件二次或二次以上 所以有令 则 3 2泊松过程 三 泊松过程分析 分析步骤二 同理 如果在内没有出现任何事件 即在内和在内均不出现任何事件 则令 则解此方程得根据假设由此得故所以根据递推公式在时有由此解得由于所以 得用数学归纳法可得所以定理得到证明 3 3有关泊松过程的几个问题 一 各次事件间的时间间隔分布 参数一 第一个事件到达时间设泊松过程中第一个事件到达时间为 显然是一个随机变量 设时间轴上有一点 事件表示在内没有出现事件 则事件和事件是等价的 即因此的分布函数为的概率密度为这说明泊松过程中的第一个事件到达时间的概率密度为负指数分布的密度函数 的平均值为 3 3有关泊松过程的几个问题 一 各次事件间的时间间隔分布 参数二 任意相邻两事件间的时间间隔设代表第次出现事件和第次出现事件的时间间隔 也是一个随机变量 则有同理即相邻两次事件间间隔的分布是一负指数分布 它的平均值为 结论 具有独立的同分布的概率密度 并且有 3 3有关泊松过程的几个问题 二 等待时间的分布 定义 第次事件的等待时间从时间开始到达第次事件出现所需的时间称为第次事件的等待时间 用表示 由定义可知 而为独立同分布的随机变量 所以的概率密度为的概率密度进行重卷积积分得到 即的概率密度为分布 也可用另一种方法证明的分布是分布 事件等价于内至少出现次事件 即等价于 故 3 3有关泊松过程的几个问题 三 到达时间的条件分布 设泊松过程 如果已知在内有一个事件出现 问这一事件到达时间的分布如何 它的概率密度为如果已知在内出现一次事件 则该事件的出现时间均匀分布与内 3 3有关泊松过程的几个问题 四 两个泊松过程第一次事件先后的概率 有二个相互统计独立的泊松过程及 它们在单位时间内出现事件的平均数分别为及 设代表第一过程中出现第一次事件所需的时间 代表第二过程中出现第一次事件所需的时间 现研究第一过程出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率 即求 根据前面分析的结果可知 第一过程中出现第一次事件所需时间的概率密度为 第二过程中出现第一次事件所需的时间的概率密度为 故 3 3有关泊松过程的几个问题 五 两个泊松过程事件先后的概率计算 有二个相互统计独立的泊松过程及 它们在单位时间内出现事件的平均数分别为及 设代表第一过程中出现第次事件所需的时间 代表第二过程中出现第一次事件所需的时间 现求第一过程出现第次事件先于第二过程出现第一次事件的概率 即研究概率 根据前面分析的结果可知 的概率密度为 的概率密度为 故 3 4非齐次泊松过程 一 非齐次泊松过程定义 定义一 非齐次泊松过程设为计数过程 其状态取非负整数 并满足下列假设 1 从起开始观察事件 即 2 该过程是独立增量过程 即当时 和是相互统计独立的 3 4 则称该计数过程为非齐次泊松过程 定理 满足上述四个假设的非齐次泊松过程在时间间隔内出现事件为次的概率为 3 4非齐次泊松过程 一 非齐次泊松过程定义 3 4非齐次泊松过程 3 4非齐次泊松过程 3 4非齐次泊松过程 二 非齐次泊松过程举例 例 某商店每日上午8开始营业 从上午8 00到11 00平均顾客到达率线性增加 在8 00顾客平均到达率为5人 时 11 00到达率为20人 时 从上午11 00到下午1 00平均顾客到达率维持不变 为20人 时 从下午1 00到5 00顾客平均到达率线性下降 到下午5 00顾客到达率为12人 时 假设在不相交叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互统计独立的 问在上午8 30 9 30间无顾客到达商店的概率为多少 在这段时间内到达商店的顾客数学期望为多少 解 根据题意 该过程为一非齐次泊松过程 并且顾客到达率为所以 在8 30 9 30间到达商店的顾客数学期望为人 3 5复合泊松过程 一 复合泊松过程定义 定义 复合泊松过程设有一泊松过程和一族独立同分布随机变量 且和也是相互统计独立的 设随机过程 则称是复合泊松过程 如果 则 就是通常的泊松过程 例如 到达体育馆的公共汽车数是一泊松过程 而每辆公共汽车内所载的乘客数是一随机变量 若各公共汽车内的乘客数服从相同分布 且又彼此统计独立 各辆车的乘客数和车数又是统计独立的 则到达体育馆的总人数是一复合泊松过程 其中代表第辆车内的乘客数 代表内到达体育馆的公共汽车数 3 5复合泊松过程 二 复合泊松过程分析 分析 采用母函数法研究复合泊松过程 设随机变量的母函数为泊松过程的母函数为 为泊松过程的参数 于是复合泊松过程的母函数为 由此可计算出的数学期望和方差 3 5复合泊松过程 三 复合泊松过程例题分析 例 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程 平均每周有2户定居 即 如果每户的人口是一随机变量 一户四人的概率为1 6 一户三人的概率为1 3 一户二人的概率为1 3 一户一人的概率为1 6 并且每户的人口数是相互统计独立的随机变量 求在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差 解 设代表第户的人口数 代表移民总人口数 则所以 3 5复合泊松过程 四 其它复合泊松过程 设有一泊松过程 它的参数为 如果把过程中出现的事件按其性质分成不同性质 互不相容的两种类型型事件和型事件 而且当每次事件出现时 出现的概率为 出现的概率为 各次出现或是相互统计独立的 于是组成了两个计数过程 即出现事件的计数过程 和出现事件的计数过程 且如果出现事件用表示 出现事件用表示 则是随机个随机变量之和 是泊松分布 它的母函数为 3 5复合泊松过程 四 其它复合泊松过程 因此也是一泊松过程 但它的参数为 同理也是一泊松过程 它的参数为 例如在内进入某商店的顾客数服从泊松分布 顾客有男女之分 若每次进入该商店的顾客中 男顾客出现的概率为 女顾客出现的概率为 则在内进入商店的男顾客和女顾客均服从泊松分布 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 6过滤的泊松过程 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 一 参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 一 参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 一 参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 一 参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 一 参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 二 跳跃强度 无穷小转移率 及转移率矩阵 Q矩阵 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 二 跳跃强度 无穷小转移率 及转移率矩阵 Q矩阵 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 二 跳跃强度 无穷小转移率 及转移率矩阵 Q矩阵 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 三 柯尔莫哥洛夫 费勒前进方程式 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 三 柯尔莫哥洛夫 费勒前进方程式 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 三 柯尔莫哥洛夫 费勒前进方程式 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 三 柯尔莫哥洛夫 费勒前进方程式 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 四 福克 普朗克方程式 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例一 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例一 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 五 例二排队问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 六 柯尔莫哥洛夫 费勒后退方程 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 六 柯尔莫哥洛夫 费勒后退方程 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 六 柯尔莫哥洛夫 费勒后退方程 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 七 例三机器维修问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 七 例三机器维修问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 七 例三机器维修问题 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 七 例四随机游动 3 7柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程 七 例四随机游动 3 8极限