03101027.权燕子通工1001.doc

2011-2012第一学期数学建模选修课试题卷班级：通工1001姓名：权燕子学号：03101027成绩：一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1模型答：模型指为了某种特定目的将原型的某部分信息简化、压缩、提炼而构成的原型替代物。如地图、苯分子图。2数学模型 答：由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型，如概率的功利化定义。3抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之为抽象思维模型，如汽车司机对方向盘的操作。二、简答题（每小题满分8分，共24分）1模型的分类答：按照模型替代原型的方式，模型可以分为形象模型和抽象模型两类，形象模型：直观模型、物理模型、分子结构等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。 2数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对建模求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行去查分析等；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。3数学模型的作用答：数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终身受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个科学的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。三、解答题（满分20分）F 题 (7n+5, 7n+6)某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10支付基金流动到B城公司，B城公司则有12支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形?解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有： Ak+1=0.9Ak+0.12BkBk+1=0.1AK+0.88Bk k=0,1其中，初始条件：A0=260，B0=280给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）kAkBkkAkBk1276.6272.47288.477251.5232273.528266.4728289.812250.1883278.152261.8489290.854249.1464281.758258.24210291.666248.3345284.572255.42811292.299247.7016286.766253.23412292.793247.207可以看出A城公司支付基金数在逐步增加，但增加布幅变小；B城公司支付基金数恰好相反。然而Ak是否有上界、Bk是否有下界？Bk是否会小于200？利用线性代数的知识将差分方程组写成矩阵的形式Ak+1 0.9 0.12 AkBk+1 = 0.1 0.88 Bk 其中 A0 260 B0 = 280 是初始值，利用矩阵对角化方法可以求解。 四、综合题（41分）L 除雪机模型(6n+5, 6n+2, 6n+1)有条10km长的公路，由一台除雪机负责除雪。每当路面的平均厚度达到0.5m时，除雪机开始工作. 但是雪仍在下着，路面雪的厚度在不断的增加，除雪机的前进速度会不断降低，其速度随雪的厚度呈现性变化，在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s；。当雪的厚度达到1.5m时，除雪机将无法工作。雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加，前0.5h雪越下越大，后0.5h越下越少。问除雪机能否将整条路面的积雪清除？1. 论文题目：除雪机问题2. 论文摘要：此篇论文研究的是冬天除雪问题，在冬季这是一个比较常见的现象，因为下雪给我国交通事故带来了很大的影响。针对这个问题，我们进行研究，在日常生活中也会采取措施，经常会利用除雪机会及时处理，运用题中所给的内容作出了最佳的解答方案。3. 关键词：除雪问题，速度，时间，积雪厚度。4. 论文正文：l 问题提出冬天常会突降大雪。路上如堆满了雪，便要影响交通，需要用除雪机来清扫。在开始除雪时，往往天空仍在下雪。样雪的厚度慢慢增加，除雪机工作的速度慢慢下降，以至无法工作了。问除雪机能否完成这10公里长路程的除雪任务呢？l 问题分析 对该问题的分析有，首先是考虑下雪的速度是多少，下雪的快慢影响着雪的厚度。不管怎样除雪机的功率是有限的，当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，雪的厚度也影响着除雪的进度。由此可知除雪的进程是受多方面因素的影响的，除雪的进度和雪的厚度是变量。通过找出除雪进度和雪积累厚度的一些关系进行更进一步的分析。考虑下雪的速度是否可变，如果是可变的进行合理的假设,因为有10公里我们也可以考虑地域的影响。l 模型假设在除雪机开始扫雪时，雪的厚度刚好达到0.5米厚；2在除雪机开始扫雪后，总共下了一个小时的雪当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作；在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为每秒13米。l 模型设计h积雪的厚度v除雪机除雪时的速度s除雪机清理的路面长度t除雪时间l 模型的解法与结果 解：由已知条件，雪的厚度的变化率为 , 0t1800,h(t)= 10(2), 1800t3600. 2.7777810t, 0t1800，h(t)= -2.7777810(t-6141.58)(t-1054.42),1800t3600。当h（t）=0.5时，t=1341.64；当h(t)=1.5时，t=2556.077. 于是除雪机能够清理路面的长度S=vdt=131-h(t)dt=5017.93(米)所以除雪机不能将整个路面积雪清除。l 模型结果的分析和检验 容易看出，雪下的大小直接影响除雪机的工作程度。为简单计，假定除雪机工作速度V