《空间角与距离》PPT课件.ppt

空间 角 问题 例1如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形 其中AB BD BC 1 2 E为DC的中点 F是棱DD1上的动点 1 求异面直线AD1与BE所成角的正切值 2 当DF为何值时 EF与BC1所成的角为90 题型一异面直线所成的角的求法 分析 依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应平面角 方法1 1 连接EC1 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD1 BC1 则 EBC1为异面直线AD1与BE所成的角 又底面ABCD 侧面DCC1D1BD BCE为CD的中点 BE 侧面DCC1D1 BE EC1 在Rt BEC1中 BE EC1 所以tan EBC1 3 BE CD 2 当DF 时 EF与BC1所成的角为90 由 1 知 BE 侧面DCC1D1 BE EF 又DE EC CC1 AA1 2 当DF 时 因为 所以 DEF CC1E 所以 DEF CEC1 90 所以 FEC1 90 即FE EC1 又EB BC1 E 所以EF 平面BEC1 所以EF BC1 即EF与BC1所成的角等于90 例2如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 2 E为CD的中点 将 ADE沿AE折起 使平面ADE 平面ABCE 得到几何体D ABCE 1 求证 BE 平面ADE 并求AB与平面ADE所成的角的大小 2 求BD与平面CDE所成角的正弦值 题型二直线和平面所成的角 解析 1 在矩形ABCD中 连接BE 因为AB 2AD E为CD的中点 所以AD DE EAB 45 从而 EBA 45 故AE EB 过D作DO AE于O 因为平面ADE 平面ABCE 所以DO 平面ABCE 所以DO BE 又AE DO O 所以BE 平面ADE 可知AE为AB在平面ADE上的射影 从而 BAE为AB与平面ADE所成的角 大小为45 题型三二面角 2 找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线 或找 作 垂面 将其转化为平面角 或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法 三垂线定理法 面积射影法 向量法等 特别是对 无 棱 图中没有棱 的二面角 应先找出棱求解 1 角的计算与度量总要进行转化 这体现了转化的思想 主要将空间角转化为平面角 空间距离 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离 两条异面直线的距离 点到平面的距离 A B 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点到这个平面的距离 可见 连结平面外一点P与内一点所得的线段中 垂线段PA最短 直线到与它平行平面的距离 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离 叫做这条直线到平面的距离 如果一条直线平行于平面 则直线上的各点到平面的垂线段相等 即上各个点到的距离相等 在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段 1 点A到面BCC1B1的距离 2 B1D1到面ABCD的距离 3 点A到面BB1D1D的距离 a a 例4 如图 已知正三角形ABC的边长为6cm 点O到 ABC各顶点的距离都是4cm 求点O到这个三角形所在平面的距离 A B C O H E 设H为点O在平面ABC内的射影 延长AH 交BC于E 连结BH CH 即H是 ABC的中心 AE是边BC上的垂直平分线 在Rt BHE中 即点O到平面ABC的距离是2cm 解 例5已知四面体ABCD AB AC AD 6 BC 3 CD 4 BD 5 求点A到平面BCD的距离 两个平行平面的距离 A B A B 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 直线AA BB 都是它们的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 1 与已知平面的距离等于3cm的所有点的集合是什么图形 2 已知两平面平行 且两平面距离为4cm 与两平面距离相等的所有点集合是什么图形 在已知平面两侧且距离为3的两个平行平面 在已知平面之间且距离为2 平行于已知平面的一个平面 例6 解 例7 解 连结CD 异面直线的距离 在正方体中 棱AA 和BC所在直线是异面直线 直线AB和它们都垂直相交 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 任意两条异面直线有几条公垂线 思考 直线AB就是两异面直线AA 和BC的公垂线 任意两条异面直线有且只有一条公垂线 证 设a b是两条异面直线 在b上任取一点P 过P引a a 设b a 确定平面 则a 在a上任取一点Q 过Q引QM 垂足为M 设a和QM确定的平面与平面相交于直线c c与b相交于点B 在内作BA MQ 交a于点A 则 A B 可见 直线AB就是异面直线a b的公垂线 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分 叫做这两条异面直线的公垂线段 即线段AB就是异面直线a b的公垂线段 两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条 思考 两条异面直线的公垂线段的长度 叫做两条异面直线的距离 例8 在1200二面角的棱长 有两个点A B AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段 已知AB 4cm AC 6cm BD 8cm 求CD的长 C A B D 能力 思维 方法 1 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 2 在直角梯形P1DCB中 P1D CB CD P1D P1D 6 BC 3 DC 3 A是P1D的中点 沿AB把平面P1A